递推数列特征方程法
怎么样有效去痘印-
递推数列特征方程
一、问题的提出
递推
(
迭代
)
是中学数学中一个非
常重要的概念和方法，
递推数列问题能力要求高，
内在
联系密切，蕴含着不少精妙的数学思想和方法。
在递推数列中占有重要一席的斐波那契数列，又称兔子数列，是学生非常乐意探讨的
递
推问题，许多学生都会不约而同地向教师提出，这个数列有通项公式吗？如有，怎样求
它
的通项公式？笔者就曾碰到过一位喜爱钻研的学生，带着参考书上的解法而向我请教：
已知斐波那契数列
a
1
a
2
1
,
a
n
1
a
n<
/p>
a
n
1
(
n
2
,
3
,
„
)
，求通项公式
a
n
。
参考书上的解法是这样的：
解
此数列对应特征方程为
x
2
x
1
即
x
2
x
1
0<
/p>
，解得
x
1<
/p>
2
5
，
设此数列的通项公式为
a
n
c
1
(
由初始条件
a
1
a
2
1
可知，
1
2
5
)
c
2
(
n
1
2
5<
/p>
)
，
n
1
1
5
1
5
c
c
1
c
2
1
1
<
/p>
5
，
2
2
，解之得
1
c
(<
/p>
1
5
)
2
c
(
1
5
)
2
1
c
2
1
2
5<
/p>
2
2
所以
a
n
5
1
5
n
1
< br>5
n
(
）
(
)
。
5
2
2
这位学生坦率地表示，尽管参考书上介绍了利用特征方程求通项公式的一些结论，
用上述方法得到的通项公式也是正确的，但他还是“看不懂”
。换句话说，这种
解法的
依据是什么？特征方程是怎样来的？我虽然深知这是特征方程惹的祸，但由于现行
教
材只字未提特征方程，我也从未在课堂上作过补充，如果将有关利用特征方程求递推<
/p>
数列通项的一些结论直接呈现出来，或者以“高考不作要求”为由来搪塞，学生是难
以接受的，也是不负责任的。面对一头雾水的数学尖子，我在充分肯定其善于思考、
勇于探索的可贵品质的同时，也在苦苦寻觅解答这一问题的良策。其后不久，一次偶
然的数学探究活动，竟使这一长期困惑我们教学活动的尴尬问题迎刃而解。
二、研究与探索
问题的解决源于对一阶线性递推数列通项公式的探求：
若数列
a
n
满足
a
1
b
,
a
n
1
< br>ca
n
d
(
c
1
),
其通项公式的求法一般采用如下的
1
参数法，将递推数列转化为等比数列：
设
a
n
1
t
c
(
a
n
t
),
则
a
n
1
ca
n
(
< br>c
1
)
t
，
令
(
c
1
)
t
d
，即
t
d
c
1
，当
c
1
时可得
a
n
< br>1
d
c
c
(
a
d
1
n
c
1
)
，
知数列
a
d
n
是以
c
为公比的等比数列，
c<
/p>
1
a
d
d
n
1
n
c
1
(
a
1
c
1
)<
/p>
c
a
bc
n
将
c
n
1
d
1
b
代入并整理，得
a
n
d
b
c
1
< br>.
将上述参数法类比到二阶线性递推数列
a
n
1
pa
n
qa
n
1
,
能得到什么结论？
仿上，我们来探求数列
a
n
1
ta
n
的特征：
不妨设
a
n
1
ta
n
s
(
a
n
t
a
n
1
)<
/p>
，
则
a
n
1
(
s
t
)
a
n
sta
n
1
,
令
s
t
p
①
st
q
（
1
）
若方程组①有两组不同的实数解
(
s
1
,
t
1
),
(
s
2
,
t
2
)
< br>,
则
a
n
1
t
1
a
n
s<
/p>
1
(
a
n
t
1
a
n
1
)
,
a
n
1
t
2
a
n
s
2
(
< br>a
n
t
2
a
n
1
)
,
即
<
/p>
a
n
1
t
1
a
n
、
a
n
1
t
2
a
n
分别是公比为
s
< br>1
、
s
2
的等比数列，
由等比数列性质可得
a
n
1
<
/p>
t
1
a
n
(
a
2
t
n
1
1
a
1
)
s
1
,
a
n
1
n
1
t
2
a
n
(
< br>a
2
t
2
1
a
1
)
s
2
,
∵<
/p>
t
1
t
2
,
由上两式消去
a
n
1
可得<
/p>
2
a
n
a
2
t
1
a
1
< br>n
.
s
1
s
1
t
1
t
2
a
2
t
2
a
1
s
2
t
< br>1
t
2
.
s
2
.
n
s
1
s
2
（
2
）
若方程组①有两
组相等的解
，易证此时
t
1
s
1
，则
< br>t
1
t
2
a
n
1
t
1
a
n
s
1
a
n
t
1
a
n
< br>
1
s
1
(
a
n
1
t
1
a
n
2
)
„
s
1
2
< br>n
1
(
a
2
t
1
a
1
)
，
a
n
1
s
1
n
1
< br>a
n
s
1
n
a
2
s
1
a
1
s
1
2
,
即
a
n
是等差数列，
n
s
1
a
1
s
1
n
1
.
a
2
s<
/p>
1
a
1
s
1
2
由等差数列性质可知
a
n
s
1
n
，
<
/p>
所以
a
n
a
1
a
2
s
1
a
< br>1
2
s
s
1
1
a
s
1
a
1
n
2
.
n
< br>s
1
2
s
1
．
（限于学生知识水平，若方程组①有一对共轭虚根的情况略）
这样，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递
2
推数列的通项，
若将方程组①消去
t
即得
s
2
ps
q
0
，
显然
s
1
、
s
< br>2
就是方程
x
px
q
的两根，我们不妨称
此方程为二阶线性递推数列
a
n
1
pa
n
qa
n
1
的特征方程，于是我们
就得到了散见于各种数
学参考资料的如下结论：
2
2
设递推公式为
a
n
1
pa
n<
/p>
qa
n
1
,
其特征方程为
x
px
q
即
x
px<
/p>
q
0
，
1
、
若方程
有两相异根
s
1
、
s
2
，则
a
n
c
1
s
1
c
2
s
2
；
2
、
若方程
有两等根
s
1
s
2
，则
a
n
(
c
1<
/p>
nc
2
)
s
1
.
其中
c
1
、
c
2
可由初始条件确定。
这正是特征方程法求递推数列通项公式的根源所在，令
p
<
/p>
q
1
，就可求
得斐波那契数列
的通项，真是“踏破铁蹄无觅处，得来全不费工夫”
！
将上述方法继续类比到分式线性递推数列
a
n
1
< br>
看又会有什么发现？
仿照前
面方法，等式两边同加参数
t
，
3
n
n<
/p>
n
a
a
n
b
c
a
n
d
（
a
,
b
,
c
,
d
R
,
c<
/p>
0
）
，
看