2010-2019历年高考数学《递推数列与数列求和》真题汇总
快速有效的美白方法-
2010-2019
历年高考数学《递推数列与数列求和》真题汇总
2010-2019
历年高考数学《递推
数列与数列求和》真题汇总
专题六数列
第十七讲
递推数列与数列求和
2019
年
1.
（
2019
江苏
20
）定义首项为
1
且公比为正数的等比数列为“
M
－数列”
.
（
1
）
已知等比数列
{
a
n
}
(
n
N
)
满足：
a
2
a
4
a
5
,
a
< br>3
4
a
2
4
a
4
0
，
求证：
数列
{
a
n<
/p>
}
为
“
M
－数列”；
（
2<
/p>
）已知数列
{
b
n
}
(
n
<
/p>
N
)
满足：
b<
/p>
1
1,
①求数
列
{
b
n
}<
/p>
的通项公式；
②设
m
为正整数，若存在“
M
－数列”
{
c
n
}
(
n
N
)
，对任意正整数
k
，
当
k
≤
m
时，
都有
*
*
*
1
2
2
，其中
S
n
为数列
{
b
n
}
的前
n<
/p>
项和．
<
/p>
S
n
b
n
b
n
1
c
k
剟
b
k
c
k
1
成立，求
m
的最大值．
2.
（
2019
浙江
10
）设
a<
/p>
，
b
∈
R
，数列
{
a
n
}
中
a
n
=
a
，
a
n
+1
=
a
< br>n
2
+
b
，
n
N
,
则
A
．当
b
=
时，
a
10
＞
10
C
．当
b
=-2
时，
a
10
＞
10
1
2
B
．当<
/p>
b
=
时，
a
10
＞
10
1
4
D
．当<
/p>
b
=-4
时，
a
10
＞
10
3.
（
2019
浙江
< br>20
）设等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
3
4
，
a
4
S
3
，数列
{
b
n
}
满
足：对每个
n
N
,
S
n
b
n
,
S
n
1
b
n
,
S
n
2
< br>
b
n
成等比数列
.
（
1
）求数列
{
a
n
},{
b
n
}
的通项公式；<
/p>
（
2
）记
c
n
a
n
,
n
N
,
< br>证明：
c
1
< br>c
2
+
L
c
n
2
n
,
n
N
.
2
b
n
2010-2019
年
一、选择题
2010-2019
历年高考数学《递推数列与数列求和》真题汇总
< br>1
．（
2013
大纲）已知数列
a
n
满足
3
a
n
1
a
n
0,
a
2
A
< br>．
6(1
< br>3
10
4
，则
a
n
的前
10
项和等于
3
1
)
B
．
(1<
/p>
3
10
)
C
．
3(1
3
10
)
D
．
3(1
3
10
)
9
n
2
< br>．
（
2012
新课标）数列
a
n
满足
a
n
1
(
1)
a
n
< br>2
n
1
，则
a
n
的前
60
项和为
A
．
3690
B
．
3660
C
．
1845
D
．
1830
3
．
（
2011
安徽）若数列
a
n
的通项公式是
a
n
(
1)
(3
n
2)
,
则
a
1
a
2
< br>
a
< br>10
=
A
．
15
B
．
12
C
．－
12
D
．－
15
二、填空题
4
．
（
2015
新课标
1
）
数列
< br>a
n
中
a
1
2,
a
n
1
<
/p>
2
a
n
,
S
n
为
a
n
的前
n
项和，
若
S
n
126
，
则
n
．
5
．
（
2015
安徽
）已知数列
{
a
n
}
中，
a
1
1
，
a
n
a
n
1
等于
____
__
．
6
．
（
2015
江苏）数列
{
a
n
}
满足
a
1
1
，且
a
n
1
a
n<
/p>
n
1
（
n
N
*
）
，则数列
{
项的和为
．
7
．
（
2014
新课标
2
）数列
a
n
满足
a
n
1
1
(
n
≥
2
)
，则数列
{
a
n
}
的前
9
项和
2
1
}
前
10
a
n
1
，
a
2
< br>=2
，则
a
1
< br>=_________
．
1<
/p>
a
n
8
．（
2013
新课标
1
）若数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
＝
2
1
a
n
<
/p>
，则数列
{
a
n
}
的通项公式是
3
3
a
n
=______
．
9
．
（
2013
湖南）设
S
n
为数列
a
n
的前
n
项和，
S
n
(
1)
a
n
n
1
,
n
N
,
则
n
2
（
1
）<
/p>
a
3
____
_
；
（
2<
/p>
）
S
1
S
2
S
100
___________
．
n
10
．
（
< br>2012
新课标）数列
{
a
n
}
满足
a
n
1
(
1
)
a
n
2
n
1
，则
{
a
n
}
的
前
60
项和为
．
11
．<
/p>
（
2012
福建）数列
< br>
a
n
的通项公式
a
n
< br>n
cos
n
< br>
1
，前
n
项和为
S
n
，则
< br>S
2012
=___
．
2
12
．
（
2011
浙江）若数列
n
(
n
<
/p>
4)(
)
中的
最大项是第
k
项，则
k
=____________
．
三、解答题
2
n
3
2010-2019
历年高考数学《
递推数列与数列求和》真题汇总
13
．（
2018
天津）设
{
a
n
}
是等差数列，其前<
/p>
n
项和为
S
n<
/p>
(
n
N
*
)
；
{
b
n
}
是等比数列，公比
大于
0
，其前
n
项和为
T
n
(
n
N
*<
/p>
)
．已知
b
1<
/p>
1
，
b
3
b
2
2
，
b
4
a
3
a
5
，
b
5
a
4
2
a
6
．
(1)
求
S
n
和
T
n
；
< br>(2)
若
S
n
< br>
(
T
1
T
2
T
n
)
a
n
4
b
n
，求正整数
n
的值．
1
4
．设（
2017
新课标Ⅲ）数列
{
a
n
}
满足
a
1
3
a
2
(2
n
1)
a
n
2
n
．
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
求数列
{
a
n
}
的前
n
项和．
2
n
1
1
，
3
15
< br>．
（
2016
全国
I
卷）已知
{
a
n
}
是公差为
3
的等差数列，数列
{
b
n
}
满足
b
1
1
，
b
2
a
n
b
n
1
b
n
< br>1
nb
n
．
（
I
）求
{
a
n
}
的通项公式；
（
II
）求
{
b
n
}
的前
n
项和．
16
．
（
2016
年全国
II
卷）等差数列
{
a
n
}
中，
a
3
a
4
4,
a
5
a
7
6
< br>．
(
Ⅰ
)
求
{
a
n
}
的通项公式；
(
Ⅱ
)
设
b
n
[
a<
/p>
n
]
，求数列
{
b
n
}
的前<
/p>
10
项和，其中
[
x
]
表示不超过
x
< br>的最大整数，如
[0.9]=0
，
[2.6]=2
．
*
17
．
（
2015
浙江）已知数列
{
a
n
}
和
{
b
n
}
满足，
a
1
2
，
b
1
1
，
a
n
< br>1
2
a
n
(
n
N
)
，
1
1
1
b
1
b
2
b
3
L
< br>
b
n
b
n
1
1(
n
N<
/p>
*
)
．
2
3
n
（Ⅰ）求
a
n
与
b
n
；
（Ⅱ）记数列<
/p>
{
a
n
b
n
}
的前
n
项和为
T
n
，求
T
n
．
18
．
（
2015
湖南）设数列
{
a
n
}
的前
n
项和
为
S
n
，已知
a
1
1,
a
2
2
，
*
且
a
n
2
3
S
n
< br>S
n
1
3,(
n
N
)
．
2
010-2019
历年高考数学《递推数列与数列求和》真题汇总
（Ⅰ）证明：
a
n
2
3
a
n
；
（Ⅱ）求
S
n
．
19
．
（
2014
广东）设各项均为正数的数列
a
n
的前
n
项和为
S
n
，且
S
n
满足
2
S
n
n
2
n
3
S
n
3
n
2
< br>
n
0
,
n
N
．
（Ⅰ）求
a<
/p>
1
的值；
（Ⅱ
）求数列
a
n
的通项公式；
（Ⅲ）证明：对一
切正整数
n
，有
1
1
1
1
.
<
/p>
a
1
a
1
1
a
2
a
2
1
a
n
a
n
1
3<
/p>
20
．
（
2013
湖南）设
S
n
为数列
{
a
n
}
的前项和，已知
a
1
0
，
< br>2
a
n
a
1
S
1
•
S
n
，
n
N
(
Ⅰ
)
求
a
1
，
a
< br>2
，并求数列
a
n
的通项公式；
(
Ⅱ
)
求数列｛
na
n
｝的前
n<
/p>
项和．
21
．
（
2011
广东）设
< br>b
0
，数列
< br>
a
n
满足
a
1
b
，
a
n
<
/p>
（
1
）求数列
a
n
的通项
公式；
nba
n
1
(
n
2)
．
a
n
1
2
n
2
b
n
1
（
2
）证明：对于一切正整数
n
，
a
n
n
1
1.
2
答案部分
2019
年
1.
解析
（
1
）设等比数列
{
a
n
}
的公比为
q
< br>，所以
a
1
≠0
，
q
≠0.
a
1
2
q
4
a
1
q
4
a<
/p>
2
a
4
a
5
a
1
1
2
a
4
a
4
a
0
a<
/p>
q
4
a
q
4
a
0
q
2
．
2
1
1
1
由
3
，得
1
，解得
因此数列
{
a
n
}
为“
M
—数列”
.
< br>1
2
2
S
b
n
b
n
1
，所以
b
n
0
．
（
2
）①因为
n
1
2
2
b
1,
S
1
b
1
1
< br>1
b
2
，则
b
2
2
.
由
1
，得
2010-2019
历年高考数学《递推数列与数列求和》真题汇总
b
n
b
n
1
1
2<
/p>
2
S
n
S
b
n
b
n
1
，得
2(
b
n
1
b
n
)
，
由
n
当
n
2
时，由
b
n
S
n
S
n
1
整理得
b
n
，得
b
n
b
n
1
b
n
1
b
n
2
<
/p>
b
n
1
b
n
2
b
n
b
n
1
．
，
b
n
1
b
n
1
2
b
n
所以数列
{
b
n
}
是首项和公差均为
1
的等差数列
.
n
N
.
因此，数列
< br>{
b
}
的通项公式为
b
=
n
*
n
n
②由①知，
b
k
=
k
，
k
N
.
< br>因为数列
{
c
n
}
为
“M
–数列
”
，设公比为
q
，所以
c
1
=1
，
q
>0.
k
1
k
q
k
q
因为
c
k
≤
b
k
≤
c
k
+1
，所以
，其中
k
=1
，
2
，
3
，…，
m
.
*
当
k
=1
时，有
q
≥
1
；
ln
k
< br>ln
k
ln
< br>q
k
1
．
当
k
=2
，
3
，…
，
m
时，有
k
ln
x
1
l
n
x
(
x
<
/p>
1)
f
'
(
x
)
x
2
．
设
f
（
x
）
< br>=
x
，则
令
f
'
(
x
)
0
，得
x
=e.
列表如下：
x
f
'
(
x
)
(1,e)
e
0
极大值
(e
，
+
∞
)
–
+
f<
/p>
（
x
）
ln
2
ln8
ln<
/p>
9
ln
3
ln<
/p>
3
f
(
k
)
max
f
(3)
6
6
3
，所以
3
．
因为
2
ln
k
„
ln
q
k
3
q
3
< br>k
取
，当
k
=1
，
2
，
3
，
4
，
5
时，
，即
k
q
，
k
1
q
k
也成立．
经检验知
因此所求
m
的最大值不小于
5
．
若
m
≥6
，分别取
k
=3
，
6
，得
3≤
q
3
，且
q
5
≤6
，从而
q
15
≥243
，且<
/p>
q
15
≤216
，
所以
q
不
存在
.
因此所求
m
的最大值小于
6.
综上，所求
m
的最大值为
5
．
x
2
2.
解析
：
对于
B
，令
1
1
0
<
/p>
4
2
，
，得
2010-2019
历年高考数学《递推
数列与数列求和》真题汇总
取
a
1
1
1
1
a
2
,
L
,
a
< br>n
10
2
，所以
2
2
，
b
1
4
时，
a
1
0
10
，故
B
错误；
所以当
2
对于
C
，令
x
2
0
，得
2
或
1
，
取
a
1
2
，所以
a
2
2,
L
,
a
n
2
10
a
10
10
，
所以当
b
2
时，
，故
C
错误；
对于
D
，令
x
4
0
，得
2
<
/p>
1
17
2
，
取
a
1
1
17
1
17
1
17
a
2
a
n
10
2
，所以
2
，
…
，
2
，
所
以当
b
4
时，
a
10
10
，故
D
错
误；
2
1
1
a
a
2
1
1
…
3
a
2
a
< br>2
…
3
2
2
4
，
2
2
对于
A
，
，
3
1
9
1
17
a
4
< br>
a
4
a
2
…
1
4
2
16
2
16
，
a
n
1
a
< br>n
0
，
2
{
a
n
}
递增，
1
a
n
1
1
3
a
n
2
1
a
n
< br>2
2
，
4
时，
a
n
当
n
…
所以
a
5
3
a
2
4
a
6
3
< br>a
5
2
M
a
1
0
3
a
<
/p>
2
9
a
10
3
729
a
10
10
a
2
64
4
，所以
，所以
故
A
正确．故选<
/p>
A
．
3.
解析（Ⅰ）设数列
6
{
a
n
}
的公差为
< br>d
，由题意得
，
a
1
2
d
4,
a
1
3
d
3
a
1
3
d
2010-2019
历年高考数学《递推数列与数列求和
》真题汇总
解得
从而
由
a
1
0,
d
2
．
．
a
n
2
n
2,
n
N
*
S
n
b
n
,
S
n
1
b
n
,
S
n
2
<
/p>
b
n
成等比数列得
．
S
n
1
b
n
解得
2
S
n
b
n
S
n
< br>2
b
n
1
2
S
n
1
S
n
S
n
2
d
．
．
< br>b
n
所以
b
n
n
2
n
,
n<
/p>
N
*
c
n
（Ⅱ）
a
n
2
n
2
n
1
,
n
N
*
2
b
n
2
n
(<
/p>
n
1)
n
(
n
1)
．
我们用数学归纳法证明．
（
1
）当
n
=1
时，
c
1
=0<2
，不等式成立；
（
2
）假设
n
k
k
N
*
时不等式成立，即
c
1
c
2
L
c
h
2
k<
/p>
．
那么，当
n
k
1
时，
c
1
c
2
L
c
k
c
k
1
2
k
k
1
2<
/p>
k
(
k
1)(
k
2)
k
1
2
k
2
< br>2
k
2(
k
1
k
)
2
k<
/p>
1
k
1
k
．
即当
n
k
1
时不等式也成立．<
/p>
根据（
1
）和
（
2
）
，不等式
c
1
c
2
L
c
n
2
n
对任意
n
N
*
成立．
2010-2018
年
1
a
n
1
a
n
3
，∴
a
n
是等比数列
1
．
C
【解析】∵
1
10
4
1
< br>
3
3
1
3
10<
/p>
S
10
4
1
a
2
1
a
1
< br>
4
3
3
又
，∴<
/p>
，∴
，故选
C
．
2
．
D
【解析】
【法
1
】
有题设知