最新高考递推数列题型
雅思托福词汇量-
高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下，
就是对数列通项公式的求解。
特别是在一些综合性比较强
的数列问题中，
数列通项公
式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。
本文总结出几种求解
数列通项公式的方法，希望能对大家有帮助。
类型
1
<
/p>
a
n
1
a
n
f
(
n
)
解法：把原递推公式转
化为
a
n
1
a
n
f
(
n
)
，利用
累加法
(
逐差相
加法
)
求解。
例
:
已知数列
a
n
满足
a
1
1
2
，
a
a
1
n
1
n
n
2
n
，求
a
n
。
解：由条件知：
a
1
1
1
n
1
a
n
n
2
n
n
(
n
1<
/p>
)
n
1
n
1
分
别
令
n
1
,
2
,
3
,
,
(
n
1
)
，
代
入
上
式
得
(
n
1
< br>)
个
等
式
累
加
之
，
(
a
2
a
1
)
(
a
3
a
2
)
(
< br>a
4
a
3
)
(
a
n
a
n
1
)
< br>(
1
1
2
)
(
1
2
1
3
)
(
1
3
1
1
1
4
)
< br>
(
n
1
n
)
所以
a
1
n
a
1
1
n
a
1
2
，
a
1
1
3<
/p>
1
1
n
2
1
n
2
n
变式
:
< br>（
2004
，全国
I
，个理
22
．本小题满分
14
分）
已知数列
< br>{
a
n
}
中
a
1
1
，且
a
2k
=
a
2k
－
1<
/p>
+(
－
1)
K<
/p>
,
a
2k+1
=
a
2k
+3
k
, <
/p>
其中
k=1,2,3,
……
.
（
I
）求
a
3
,
a
5
；
（
II
）求
{
a
n
}
的通项公
式
.
解：
a
k
k
2
k<
/p>
a
2
k
1
(
1
)
，
a
2
k
1
a
2
k
3
<
/p>
a
k
2
k
1
a
2
k
3
a
2
k
1
(
1
)
k
<
/p>
3
k
，即
a
k
2
k
1
a
2
k
1
< br>3
(
1
)
k
a
3
a
1
3
(
1
)
，
a
2
< br>5
a
3
3
(
1
)
2
……
……
a<
/p>
2
k
1
a
2
k
1
3
k
(
1
)
k
将以上
k
个式子相加，得
a
3
1
2
k
1
a
1
(
3
3
2
<
/p>
3
k
)
[(
1
)
(
1
< br>)
2
(
1
)
k
]
(
3
k
1
)
2
[(
1
)
k
2
1
]
将
a
1
1
代入，得
即
a
2
k
1
a
2
k
1
k
1
1
3
< br>
(
1
)
k
1
，
2
2
1
1
a
2
k
1
(
1
)
< br>k
3
k
(
1
)
k
1
。
2
2
1
n
1
1
n
< br>2
1
2
3
(
1
)
1
(
n
为奇数
)
2
2
经检验
a
1
1
也适合，
a
n
n
n
1
3
2
1
(
1
)
2
1<
/p>
(
n
为偶数
)<
/p>
2
2
类型
2
a
n
1
f
(
n
)
a
n
解法：把原递推公式转化为
例
:
已知数列
a
n
满足
a
1
解：由条件知
之，即
a
n
1
f
(
n
)
，利用
累乘法
(
逐商相乘法
)
求解。
a
n
2
n
，
a
n
1
a
n
，求
a
n
。
3
n
1
a
n
1
n
，分别令
n
< br>1
,
2
,
3
,
,
(<
/p>
n
1
)
，代入上式得
(
n
1
)
个等式累乘
a
n
n
1
a
a
a
2
a
3
a
4
1
1
2
3
n
1
•
< br>•
•
•
n
n
< br>a
1
a
2
a
3
a
n
1
2
3
4
a
1
n
n
2
2
，
a
n
< br>3
3
n
3
n
1
例
:
已知
a
1
<
/p>
3
，
a
n
1
a
n
(
n
1
)
，求
< br>a
n
。
3
n
2
又
a
1
解：
a
n
3
(
n
1
)
1
3
(
n
2
)
1
3
2
1<
/p>
3
1
•
•
•
•
a
1
3
(
n
1
)
2
3
(
n
<
/p>
2
)
2
3
2
2
3
2
3
n
4
3
n
7
3
n
< br>
1
3
n
4
5
2
6
3
8
5
3
n
1
。
变式
（
:
2004
，
全国
I,
理
15
．
）
已知数列
{
a
n
}
，
满足
a
1
=1
，
a
n
a
1
< br>2
a
2
3
a
3
(
n
1
)
a
n
1
(
n
≥
< br>2)
，则
{
a
< br>n
}
的通项
a
< br>n
n
1
1
n
2
___
解：
由已知，得
a
n
1
a<
/p>
1
2
a
2
3
a
3
(
n
1
)
a
n
1
na
n
，用此式减去已知式，得
当
n
2
时，
a
n
1
a
n
na
n
，即
a
n
1
(
n
1<
/p>
)
a
n
，又
a
2
a
1
1
，
a
1
< br>
1
,
a
a
a
2
a
n
!
1
,
3
3
,
4
4
,
< br>,
n
n
，将以上
n
个式子相乘，得
a
n
(
n
2
)
a
1
a
2
a
3
a
n
1
2
类型
3
<
/p>
a
n
1
pa
n
q
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq<
/p>
(
p
1
)
0
)
）
。
解法（待定系数法
）
：把原递推公式转化为：
a
n
1
t
p
(
a
n
t
)
，其中
t
换元法
转化为等比数列求解。
例
:
已知数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
n
1
2
a
n
3
，求
a
n
.
解：设递推公式
a
n
1
2
a
n
3
可以转化为
a
n
1
t
2
(
a
n
< br>
t
)
即
a
n
1
2
a
n
t
t
3
.
故递推公式为<
/p>
a
n
1
3
2
(
a
n
3
)
,
令
b
n
a
n
3
，
则<
/p>
b
1
a
1
3
4
,
且
q
，再利用
1
p
b
n
1
< br>a
n
1
3
2
.
b
n
a
n
3
n
1
n
1
所
以
< br>b
n
是
以
b
1
4
为
首
项
，
2
为
公
比
的
等
比
数
列
，
则
b
< br>n
4
2
2
,
所
以
a
n
2
n
1
3
.
变式
:
（
2006
，重庆<
/p>
,
文
,14
）<
/p>
在数列
a<
/p>
n
中，若
a<
/p>
1
1,
a
n
1
2
a
n
3(
n
1)
，则该数列的通项
a
n
<
/p>
_______________
n
1
（
key:
a
n
2
<
/p>
3
）
变式
:
（
2006.
福建
.
理
22
.
本小题满分
14
分）
*
已知数列
a
n
满足
a
1
1,
< br>a
n
1
2
a
n
1(
n
N<
/p>
).
（
I
）求数列
a
n<
/p>
的通项公式；
（
II
）若数列
{
< br>b
n
}
滿足
4
1
4
（Ⅲ）证明：
b
1
b
< br>2
1
4
b
n
1
(
a
n
1)
b
n
(
n
N
*
),
证明：数列
{
b
n
}
是等差数列；
a
n
1
a
1
a
2
n
...
n
(
n
N
< br>*
).
2
3
a
2
a
3
a
n
1<
/p>
2
（
I
）解：<
/p>
a
n
1
2
a
n
1(
n
N
*
),
a
n
< br>
1
1
2(
a
n
1),
a
n
1<
/p>
是以
a
1
1
2
为首项，
2
为公比的等比数列
< br>
a
n
1
2
n
.
n
*
即
a
n
2
1(
n
N
).
（
II
）证法一：
4
k
1
1
4
k
2
1
...4
k
n
1
(
a
< br>n
1)
k
n
.
4
(
k
1
k
2
...
k
n
)
n
2
< br>nk
n
.
2[(
b
1
b
2
...
b
n
)
n
]
<
/p>
nb
n
,
①
2[(
b
1
b
2
...
b
n
b
n
1
)
(
n
< br>1)]
(
n
< br>
1)
b
n
1
.
②
②－①，得
2(
b
n
1
1)
(
n
1)
b<
/p>
n
1
nb
n
,
即
(
n
1)
b
n
1
nb
n
< br>
2
0,
nb
n
2
(
n
1)
b
n<
/p>
1
2
0.
③－④，得
nb
n
2
2
nb
n
1
nb
n<
/p>
0,
即
b
n
2
2
b
n
1
b
n
< br>0,
b
n
2
b
n
1
<
/p>
b
n
1
b
n
(
n
N
*
),
< br>b
n
是等差数列
证法二：同证法一，得
(
n
1)
b
n
1
< br>
nb
n
2
0
令
n
1,
得
b
1
2.<
/p>
设
b
2
2
d
(
d
R
),
下面用数学归纳法证明
b
n
2
<
/p>
(
n
1)
d
.
（
1
）当
n
1,
2
时，等式成立
（
2
）假设当
n
k<
/p>
(
k
2)
时，
b
k
2
(
k
1)
d
,
那么
k
2
k
2
b
k
[2
(
k
1)
d
]
2<
/p>
[(
k
1)
1]
d
.
k
1
k
1
k
1
k
< br>
1
这就是说，当
n
k
1
时，等式也成立
b
k
1
*
根据（
1
）和（
2
）
，可知
b
n
2
(
n
1)
d
对任何
n
N
都成立
b
n
1
b
n
d
,
b
n
< br>
是等差数列
（
III
）证明：
a
k
2
k
1
2<
/p>
k
1
1
k
1
,
k
1,
2,...,
n
,
a
k
1
2
1
2(2
k
1
)
2
2
a
a
1
a
2
n
<
/p>
...
n<
/p>
.
a
2
a
3
a
n
1
2
a
k
2
k
1
1
1
1
1<
/p>
1
1
1
k
1
.
k
,
k
1,2,...,
n
,
k
1
k
k
a
< br>k
1
2
1
2
2(2
1)
2
3.2
2
2
2
3
2
a<
/p>
a
1
a
2
n
1
1
1
1
n
1
1
n
1
...
n
(
2
...
n
)
(1
n
)
,
a
2
a
3
a
n
1
2
3
< br>2
2
2
2
3
2
2
3
a
n
1
a
a
n
1
2
...
n
(
n
< br>
N
*
).
2
3
a
2
a
3
a
n<
/p>
1
2
变式
:
递推式：
a
n<
/p>
1
pa
n
f
n
。
解法：只需
构造数列
b
n<
/p>
，
消去
f
n
带来的
差异
．
n
类型
4
a
n
1
pa
n
q
（其中
p
，
q
均为常数，
(<
/p>
pq
(
p
1
)(
q
1
)
0
)
）
。
（或<
/p>
a
n
1
pa
n
rq
n
,
其中
p
，
q,
r
均为常数）
。
解法：一般地，要先在原递推公式
两边
同除
以
q
n
1
，得：
a
n
1
p<
/p>
a
n
1
•
引入辅助数列
q
n
1
q
q
n
q
b
n
（其中
b
n
a
n
n
q
）
< br>，得：
b
n
< br>1
p
1
b
n
再待
定系数法
解决。
q
< br>q
5
1
1
n
1
,
a
n
1
a
n
(
)
，求
a
n
。
6
3
2
1
1
n
1
2
n
n
1
n
<
/p>
1
解：在
a
n<
/p>
1
a
n
(
)
两边乘以
2
得：
2
•
a
n
1
(
2
•
a
n
)
1
3
2
3
2
2
n<
/p>
n
令
b
n
2
•
a
n
，则
b
n
1
b
< br>n
1
,
解之得：
b
n
3
2
(
)
3
3
b<
/p>
1
n
1
n
所以
a
n
n
3
(
)
2
(
< br>)
2
3
2
n
例
:
已
知数列
a
n
中，
a
1
变式
:
（
20
06
，全国
I,
理
22,
本小题满分
12
分）
设数列
a
n
的前
n
项的和
S
n
4
1
2
a
n
2
< br>n
1
，
n
1,2,3,
3
3
3
n
2
n
（Ⅰ）求首项
a
1
与通项
a
n
；
（Ⅱ）设
T
n
，
n
1,2,3,
S
n
解：
（
I
）当
n
1
时，
a
1
S
1
当
，证明：
T
2
< br>
i
i
1
3
4
4
2
a
1
a
1
2
；
3
3
3
，
即
< br>n
2
时
，
4
1
2
4
1
2
a
n
S
n
S
n
1
a
n
< br>
2
n
1
(
a
n
1
2
n
)
3
3
3
3
3
3
a
< br>n
4
a
n
1
2
n
，利用
a
n
1
pa<
/p>
n
q
n
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq
(
p
1
)(<
/p>
q
1
)
0
)
）
。
n
n
n
（或
a
n
1
pa
n
rq
,
其中
p
，
q,
r
均为常数）的方
法，解之得：
a
n
< br>4
2
4
1
2
1
n
n
(
Ⅱ
)
将
a
n
4
2
代入①得
S
n
=
×
(4
n
－
2
n
)
－
×
2
n+1
+
=
×
(2
n+1
－
1)(2
n+1
－
2)
3
3
3
3
2
=
×
(2
n+1
－
1)(2
n
－
1)
3
2
n
3
2
n
3
1
1
T
n
=
=
×
n+1
=
×
(
－
)
S
n
2
(2
－
1)(2
n
－
1)
2
2
n
－
1
2
n+1
－
1
所以
,
i
1
n
3
T
i
=
2
(
i
1
n
1
1
3
1
1
3
－
)
=
×
(
－
) <
2
2
1
－
1
2
2
i
－
1
2
i+1
－
1
2
i+1
－
1
类型
5
递推公式为
a
n
2
pa
n
1
qa
n
（其中
p
，
q
均为常数）
。
解法一
(
待定系数
法
)
：先把原递推公式转化为
a
n
2
sa
n
1
t
(
a
< br>n
1
sa
n
)
其中
s
，
t
满
足
s
<
/p>
t
p
st
q
解法二
(
特征根法<
/p>
)
：
对于由递推公式
a
n
2
pa
n
1
qa
n
，<
/p>
a
1
,
a
2
给出的数列
a
n
，
方程
x
px
q
0
，
叫做数列
a
n
的特征方程。
若
x
1
,
x
2
是特征方程的两个根，
当
x
1
x
2
2
n
1
n
1
时，数列
<
/p>
a
n
的通项为
a
n
Ax<
/p>
1
Bx
2
，其中
A
，
B
由
a
1
,
a
2
决定（即把
n
1
n
1
a
1
,
< br>a
2
,
x
1
,
x
2
和
n
1
,
2
，
代入
a
n
Ax
1
Bx
2
，
得到关于
A
、
B
的方程组）
；
当
x
1
x
2
时，
n
1
数列
a
n
的通项为
a
n
(
A
Bn
)
x
1
< br>，
其中
A
，
B
由
a
1
,
a
2<
/p>
决定
（即把
a
1
,
a
2
,
x
1
,
x
2
n
1
和
n
< br>
1
,
2
，代入
a
n
(
A
Bn
)
x
1
，得到关于
A
、
B
的方程组）
。
解法一（待定系数——迭加法）
:
数
列
a
n
<
/p>
：
3
a
n
2
5
a
n
1
2
a
n
0
(
n
0
,
n
<
/p>
N
)
，
a
1
a
,
a
2
b
，求数列
a
n
的通项
公式。
由
3
a
n
2
< br>5
a
n
1
2
a
n
0
，得
<
/p>
a
n
2
a
n
1
2
(
a
n
1
a
n
)
，
3
且
a<
/p>
2
a
1
b
a
。
则数列
a
n
1
a
n
是以
b
a
为首项，
2
为公比的等比数列，于是
3
a
2
n
1
n
1
a
n
(
b
< br>
a
)(
3
)
。把
n
1
,
2
,
3
,
,
n
代入，得
<
/p>
a
2
a
1
b
a
，
a
2
3
a
2
(
b
a
)
(<
/p>
3
)
，
a
a
(
b
a
)
(
2
2
4
3
3
)
，
•
•
•
a
a
(
b
a
)(
2
n
n
1
)
n
2
3
。
把以上各式相加，得
2
a
2
2
1
< br>
(
n
a
1
(
b
a
)[
1<
/p>
3
)
n
1
2
3
(
3
)
(
3
)
n
2
]
<
/p>
(
b
a
)
1
2
。
3
a
2
3
)
n
1
](
b
a
)
a
3
(
a
b
)(
2
n
[
3
3
(
3
)
n
1
3
b
2
a
。
<
/p>
解法二（特征根法）
：数列
a
n
：
3
a
n
2
5
a
n
1
2<
/p>
a
n
0
(
n
0
,
n
N
)
，
的特征方程是：
3
x
2
5
x
2
0
。
x
2
1
1
,
x
2
<
/p>
3
,
a
n
1
n
1
(
2
n
Ax
1
Bx
2
< br>A
B
)
n
1
3
。
又由
a<
/p>
1
a
,
a
2
b
，于是
a
A
B
A
3
b
b
A<
/p>
2
3
B
2
a
B
3
(
a
b
)
故
a
n
3
b
<
/p>
2
a
3
(
a
b
)(
2
n
1
3
)
< br>例
:
已知数列
a
n
中，
< br>a
1
1
,
a
2
2
,
a
2
n
2
3
a
1
n
1
3
a
< br>n
，求
a
n
。
解：由
a
2
n
2
3
a
1
n<
/p>
1
3
a
n
可转化为
a
n
2
sa
n
1
t
(
a
n
1
sa
n
)
即
a
(
s
t
)
a
s
t
2
3
s
< br>
1
s
1
n
2
n
1
sta
n
1
t
1
或
< br>3
st
3
3
<
/p>
t
1
a
1
a
,
a
2
b
s
1
这
里
不
妨
选<
/p>
用
1
（
当
然
也
可
选
用
t
3
1
s
3
，
大<
/p>
家
可
以
试
一
试
）
，
则
t
1
1
1
公比为
的等比数列
,
a
n
2
a
n
1
(
a
n
1<
/p>
a
n
)
a
n
1
a
n
是以首项为
a
2
a
1
1
，
3
3
1
n
1
所以
a
n
1
a
n
(
)
,
应用类型
1
的方法，
分别令
n
1
,
2
,
3
,<
/p>
,
(
n
1
)
，代入上式得<
/p>
3
1
1
(
)
n
1
1
1
1
3
(
n
1
)
个等式累加之，即
a
n
a
1
(
< br>
)
0
(
)
1
(
)
n
2
1
3
< br>3
3
1
3
7
3
1
n
1
又
a
1
1
，所以
a
n
(
)
。
4
4
< br>3
变式
:
（
2006
，福建
,
文
,22,
本小题满分
14
分
）
*
已知数列
a
n
满
足
a
1
1,
a
2
3,<
/p>
a
n
2
3
a
n
1
2
a
n
(
n
N
).
（
I
）证明：数列
a
n
1
a
n
是等比数列；
（
II
）求数列
a
n
的通项公式；
（
III
）若数列
b
n
满足
4<
/p>
1
4
（
I
）证明：
b
1
b
2
1
...4
b
n
1
(
a
n
1)
b
n
(
n
< br>N
*
),
证明
< br>
b
n
是等差数列
< br>a
n
2
3
a
n
1
2
a
n
,
a
n
2
a
n
< br>1
2(
a
n
1
a
n
),
a
1
1,
a
2<
/p>
3,
a
n
2
a
n
1
2(
n
N
*
).
a
< br>n
1
a
n
a
n
1
a
n
是以
a
2
a
1
2
为首项，
2
为公比的等比数列
n
*
（
II
）解：由（
I
）得
a
n
1
a
n
2
(
n
N
),
a
n
(
a
n
a
n
1
)
(
a
n<
/p>
1
a
n
2
)
...
(
a
2
a
1
)
a
1
2
n
1<
/p>
2
n
2
...
2
1
2
1(
n
N
).
n
*
（
III
）证明：
4
b
1
1
4
b
< br>2
1
...4
b
n
1
(
a
n
1)
b
n
,
4
(
b
1
b
2
...
b
n
)
2
nb
n
,
2[(
b
1
b
2
...
b
n
)
n
]
nb
n
,
①
2[(
b
1
b
2
...
b
n
b
n
1
)
(
n
< br>
1)]
(
< br>n
1)
b
n
1
.
②
②－①
，得
2(
b
n
1
1)
(
n
1)<
/p>
b
n
1
nb
n
,
即
(
n
1)
b
n
1
nb
< br>n
2
0.
③
nb
n
2
(
n
1)
b
n
1
2
< br>0.
④
④－③
，得
nb
n
2
2
nb
n
1
nb<
/p>
n
0,
即
b
n
2
2
b
n
1
< br>b
n
0,
b
n
2
b
n<
/p>
1
b
n
1
b
n
(
n
N
*
),
< br>
b
n
是等差数列
类型
6
递推
公式为
S
n
与
a
n
的关系式。
(
或
S
n
f
(
a
n
)<
/p>
)
解
法
：
这
种
类
型
一
般
利
用
S
1
<
/p>
(
n
1
)
a
n
S
n
S
n
1
<
/p>
(
n
2
)
与
a
n
S
n
S
n
1
f
(<
/p>
a
n
)
f
(
a
n
1
)
消去
S
n
(
< br>n
2
)
或与
S
n
f
(
S
n
<
/p>
S
n
1
)
(
n
2
)
消去
a
n
进行求解。
例：
已知数列
a
n
前
n
项和
S
n
4
a
n
1
2
n
2
.
（
1
）求
a
n
1
与
a
n
的关
系；
（
2
）求通项公式
a
n
.
解：
（
1
）由
S
< br>n
4
a
n
1
2
n
2
得：<
/p>
S
n
1
4
a
n
1
1
2
n
1
于是
S
n
1
S
n
(
a
n
a
n
1
)
(
所以
a
n
1
a
n
a
n
1
1
2<
/p>
n
2
1
a
n
1
2
n
1
2
1
1
a
n
n
.
2
2
1
n
1
)
n
（
2
）应用类型
4
（
a
n
1
pa
n
q
（其中
p
，
q
均为常数，
(
pq
(
p
1
)(
q
1
)
0
)
）
）的方
法，上式两边同乘以
2
由
a
1
<
/p>
S
1
4
a
1
n
1
得：
2
n
1
< br>a
n
1
2
n
a
n
2
1
n
2
a
n
是以
2
为首项，
2
为公差的等差数列，
< br>
a
1
.
于是数列
1
1
2
2
n
n
所以
2
a
n
2
2
(
n
1
)
2
n
a
n
< br>n
1
2
变式
:
（
2006
，陕西
,
理
< br>,20
本小题满分
12
分
)
已知正项数列
{a
n
}
，
其
前
n
项和
S
n
满足
10S
n
=a
n
2
+5a
n
+6
且
a
1
,a
3
,a
15
成等比数列，
求数列
{a
n
}
的通项
a
n
解
:
∵
10
S
n
=
a
n
2
+5
a
n
+6
，
①
∴
10
a
1
=
a
1
2
+5
a
1
+6
，解之得
a
1
=2
或
a
1
=3
又
10
S
n
－
1
=
a
n
－
1
2
+5
a
n
－
1
+6(
n
≥2)
，②
由①－②得
10
a
n
=(
a
n
2
－
a
n
－
1
2
)+6
(
a
n
－
a<
/p>
n
－
1
)
，即
(
a
n
+
a
n
－
1
)(
a
n
－
a
n
－
1
－
5)=0
∵
a
n
+
a
n
－
1
>0
，
∴
a
n
－
a
n
－
1
=5
(
n
≥2)
当
a
1
=3
时，
a
3
=13
，
a
15
=73
a
1
，
a
3
，
a
15
不成等比数列∴
a
1
≠3;
当
a
1
=2
时，
a
3
=12
，
a
15
=7
2
，
有
<
/p>
a
3
2
=
a
1
a
15
，
∴
a
1
=2
，
∴
a
n
=5
n
－
3
变式
:
(2005,
江西
,
文
,22
．本小题满分
14
分）
<
/p>
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足
S<
/p>
n
－
S
n
－
2
=3
(
)
的通项公式
. <
/p>
解：
S
n
S
n
2
a
n
a
n
< br>1
，
1
2
n
1
3
(
n
3
),
且
S
1
1
,
S
2
,
求数列
{
a
n
}
2
1
a
n
a
n
1
3<
/p>
•
(
)
n
1
(
n
3
)
，两边同乘以
(
1
)
n
，可得
2
1
1
(
1
)
n
< br>a
n
a
n
1
(
1
)
n
1
3
•
(
1
)
n
(
)
< br>n
1
3
•
(
)
n
1
2
2
n
令
b
n
(
1
)
a
< br>n
1
b
n
b
n
1
3
•
(
)
n
1
(
n
3
)
< br>
2
1
b
n
1
b
n
2
3
•
(
)
n
2
2
……
……
<
/p>
1
b
3
b
2
3
•
(
)
2
2
1
1
1
n
2
•
(
)<
/p>
1
n
1
1
n
2
1
2
b
n
b
2
3
•
[(
)
(
)
(
)
]
b
2
3
4
4
2
< br>
1
2
2
2
1
2
3
1
b
2
3
•
(
)
n
1
(
n
< br>3
)
2
2
3
5
又
a
1
S
1
1
，
a
2
S
2
S
1
< br>
1
，
2
2
5
b
1
(
1
)
1
a
1
1
< br>，
b
2
(
1
)
2
a
2
2
5
3
1
1
b
n
< br>
3
•
(
)
n
1
4
3
•
(
)
n
1
(
n
1
)
。
< br>
2
2
2
2
1
a
n
(
1
)
n
b
n
4
(
1
)
n
< br>
3
•
(
1
)
n
•
(
)
n
1
2
1
n
1
4
3
•
(
< br>)
,
n
为奇数
< br>,
2
1
4
3
•
(
)
n
1
,
n
为偶数
.
2
类型
7
a
n
1
< br>pa
n
an
< br>
b
(
p
1
、
0
，
a
0
)
解
法
：
这
种
类
型
一
般
利
用
待
定
系
< br>数
法
构
造
等
比
数
列
，
即
令
a
n
1
x
(
n
1
)
y
< br>p
(
a
n
xn
y
)
，
与
已
知<
/p>
递
推
式
比
较
，
解
出
x
,
y
,
从
而
转
化
为
a
n
xn
y
是公比为
p
的等比数列。
例
:
设数列
a
n
< br>：
a
1
4
,
a
n
3
a
n
1
2
n
1
,
(
n
2
)
< br>，求
a
n
.
< br>解：设
b
n
< br>a
n
An
B
，
则
a
n
b
n<
/p>
An
B
，将
a
n
,
a
n
1
代入递推式，得
b
n<
/p>
An
B
3
b
n
1
A
(
n
< br>1
)
B
2
n
1
3
b
n
1
(
3
A
2
)
n
< br>(
3
B
3
A
1
)
A
1
A
3
A
2
< br>
B
3
B
3
A
1
B
1
取
b
n
a
n
< br>n
1
…（１）则
b
n
3
< br>b
n
1
,
又
b
1
6
，故
b
n<
/p>
6
3
n
1
2
3
n
n
代入（１）得
a
n
2
3
n
1
< br>
2
说明：
（
< br>1
）
若
f
(
n
)
为
n
的二次式，
则可设
b
< br>n
a
n
An
Bn
C
;(2)
本题也可由
a
n
3
a
n
1
2
n
1
,
a
n<
/p>
1
3
a
n
2
2
(
n
1
)
1
（
n
3
）
两式相减得
a
n
a
n
1
3
(<
/p>
a
n
1
a
n
2
)
2
转化为
b
n
2
pb
n
< br>
1
qb
n
求之
.
变式
< br>:
（
2006
，山东
,
文
,22,
本小题满分
14
分）
已
知数列｛
a
n
｝中，
< br>a
1
1
在直线
y=x
上，其中
n=1,2,
3
…
<
/p>
、点（
n
、
2<
/p>
a
n
1
a
n
）
2
(
Ⅰ
)
令
b
n
a
n
1
a
n
3<
/p>
,
求证数列
b
n
是等比数列；
的通项；
(
Ⅱ
< br>)
求数列
a
< br>n
b
n
的前
n
项和
,
是否存在实数
，使得数列
、
(
Ⅲ
)
设
S
n
、
T
n
分别为数列
a
n
为等差数列？若存在，试求出
若不存在
< br>,
则说明理由
S
n
< br>
T
n
n
解
：
（
I
）由已知得
a
1
1
,
2
a<
/p>
n
1
a
n
n
,
2
3
3
1
3
a
2
,
a
2
a
1
1
< br>
1
,
4
4
2
4
又
b
n
a
n
1
a
n
1,
b
n
1
a
n
2
a
n<
/p>
1
1,
a
n
1
(
n
1)
a
n
n
a
n
1
a
n
1
b<
/p>
n
1
a
n
1
a
n
1
1
2
2
2
.
b
n<
/p>
a
n
2
a
n
1
1
a
n
1
a
n
1
a
n
1
<
/p>
a
n
1
2
3
1
{
b
n
}
是以
为首项，以
为公比的等
比数列
4
2
3
1
n<
/p>
1
3
1
（
II
）由（
I
）知，
b
n
(
)
n
,
4
2
< br>2
2
3
1
a
n
1
a
n
1
n
,
2
2
3
1
< br>a
2
a
1
1
,
2
2
3
1
a
3
a
2
1
< br>
2
,
2
2
3
1
a
n
a
n
1
1
<
/p>
n
1
,
2
2
将以上各式相加得：
3
1
1
1
<
/p>
a
n
a
1
(
n
1)
(
2
< br>
n
1
),
2
2
< br>2
2
1
1
(1
n
1
)
3
1
3<
/p>
1
3
2
a
n
a
1
n
1
2
(
n
1)
(1
n
1
)<
/p>
n
n
2.
1
2
2
2
2
2
1
2
3
< br>
a
n
n
n
2
.
2
（
II
I
）解法一：
存在
< br>
2
，使数列
{
S
n
T
n
}
是等差数列
n
1
1
1
S
n
a
1
a
2
< br>
a
n
3(
1
< br>2
n
)
(1
< br>2
n
)
2
n
2
2
2
1
1
(1
n
)
2
n
(
n
1)
2
n
3
2
1
2
1
2
1
n
2
3
n
3
n<
/p>
2
3
n
3(1
n
)
n
3.
2
2
2
< br>2