构造法求递推数列的通项公式
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巧用构造法求递推数列的通项公式
蒋明权
利
用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值，自从二十世纪八十年代以来，
一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一。本文想介绍一下利用构造法求递推数列的通项公式
的方法和策略，希望能抛砖引玉。
一、构造等差数列法
例
1.
在数列
{a
n
}
中，
a
1
3
，
na
n
1
< br>(
n
2
)
a
n
2
n
(
n
1
)(
n
2
)
，求通项公式
a
n
。
解：对
原递推式两边同除以
n
(
n
1
)(
n
2
)
可得：
a
n
< br>1
a
n
2
①
(
n
2
)(<
/p>
n
1
)
(
n
1
)
n
a
n
②
(
n
1
)
n
a
1
3
，<
/p>
公差是
b
n
<
/p>
1
b
n
2
的等
(
1
1
)
×
1
2
令
< br>b
n
则①即为
b
n
1
b
n
2
，
则数列
{b
n
}
为首项是
b
1
差数列，因而
b
n
3
1
< br>1
2
(
n
1
)
2
n
，代入
②式中得
a
n
n
(
n
1
)(
4
n
<
/p>
1
)
。
2
2
2
故所求的通项
公式是
a
n
1
n
(
n
1
)(
4
n
1
)
2
二、构造等比数列法
1.
定义构造法
利用等比数列的定义
q
a
n
1
，通过变换，
构造等比数列的方法。
a
n
2
a
n
2
，求
{a
n
}
的通项公式。
2
a
n
例
2.
设在数列
{a
n
}
中，
a
1
2
，
a
n
1
1
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解：将原递推式变形为
(
a
n
2
)
2
①
a
n
1
2
2
a<
/p>
n
(
a
n
2
)
2
②
a
n
1
2
2
a
n
①
/
②得：
a
n
1
2<
/p>
a
n
1
2
[
a
n
2
a
n
2
]
2
，
即
lg
a
n
1
2
a
n
1
2
2
lg[
a
n
2
a
n
2
< br>]
③
设
b
n
lg[
a
n
2
a
n
2
]
④
③式可化为
a
n
1
a
2
2
2
2
，则数列
{b
n
}
是以
b
1
＝
lg[
1
]
lg
2
lg(
2
1
)
为首项，
a
n
a
1
2
2
2
a
n
2
a
n
2
＝
公比为
2
的等比数列，于是
b
n
2
lg(
2
1
)
×
2
< br>n
1
2
n
lg(
2
1
)
，代入④式得：
2
[(
2
1
)
2
1
]
2
为所求。
< br>
(
2
1
)
，解得
a
n
2
n
(
2
1
)
1
n
n
2.
a
n
1
Aa
n
B
（
< br>A
、
B
为常数）型递推式
可构造为形如
a
n
1
A
(
a
n
)
的等比数列。
例
3.
已知数列
{
a
n<
/p>
}
，其中
a
1<
/p>
1
，
a
n
1
3
a
n
2
，求通项公式
a
n
。
解：原递推式可化为：
a
n
1
1
3
(<
/p>
a
n
1
)
，则数列
{
a
n
1
}
是以
a
1
1
2
为首项，公比为<
/p>
3
的等比数列，于是
a
< br>n
1
(
a
1
1
)
×
3
2
n
<
/p>
1
2
×
3
n
1
，故
a
n
2
×
3
n
< br>
1
1
。