几种递推数列通项公式的求法
爱是家乡-
几种递推数列通项公式的求法
递推数列常常是高考命题的热点之一
.
所谓递推数列
,
是指由递推公式所确定的数列
.
由
相邻两项的关系给出的递推公式称为一阶递推公式，
由相邻三项的关系给出的递推公式称为
二阶递推公式，
依次类推
.
等差数列和等比数列是最基本的递推数列
.
递推数列基本问题之一
是由递推关系求通项公
式
.
下面是常见的递推数列及其通项公式的求法．
1
一阶线性递推数列求通项问题
一阶线性递推数列主要有如下几种形式：
（
1
）
x
n
1<
/p>
x
n
f
(
n
)
这类递推数列可通过累加法而求得其通
项公式
(
数列
{f(n)}
可求前
n
项和
).
当
f
(
n
)
为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当
f
(
n
)
< br>为等差数列时，
则
x
n
1
x
n
f
(
< br>n
)
为二阶等差数列，其通项公式应当为
x
n
an
< br>
bn
c
形式，注意与等
差数列求和公式一般形式的区别，后者是
S
n
an
<
/p>
bn
，其常数项一定为０．
（
2
）
x
n
1<
/p>
g
(
n
)
x
n
这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式
(
数列
{g(n)}
可
求前
n
项积
).
当
g
(
n
)
为常数时，
用累乘法可求得等比数列的通项公式．
（
3
）
x
n+
1
=
qx
n
+d
(
q,d
为常数
< br>,
q
0,
q
1)
；
这
类
数
列
通
常
可
转
化
为
x
n
1
p
q
(
x
< br>n
p
)
，
或
消
去
常
数
转
化
为
二
阶
递
推
式
2
2
x
n
2
< br>x
n
1
q
(
x
n
1
x
n
)
.
，
x
n
2
x
n
1
1(
n
< br>2)
,
求
｛
x
n
｝
｛
x
n
｝
［例１］已知数列
中，
x
1
1
的通项公式．
［解析］解
法一．转化为
x
n
< br>1
p
q
(
x
n
p
)
型递推数列．
∵
x
n
2
x
n
<
/p>
1
1(
n
2)
，
∴
x
n
1
2(
x
n
1
1)(
n
2)
，
又
x
1
1
2
，故数列｛
x
n
1
｝
是首项为２，公比为２的等比数列．∴
x
n
1
2
，即
x
n
2
1
．
解法二．转化为
x
< br>n
2
x
n
1
q
(
x
n
1
x
n
)
型递推数列．
<
/p>
∵
x
n
=2x<
/p>
n-1
+1(n
≥
2)
①
∴
x
n
1
=2x
n
+1
②
n
n
②－①，
得<
/p>
x
n
1
x
n
2(
x
n
x
n
1
< br>)
(n
≥
2)
< br>，故｛
x
n
< br>1
x
n
｝是首项为
x
2
-x
1
=2
，
2
< br>公比为２的等比数列，即
x
n
1
x
n
2
n
1
2
n
，
再用累加法得
x
n
2
n
1
．
解法三．用迭代法．
x
n
2
x
< br>n
1
1
2(2
x
n
2
1
)
1
2<
/p>
2
x
n
2
2
1
2
n
1
x
1
2
n
2
2
n<
/p>
3
2
1
2
n
1
．
当然
,
此题也可用归纳猜想
法求之，但要用数学归纳法证明．
［例２］已知函数
f
(
x
)
2
x
< br>
2(
x
1)
的反函数为
y
g
(
x
< br>),
x
1
1,
x
2
g
(
x
1
)
，
1
2
x
3
g
(
x
2
),
,
x
n
g
(
x
n
1
),
,
求数列
的通项公式
.
｛
x
n
｝
1
1
x
1(0
x
1)
，则
x
1
1,
x
n
x
n
1
1(<
/p>
n
2)
．
2
2
1
1
3
2
令
x
n
p
< br>
(
x
n
1
p
)
=
,
则
x
n
x
n
1
p
.
比较系数，得
p
.
2
2
2
3
2
1
2
2
< br>2
1
1
即有
x
n
(
x
n
<
/p>
1
)(
n
2)
．
∴数列<
/p>
｛
x
n
｝
是以
x
1
为首项，
为
3
2
3
3
3
3
2
2
1
1
n
1
1
1
n
1
2
公比
的等比数列，∴
x
n
(
)
，故
x
n
(
)
．
3
3
2
3
2
3
[
解析
]
由已知得
g
(
x
)
［评析］此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明
之．
（
4
）
x
n
1
cx
n
(
c
,
d
为非零常数）
；
x
n
<
/p>
d
若取倒数
,
得
1
d
1
1
1
，令
y
n
，从而转化为（
1
）型而求之
.
x
n
x
n
1
c
x
n
c
n
（
5
）
x
n+
1
=
qx
n
+d
(
q,d
为非零常
数
,
q
1,
d
1)
；<
/p>
这类数列可变换成
x
< br>n
1
q
x
n
1
x
n
，
令
，
则转化
为
(1)
型一阶线性递推公式
.
y
n
d
n
1
d
d
< br>n
d
d
n
n
｛
x
n
｝
满足：
x
1
1
，
x
n
<
/p>
1
3
x
n
2
(
n
N
*)
.
求数列
｛
x
n
｝
［例３］
设数列
的通项公式．
x
n
1
3
x
n
1
3
x
n
．
令
y
< br>
n
，
n
n
1
n
2
2
2
2
2
2
3
1
3
3
7
｛
y
n
1
｝
< br>则有
y
n
1
y
n
．
于是，
得
y
n
1<
/p>
1
(
y
n
1)
，
∴
数列
是以首项为<
/p>
1
，
2
2
2
4
4
3
7
3
n
1
7
3
n
1
1
公比为
的等比数列，
故
y
n
1
< br>
即
y
n
从而
x
n
7
<
/p>
(
)
，
(
)
1
，
3
n
2
2
n
1
．
2
4
2
4
2<
/p>
3
n
1
［解析］∵
x
n
<
/p>
1
3
x
n
2
，
两边同除以
2
，
得
n
［例４］设
x
0<
/p>
为常数，且
x
n
3
n
n
<
/p>
1
2
x
n
1
(
n
N
*)
，
｛
x
n
< br>｝
求数列
的通项公式．
n
1
3
2(
x
n
1
< br>p
3
［解析］设
x
n
p
< br>
1
n
1
)
，
用
x
n
3
2
x
n
1
代入，可解出
p
<
/p>
．
5
3
n
3
3
2
｛
x
n
｝
∴
是以公比为
-2
，首项为
x
1
2
x
2
x
0
的等比数列．
１
0
5
5
5
5
3
< br>n
2
(
2
x
0
)
(
2)
n
1
，
∴
x
n
5
5