数列递推例题
火星哥好听的歌-
高考数学递推数列求通项题型分类归纳解析
类型
1
<
/p>
a
n
1
a
n
f
(
n
)
解法：把原递推公式转
化为
a
n
1
a
n
f
(
n
)
，利用
累加法
(
逐差相
加法
)
求解。
例
1:
已知数列
< br>a
n
满足
a
1
解：由条件知：
a
n
1
a
n
分
别
令
1
1
，
a
n
<
/p>
1
a
n
2
，求
a
n
。
2
n
n
1
< br>1
1
1
2
n
n
n
(
n
1
)
n
n
1
n
1
,
< br>2
,
3
,
,
(
n
<
/p>
1
)
，
代
入
上
式
得
(
n
1
)
个
等
式
累
加
之
，
即
(
a
2
<
/p>
a
1
)
(
a
3
a
2
)
(
a
4
a
3
)
<
/p>
(
a
n
a
n
1
)
1
1
1
1
1
1
1
1
(
1
)<
/p>
(
)
(
)
(
)
所以
a
n
<
/p>
a
1
1
2
2
3
3
4
n
1
n
n
1
1
1
3
1
a
1
<
/p>
，
a
n
1
2
2
n
2
n
类型
2
a
n
1
f
(
n
)
a<
/p>
n
解法：把原递推公式转化为
例
2:
已知数列
a<
/p>
n
满足
a
1
解
：
由
条
件知
a
n
1
f
(
n
)
，利用
累乘法
(
逐商相乘法
)
求解。
a
n
2
n
a
n
，求
a
n
。
，
a
< br>n
1
3
n
1
a
n
1
n
，
分
别
令
n
1
,
2
,
3
,
< br>
,
(
n
1
)
，
代<
/p>
入
上
式得
(
n
1
)
个
等
式
累乘
之
，
即
a
n
n
1
a
a
a
2
a
3
a
4<
/p>
1
2
3
n
1
1
n
<
/p>
n
n
a
1
a
2
a
3
a
n
1
2
3
4
a
1
n<
/p>
2
2
，
a
n
3
3
n
3
n
1
a
n
(
n
1
)
，求
a
n
。
例
3:
已知
a
1
3
，
a
n
1
3
n
2
< br>又
a
1
解：
a
n
3
(
n
<
/p>
1
)
1
3
(
n
2
)
1
3
2
1
3
1
<
/p>
a
1
3
(
n
1
)
2
3
(
n
2
)
2
3
2
<
/p>
2
3
2
3
n
4
3
n
7
5
2
6
3
3
n
<
/p>
1
3
n
4
8
5
3
n
1
。
变式<
/p>
:
（
2004
，
全国
I,
理
15
．）已知数列
{
a
n
}
，满足
a
1
=1
，
a
n
< br>
a
1
2
a
2
3
a
3
(
n
1
)
a
n
1
< br>
(
n
≥
2)
，
则
{
a
n
}<
/p>
的通项
a
n
<
/p>
n
1
1
___
n
2
解：<
/p>
由已知，得
a
n
1
a
1<
/p>
2
a
2
3
a
3
(
n
1
)
a
n
1
na
n
，用此式减去已知式，得
当
n
2
时，
a
n
1
a
n
na
n
，即
a
n
1
(
n
1
)<
/p>
a
n
，又
a
2
a
1
1
，
a
1
< br>1
,
a
a
a
2
a
n
!
1
,
3
3
,
4
4
,
,
n
< br>
n
，将以上
n
个式子相乘，得
a
n
(
n
2
)
2
a
1
a
2
a
3
a
n
1
类型
3
a
n
1
pa
n
q
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq
(
p
1
)
0
)
）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化
为：
a
n
1
t
p
(
a
n
t
)
，其中
t
等比数列求解。
例
4:
已知数列
a
n
中，
a
1
1
，<
/p>
a
n
1
2
a
n
3
，求
a
n
.
解：设递推公式
a<
/p>
n
1
2
a
n
3
可以转化为
a
n
1
t
2
(
a
n
t
)
即
a
n
1
2
a
n<
/p>
t
t
3
.
故递推公式为
q
，再利用
换元法
转化为
1
p
a
n
1
3
2<
/p>
(
a
n
3
)
,
令
b
n
a
n
3
，则
< br>b
1
a
1
3
4
,
且
b
n
1
a
n
1
3
2
.
< br>所以
b
n
是以
b
1
4
为首
b
n
a
n
3<
/p>
项，
2
为公比的等比数列，则
b
n
4
2
n
1
2
n
1
,
所以
a
n
2
n
1
3
.
变式
:
（
2006
，重庆
,
文<
/p>
,14
）
在数
列
a
n
<
/p>
中，若
a
1
<
/p>
1
,
a
n
1
2
a
n
3(
n
1)
，则该数列的通项
a
n
___
____________
（
key:
a
n
2
n
1
3
）
类型
4
<
/p>
a
n
1
pa
n
q
n
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq
(
p
1
)(
q
1
)
0
)
）。
（或
a<
/p>
n
1
pa
n
rq
n
,
其中
p
，
q,
r
均为常数）
。
解法：一般地，要先在原递推公式
两边
同除
以
q
n
1
，得：
a
n
1
p<
/p>
a
n
1
n
引入辅助数列
b
n
（其中
n
1
q
q
q
q
b
n
a
n
p
1
b
< br>
b
），得：
再待
定系数法
解决。
n
1
n
n
q
q
q
5
1
1
n
1
,
a
n
1
a<
/p>
n
(
)
，求
a
n
。
6
3
2
1
1
n
< br>1
2
n
n
1
n
1
解：在
a
n
1
a
n
(
)
两边乘以<
/p>
2
得：
2
a
n
1
(
2
a
n
)
< br>1
3
2
3
2
2
n
n
令
b
n
2
a
n
，则
b
n
1
b
n
1
,
解之得：
b
n
3
< br>
2
(
)
3
3
例
5
:
已知数列
a
n
中，
a
1