数列递推关系式
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数列递推关系式
基本知识概述
1
、
递推关
系式
a
n
S
1
,(<
/p>
n
1)
S
n
S
n
1
,(
n
2)
2
、
求和的两种重要方法
裂项相消法
错位相消法求和
典型例题
1
、
（
2015
年乌市一模理
12
）
设数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，
且满足
a
n
S
n
1
，
则
S
n
的
取值范围为（
）
1
1
B
、（
0
,
C
、
[
,1
D
、
[
,
）
A
、（
0,1
）
+
）
）
2
2
考点：数列递推
公式
分析：
根据条件进行化简，
得到数列
a
n<
/p>
是以
的表达式，即可得到结论。
1
1
为首项，
为公比的等比数列，
求出
S
n
2
2
n
1
时，
a
1
S
1
2
a
1
a
1
1
2
S
n
1
< br>a
n
S
n
S
n
1
a
n
1
a
n
n
2
时，
S
n
1
1
a
n
1
即
a<
/p>
n
a
n
1
a
n
,
2
a
n
a
n
-1
即
a
n
1
=
a
n
-1
2
1<
/p>
1
数列
a
n
是以
为首项，
为公比的等比数列
2
2
1
1
[1
(
)
n
]
2
1
(
1
)
n
,
则
1-
1
S
＜
1
，选
C
则
S
n
2
n
1
2
2
1
2
2
、
（
2016
年乌市一模理
16
）设数列
a
n
的各项均为正数，其前
< br>n
项和为
S
n
< br>，满足
1
S
n
< br>=
（
a
n
2
+3
a
n
-4
）
，则
a
n
；
6
2
2
（舍）
解：
n
1
时，
6
S
1
=
a
1
3
a
1
< br>4,
即
a
1
-3
a
1
4=0
，得
a
1
=4
或
a
1
=-1
由题意得：
6
S
n
1
< br>=
a
n
1
2
+3
a
n
1
-4........(1)<
/p>
6
S
n
=
a
n
+3
a
n
-4........(2)
2
2
2
两式相减得
6
a
n
1
a
n
< br>
1
a
n
3
a
n
1
3
a
n
,
即（
a
n
1
+
a
n
）
(
a
n
1
a
n
3)
0
1
a
n<
/p>
＞
0
，
a
n
1
a
n
=3
a
< br>n
是以
4
为首项，
3
为公差的等差数列
<
/p>
a
n
=4+3
（
n-1)=3n+1
3
、
（
2017
年乌市一模理
16
）已知数列
a
n
满足
a
1
1
,
a
n
1<
/p>
a
n
(
n
N
)
，则
a
n
2
a
10
；
解：由已知得
1
2
1
1
1
<
/p>
1
2(
1)
a
n
1
a
n
a
n
1
a
n
1
1
1
2
n
1
(
<
/p>
1)
2
n
，
a
n
a
1
又
a
1
1
，故
a
n
1
1
,
a
10
n
2
1
102
3
4
、
（
20
16
年一模
文
16
）
设数列
a
n
的前前
n
项和
S
n
，
且
S
n
1
a
1
(
S
n
1)
，
若
a
1
2
，
则
a
n
；
解析：
由题意得
S
n
1
a
1
(
S
n
1).
......(1)
当
n
≥2
时，
S
n
a
1
(
S
n
1
1).......(2)
(
1)
(2)
得
a
n
1
2
a
n
，即<
/p>
a
n
1
2
a
n
n
2
时，数列
a
n
是公比为
2
，首项为
2
的等比数列
a
n
2
2
n
1
2
n
当
n
< br>
1
时，
a
1
2
，满足
n
故
a
n
2
点评
：
本题考查了等比数列的通项公式、
递推关系，
考查了推理计算能力，
属于中档题。
5
、
（
2015
全国卷二理
16
< br>）设
S
n
是数列
a
n
的前
n
项和，且
a
1
1
，
a
n
1
S
n
S<
/p>
n
1
，
则
S
n
．
2