求递推数列的通项公式的十一种方法
超载乐队距离-
求递推数列的通项公式的十一种方法
利用递推
数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值
.
自从二十
世纪八十年代以
来，这一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一
.
一、作差求和法
例
1
在数列
{
a
n
}
中，
a
1
3
,
a
n
1
a
n
解：原递推式可化为：
a
n
1
a
n
< br>1
，求通项公式
a
n
.
n
(
n
1
)
1
1
1
1
1
1
则
a
2<
/p>
a
1
,
< br>a
3
a
2
n
n
1
1
2
2
3
1
1
1
1
1
1
a
4
< br>
a
3
，……，
a
n
a
n
1
逐项相加得：
< br>a
n
a
1
1
.
故
a
n
4
.
3
4
n
1
n
n
n
< br>二、作商求和法
2
2
例
2
设数列
{
a
n
}
是首项为
1
的正项数列，且
(
n
1
)
a
n
1
na
n
a
n
1
a
n
0
（
n=1,2,3
…）
，
则它的通项公式是
a
n
=
▁▁▁（
2000
年高考
15
题）
解：原递推式可化为：
[(
n
1<
/p>
)
a
n
1
na
n
](
a
n
1
a
n
)
=0
∵
a
n
1
a
n
＞
0
，
a
n
1
n
< br>
a
n
n
1
则
a
a
a
2
1
a
3
2
a
4
3
n
1
< br>1
1
,
,
,
…
…，
n
< br>逐项相乘得：
n
，即
a
n
=
.
a
1
2
< br>a
2
3
a
3
4
a
n
1
n
a
1
n
n
三、换元法
例
3
已知数列
{
a
n
}
，其中
a
1
4
13
1
,
a
2
，且当
n
≥
3
时，
a<
/p>
n
a
n
1
(
a
n
1
a
n
2
)
，求
3
9
3
通项公式
a
n
（
1986
年高考文科第八题改
编）
.
解：设
b
n
1
a
n
a
n
1
，原递推式
可化为：
1
13
4
1
1
< br>b
n
1
b
n
2
,
{
b
n
}
是
一
个
等
比
数
列
，
b
1
< br>a
2
a
1
，
公
比
为
.
故
3
9
3
9
3
1
1
1
1
1
3
< br>1
1
b
n
1
b
1
(
)
n
2
(
)
n
2
(
)
n
< br>.
故
a
n
a
n
1
(
)
n
.
由逐差法可得：
a
n
(
)
n
.
3<
/p>
9
3
3
3
2
2
3
例
4
已知数列
{
a
n
}
，
其中
a
1
1
,
a
2
2
，
且当
n
≥
3
时，
a
n
2
a
n<
/p>
1
a
n
2
1
，
求通项公式
a
n
。
解
由
a
n
2
a
n
1
a
n
2
1
得<
/p>
：
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
1
，<
/p>
令
b
n
1
a
n
a
n
1
，
则
上
式
为
b
n
1
b
n<
/p>
2
1
，因此
{
b
n
}
是一个等差数列，
b
1
a
2
a
1
1
，公差为
1.
故
b
n
n
.
。
由于
b
1
b
2
b
n
1
a
2
a
1
a
3
<
/p>
a
2
a
n
a
n
1
a
n
1
又
b
1
b
2
<
/p>
b
n
1
所以
a
n
1
n
(
n
< br>
1
)
2
1
1
n
(
n
1
)
，即
a
n
(
n
2
n
2
)
2
2
四、积差相消法
例
5
（
1993
年全国数学联赛题一试第五题）设正数列
a
0
，
a
1
，
a
n
…，
a
n
，…满足
a
n
a
n
2
a
n
1
a
n
< br>2
=
2
a
n
1
< br>(
n
2
)
且
a
0
a
1
1
，求
{
a
n
}
的通项公式
.
解
将递推式两边同除以
a
n
1
a
n
2
整理得：
a
n
a
< br>
2
n
1
1
a
n
1
a
n
2
设
b
n
=
a
n
a
1
，则
b
1
=1
< br>，
b
n
2
b
n
1
1
，故有
a
n
1
a
0
b
2
2
b
1
1
⑴
b
3
2
b
2
1
⑵
…
…
…
…
b
n
2
b
n
1
1
(
n
1
)
由⑴
2
n<
/p>
2
+
⑵
2
n
3
+
…
+(
n
1
)
2
0
得
b
< br>n
1
2
2
2
2
n
1
=
2
n
1
，即
逐项相乘得：
a
n
=
(
2
1
)
2
(
2
2
1
< br>)
2
(
2
n
1
)
2
，考虑
到
a
0
1<
/p>
，
(
n
0
)
1
故
a
n
.
2
2
2
n
2
(
n
1
)<
/p>
(
2
1
)
(
2
1
)
(
2
1
)
a
n
=
2
n
<
/p>
1
.
a
n
1
五、取倒数法
例
6
已
知数列
{
a
n
}
中，其中
a
1
1
,
，且当
n
≥
2
时，
a
n
a
n<
/p>
1
，求通项公式
a
n
。
2
a
n
1
1
解
将
a
n
a
n
1
1
1
1
1
2
，
两边取倒数得：
这说明
{
}
是一个等差数列，
首项是
1
，
2
a
n
1
1
a
n
a
n
1
a
n
a
1
公差为
2
，所以
六、取对数法
1<
/p>
1
1
(
n
1
)
2
2
n
1
，即
a
n
.
a
n
2
n
1
a
1
=3
且
a
n
1
a
n
（
n
是正整数）
例
7
若数列<
/p>
{
a
n
}
中，
，
则它的通项公式是
a
n
=
▁▁▁
（
2002
2
年上海高考题）
.
2
解
由题
意知
a
n
＞
0
，将
a
n
<
/p>
1
a
n
两边取对数得
lg
a
n
1
2<
/p>
lg
a
n
，即<
/p>
lg
a
n
1
2
，所以数列
lg
a
n
n<
/p>
1
n
1
{lg
a
n
}
是以
lg
a
1
=
lg
3
为首项，公比为
2
的等比数列，
lg
a
n
< br>lg
a
1
2
n
1
lg
3
2
，即
a
n
<
/p>
3
2
.
七、平方（开方）法
2
例
8
若
数列
{
a
n
}
中，
a
1
=2
且
a
n
3
a
n
，求它的通项公式是
a
n
.
1
（
n
2
）
2
2
2
2
2
解
将
a
n
3
a
n
1
两边平方整理得
a
n
a
n
1
3
。数列
{
a
n
}
是以
a
1
=4
为首项，
3
为公差
2
a
1
2
< br>
(
n
1
)
3
3
n
1
。因为
a
n
＞
0
，所以
a
n
3
n
1
。
的等差数列。<
/p>
a
n
八、待定系数法
待定系数法解题的关键是从策略上规范一个递推式可变成为何种等比数列，
可以少走弯路
.
其变换的基本形式如下：
1
、
a
n
1
Aa
n
B
（
A
、
B
为常数）型，可化为
a
n
1
=A
（
a
n
）的形式
.
例
9
若数列
{
a
n
}
中
，
a
1
=1
，
S
n
是数列
{
a
n
}
的前<
/p>
n
项之和，且
S
n
1
数列
{
a
n
}
的通项公式是
a
n
.
解
递推
式
S
n
1<
/p>
1
S
n
1
S
n
1
1
3
4
（
1
）
可变形为
3
4<
/p>
S
n
S
n
1
S
n
S
n
（
n
1
）
，求
< br>3
4
S
n
设（
1
）式可化为
3
(
1
)
（
2
）
S
n
1
S
n
1
2
3
(
< br>1
1
2
)
。故数列
{
2
}
是以
S
n
S
n
比较（
1
）式与（
2
）式的系数可得
2
，则有
1
1
1
2
3
为首项，
3
为公比的等比数列。
2
=
3
3
n
1
3
n
。所以
S
n
n
。
S
1
S
n
3
1
< br>当
n
2
，
a
n
S
n
S
n
1
1
1
2
3
n
n
< br>n
1
2
n
。
n
3
2
3
2
3
8
3
12
1
(
n
1
)
2
3
n
数列
{
a
n
}
的通项公式是
a
n
。
(<
/p>
n
2
)
3
2
n
8
3
n
12
< br>2
、
a
n
1
Aa
n
B
C<
/p>
n
（
A
、
B
、
C
为常数，下同
）型，可化为
a
n
< br>1
C
n
1
=
A
(
a
n
C
n
）
的形式
.
例
10
在数列<
/p>
{
a
n
}
中，
a
1
1
,
a
n
1
< br>2
a
n
4
3
n
1
,
求通项公式
a
n
。
解：原递推式可化为：
a
n
1
3
n
2
(
a
n
3<
/p>
n
1
)
①
比较系数得
=-4
，①式即
是：
a
n
1
4
3
n
2
(
a
n
4
3
n
< br>1
)
.
则数列
{
a
n
4
3
n
1
}
是一个
等比数列，其首项
a
1
4
3
1
< br>
1
5
，公比是
2.
∴
a
n
4
3
n
< br>
1
5
2
n
1