希尔伯特23个问题及解决情况
玛丽莲梦兔
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2021年02月02日 17:53
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希尔伯特
23
个问题及解决情况
1900
年希尔伯特应邀参加巴黎国际数学家大会并在会上作了题为《数学问
题》重要演讲。在这具有历史意义的演讲中，首先他提出许多重要的思想：
正如 人类的每一项事业都追求着确定的目标一样，数学研究也需要自己的问题。
正是通过这些问题的解决，< br>研究者锻炼其钢铁意志，
发现新观点，
达到更为广阔
的自由的境界。
希尔伯特特别强调重大问题在数学发展中的作用，他指出：
“
如 果我们想对最近
的将来数学知识可能的发展有一个概念，
那就必须回顾一下当今科学提出的，< br>希
望在将来能够解决的问题。
”
同时又指出：
“
某类问题对 于一般数学进程的深远
意义以及它们在研究者个人的工作中所起的重要作用是不可否认的。
只要 一门科
学分支能提出大量的问题，
它就充满生命力，
而问题缺乏则预示着独立发展的衰
亡或中止。
”
他阐述了重大问题所具有的特点，好的问题应具有以下三个特征：
清晰性和易懂性；
虽困难但又给人以希望；
意义深远。
同时他分析了研究数学问题时常会遇到的困难及克服困难的一 些方法。
就是在这
次会议上他提出了在新世纪里数学家应努力去解决的
23
个 问题，
即著名的
“
希尔
伯特
23
个问题
”
。
编号
问题
推动发展的领域
解决的情况
1
连续统假设
公理化集合论
1963
年，
Paul
在下述意义下证明了第一
个问题是不可解 的。即连续统假设的真伪不可能在
Zermelo_Fraenkel
公理系统
内判定 。
2
算术公理的相容性
数学基础
希尔伯特证明算术公理的相容性的设想，
后来发
展为系统的
Hilbert
计划
（
“
元数学
”
或
“
证明论
”
）
但
1931
年歌德尔的
“
不完备定理
”
指出了用
“
元数学
”
证明算术公理的相容性之不可能。数学的相容性问题至今未解决。
3
两等高等底的四面体体积之相等
几何基础
这问题很快（
1900
）即由希尔伯
特的学生< br>
给出了肯定的解答。
4
直线作为两点间最短距离问题
几何基础
这一问题提得过于一般。
希尔伯特之
后，
许多数学家致力于构造和探索各种特殊的度量几何，
在研究第 四问题上取得
很大进展，但问题并未完全解决。
5
不要定义群的函数的可微性假设的李群概念
拓扑群论
经过漫长的 努力，
这个
问题于
1952
年由
Gleason, Montqomery , Zipping
等人最后解决，答案是肯定
的。
6
物理公理的数学处理
数学物理
在量子力 学、
热力学等领域，
公理化方法已获
得很大成功，但一般地说，公理化的物理意味着什 么，仍是需要探讨的问题。概
率论的公理化已由
opob
等人建立。
7
某些数的无理性与超越性
超越数论
1934
年
和
Schneieder
各
自独立地解决了这问题的后半部分。
8
素数问题
数论
一般情况下的
R iemann
猜想至今仍是猜想。包括在第八问题
中的
Goldbach
问题 至今也未解决。
中国数学家在这方面做了一系列出色的工作。
9
任意数域中最一般的互反律之证明
类域论
已由高木贞治
(1921)
和
(1927)
解决
.
10 Diophantius
方程可解性的判别
不定分析
1970
年由苏、美数学家证明
Hilbert
所期望的一般算法是不存在的。
11
系数为任意代数数的二次型
二次型理论
(1929)
和
C.
(1936,1951)
在这问题上获得了重要的结果。
12 Abel
域上
kroneker
定理推广到任意代数有理域。
复乘法理论
尚未解决。
13
不可能用只有两个变数的函数解一般的七次方程。
方程论与实函数论
连续
函数情形于
1957
年由苏数学家否定解决，
如要求是解析函数，< br>则问题仍未解决。
14
证明某类完全函数系的有限性
代数不变式理论
1958
年永田雅宜给出了否
定解决。
15 Schubert
记数演算的严格基础
代数几何学
由于许多数学家的努力，
Schubert
演算的基础 的纯代数处理已有可能，
但
Schubert
演算的合理性仍待解
决。
至于代数几何的基础，
已由
Waerden(1938-40)
与
(1950)
建立。
16
代数曲线与曲面的拓扑
曲线与曲面的拓扑学、常微分方程的定性理论
问题
的前半部分，近年来不断有重要结果。
17
正定形式的平方表示式
域（实域）论
已由
Artin
于
1926
年解决。
18
由全等多面体构造空间
结晶体群理论
部分解决。
19
正则变分问题的解是否一定解析
椭圆型偏微分方程理论
这个问题在某种
意义上已获解决。
20
一般边值问题
椭圆型偏微分方程理论
偏微分方程边值问题的研究正在蓬
勃发展。
21
具有给定单值群的线性偏微分方程的存在性
线性常微分方程大范围理论
已由
Hilbert
本人（
1905
）年和
(
德，
1957)
解决。
22
解析关系的单值化
Riemann
曲面体
一个变数的情形已由
(
德，
1907)
解决。
23
变分法的进一步发展
变分法
Hilbert
本人和许多数学家对变分法的发展作
出了重要的贡献。
百年前的数学家大会与希尔伯特的问题
熊卫民
21
世纪第一次国际数学家大会马上就要在北京召开了，它将给本世纪的数学发
展带来些什 么？能像
20
世纪的第一次国际数学家大会那样左右数学发展的方向
吗？
< br>一个世纪前的那次数学家大会之所以永载史册，完全是因为一个人，因为
他的一个报告
— —
希尔伯特（
David Hilbert
）和他的《数学问题》。
1900
年，希尔伯特在巴黎召开的第二届国际数学家大会上提出了他著 名的
23
个数学问题。
在随后的半个世纪中，
许多世界一流的数学头脑都围着 它们转。
其
情形正如另一位非常著名的数学家外尔（
H. Weyl
）所说：
“
希尔伯特吹响了他的
魔笛，成群的老鼠纷纷跟着他跃进了那条河。
”
这也难怪，他所提出的问题都那
么清晰、
那么易懂，
其中一些有趣得令许多外行都跃 跃欲试，
而且解决其中任意
一个，
或者在任意一个问题上有重大突破，
立即就 能名满天下
——
我国的陈景润
就因为在解决希尔伯特第
8
个问题（即素数问题，
包括黎曼猜想、
哥德巴赫猜想
等）
上有重大贡献而为世人 所侧目。
人们在总结二十世纪数学的发展，
尤其是二
十世纪上半叶数学的发展时，通常 都以希尔伯特所提的问题为航标。
其实这些问题绝大部分业已存在，< br>并不是希尔伯特首先提出来的。
但他站在更高
的层面，
用更尖锐、
更简 单的方式重新提出了这些问题，
并指出了其中许多问题
的解决方向。
数学领域中的问题是极多的，
究竟哪些更重要、
更基本？做出这样的选择需 要敏
锐的洞察力。
为什么希尔伯特能如此目光如炬？数学史家、
中国科学院数学与系< br>统科学研究院研究员、
《希尔伯特
——
数学王国中的亚历山大》
一书的 译者袁向
东先生
（和李文林先生合译）
认为，
这是因为希尔伯特是数学王国中 的亚历山大！
数学家可分为两类，
一类擅长解决数学中的难题，
另一类擅长对现有状况 做出理
论总结，两大类中又均可细分为一流、二流、三流。希尔伯特两者兼长，几乎走
遍了现代 数学所有前沿阵地，
在多个差异很大的数学分支中都留下了他那显赫的
名字，
对数学发 展的大背景了如指掌，
对所提及的许多问题都有深入的研究，
是
数学领域中的
“
王
”
。
为什么希尔伯特要在大会上总结数 学的基本问题，
而不像常人一样宣讲自己的某
项成果？袁向东告诉记者，这和另一位数学巨匠庞 加莱
(Henri Poincaré
)
有关，
庞加莱在
1897< br>年举行的第一届国际数学家大会上做的是应用数学方面的报告。
他们两人是当时国际数学界中的双 子星座，
均为领袖级人物，
当然也存在一定的
竞争心理
——
既然庞加 莱讲述的是自己对物理、
数学关系的一般看法，
那么希尔
伯特就为纯粹数学做一些辩护 。
庞加莱是法国人，希尔伯特是德国人，法、德两国有世仇，所以他们之间的竞争
还带上了一种国与国竞争的味道。
虽然他们两人非常尊重对方，
这一点在他们身
上体现得不明显，但他们的学生和老师常常这样看。
希尔伯特的老师克莱茵（
Felix Klein
）就是一个民族感非常强的人，他非 常强调
德意志数学的发展，
想让国际数学界变成椭圆
——
以前是圆形，
圆心为巴黎；
现
在他想让自己所在的哥廷根市也成为世界数学的中心，
使数学世界变 成有两个圆
心的椭圆。
在希尔伯特及其亲密朋友闵可夫斯基
(Hermann Minkowski)
的帮助 下，克莱茵实
现了自己的目标
——
1900
年时，希尔伯特就已经和法国最伟 大的数学家庞加莱
齐名，而克莱茵本人和马上就要来到哥廷根的闵可夫斯基也是极有影响的数学
家。事实上，他们在德国号称
“
无敌三教授
”
。
从一个例子可以想见他们的魅力。
某天，
在谈及拓扑学著名定理
——
四色定理时，
闵可夫斯基突然灵机一动，
于是