一阶线性递推数列简易求解方法
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一阶数列的一般求法——转换法
对
于
一
般
的
一
阶
数
列
，
其
求
法
具
有
一
般<
/p>
式
，
形
如
a
n
f
n
a
n
1
g
n
;
f
n
<
/p>
a
n
a
n
1
g
n
或者
f
< br>n
a
n
g
n
a
n
1
h
n
等等，都可以通过
变式求出其通项公式出来。
欲知其通项公式的一般求法还需要从最简单的一阶等
差数列开始
；下面我就我就告诉大家怎样运用一阶等差数列来求一般的一阶数
列。
< br>
对于简单的一节数列题目如；
题一，
数列
{
a
n
}
满足
a
n
a
n
1
f
n
;
a
1
A
,
f
n
< br>为已知道的表达式，试求
{
a
n
}
的表
达式。
解：由
题目条件满足
a
n
< br>a
n
1
f
n
所以有：
a
n
<
/p>
a
n
1
f
n
a
a
n
1
a
n
2
f
n
< br>1
a
n
3
f
n
2
n
2
……
a
a
2
1
f
2
然后两边各自叠加，又
a
1
A
，所以有
a
n
A
f
i
f
1
< br>
i
1
n
由题一我们知道了一阶数列之中最简单的形式求和，
下面我
就一般的一阶数列求
和进行分类讨论。
已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
f
n
a
n
1
g
n
，
a
1
A
,
f
< br>
n
;
g
n
为
已知关于
n
的函数，试
求数列
{
a
n
}
的通项公式
解：由
{
a
n
}
满足
a
n
f
n
a
n
1
g
n
，则定义
F
n
f
1
f
2
f
3
f
<
/p>
n
那么
a
n
f
n
a
n
1
< br>g
n
可变成为：
F
n
a
n
F
n
1
< br>
a
n
1
g
n
F
n
g
n
F
n
< br>
所以有
< br>F
n
a
n
F
n
1
a
n
1
F
n
1
F
n
2
a
n
< br>
1
F
n
2
F
n
3
a
n
2
g
n
< br>
1
F
n
1
g
n
2
F
n
2
a
n
2
< br>a
n
3
……
F
2
a
2
F
1
a
1
< br>
g
2
F
2
然后左右两边各自叠加，又由
a
1
A
可得；
A
g
1
n
g
i
< br>
F
n
F
1
i
1
F
i
< br>
n
a
A
g
1
n
g
i
最后有：
a
n<
/p>
F
n
[
]
F
1
F
n
i
1
题二，
已知数列
< br>{
a
n
}
满足
f
n
a
n
a<
/p>
n
1
g
n
，
a
1
A
,
f
n
;
g
n
为已知函数，
< br>试求
{
a
n
}
的表达式。
解：由数列
{
a
n
}
满
足
f
n
<
/p>
a
n
a
n
1
g
n
，则定义
F
n
f
< br>1
f
2
f
3
f
n
那么
f
n
a
n
a
n
1
g
n
可变式为
:
F
n
a
n
F
n
< br>
1
a
n
1
F
n
1
g
n
所以有
F
n
a
n
F
< br>
n
1
a
n
1
F
n
1
g
n
F
n
< br>1
a
n
F
n
2
a
n
1
F
n
2
g
n
< br>
F
n
2
a
n
F
n
3
a
n
1
F
n
< br>
3
g
n
……
F
<
/p>
2
a
2
F
1
a
1
F
1
g
2
又
a
1
A
经等式两边各自相加可得
F
n
< br>a
n
F
i
1
g
i
AF
1
F
0
g
1
i
1
n
所以有：
a
n
F
i
1
g
i
AF
1
F
0
g
1
i
1
n
F
n
<
/p>
题三，已知数列
{
a
n
}
满足
f
n
a
n
g
n
a
n
1
h
n
，
a
< br>1
A
,
f
n
,
g
n
,
h
n
为已知函数，
试求
{
a
n
}
的通项
表达式。
解：由题三，知道数列
{<
/p>
a
n
}
满足
f
n
a
n
g
n
a
< br>n
1
h
n
并定义
F
n
f
1
f
2
f
3
f
n
；
G
n
g
1
g
2
g
3
<
/p>
......
g
n
则数列
{
a
n
}
的
递推式可变成；
F
n
a
n
G
n
F
n
<
/p>
1
a
n
1
G
n
1
F
n
1
h
n
G<
/p>
n
所以有<
/p>
F
n
a
n
G
n
F
n
1
a
n
1
G
n<
/p>
1
F
n
1
h
n
G
n
又由数列的一阶递推式的简
单求法。可知
F
< br>n
a
n
G
n
i
1
n
F
i
1
h
i
F
< br>
0
h
1
AF
1
<
/p>
G
i
G
1
G
1
所以有；
a
n
{
< br>i
1
n
F
i
1
h
i
F
0
h
1
AF
1
G
n
}
G
i
G
1
G
1
F
n
< br>以上三个
a
n
通项式子就是我们
所要求的一般的一阶数列通向式的表达式。
由这三个数列的求
通方法我们知道它们在解题的方法上本质是一样的只不过是
思维的角度不相同而已。
在实际的运用当中我们还必须要知道变通，
比如说在以下习题
1
当中，
有时候需
要把
f
n<
/p>
化为几个函数以减轻计算的难处，下面我就实题来讲解。
习题
1
，已知数列
{
a
n
}
满足
a
n
n
a
n
1
1
,
a
1
1
求数列
{
a
n
}
的表达式。
解：由
{
a
n
}
满足
a
n
< br>
n
a
n
1
1
所以有
a
n
(
1
)
n
a
n
1
1
所以有
(
1
)
n
a
< br>n
(
1
)
n
1
n
a
n
1
(
1
)
n
则可变为
所以有
(
1
)
n
a
n
n
!
(
1
)
n
1
a
n
1
(<
/p>
n
1
)!
(
1
)
n
n
!
(
1
< br>)
n
a
n
n
!
(
1
)
n
1
a
n
1
(
n
1
)!
n
(
1
)
n
n
!
又
a
1
1
则<
/p>
(
1
)
n
a
n
n
!
n
(
1
)
i
i
!
i
1
n
(<
/p>
1
)
i
所以有
a
n
(
1
)
n
!
i
!
i
1
从例题
1
我们可以知道在转化的
时候应该遵循先分解
a
n
项之前的函数
f
n
，
使之
变为我们所学的简单的函数，然后逐
步的转化成
F
n
，最后根据一般的一阶数列
求法把数列
< br>a
n
求出来即可。
习题
2.
已知数列
< br>{
a
n
}
满足
(
n
3
)
a
n
<
/p>
(
n
)
a
n
1
1
,
a
1
1
，试求数列
{
a
n
}
的表达式。
解，由数列
{<
/p>
a
n
}
满足
(
n
3
)
a
n
(
n
)
< br>a
n
1
1
,
a
1
1
，
根据数列的一般求法，所以有；
(<
/p>
n
3
)
a
n
(
n
)
a
n
1
1
；