特征方程求递推数列通项公式
电吉他自学教程-
特征方程求递推数列通项公式
一、一阶线性递推数列通项公式的研究与探索
若数列
a
n
满足
a
1
< br>
b
,
a
n
1
c
a
n
d
(<
/p>
c
1
),
求数列
{
a
n
}
的通项
a
n
它的通项公式的求法一般采用如下的参数法，将递推数列转化为等
比数列：
设
a
n
1
t
c
(
a
n
t
),
则
a
n
1
ca
n
(
1
< br>c
)
t
，
令
(
1
c
)
t
d
，即
t
d
，当
c
1
时可得
1
c
< br>d
d
a
n
1
c
(
a
n
)
，
1
c
1
c
d
< br>
是以
c
为公比的等比数列，<
/p>
1
c
知数列
a
n
a
n
d
d
(
a
1
)
c
n
1
1<
/p>
c
1
c
bc
n
d
b
c
n
< br>1
d
将
a
1
b
代
入并整理，得
a
n
< br>.
c
1
观察可发现
d
即为方程
x
cx
d
的根
1
c
d
为特征方程的根。
<
/p>
1
c
我们称方
程
x
cx
d
为递推公式
a
n
1
c
a
n
d
(<
/p>
c
1
)
的特征方程，
将上述参数法类比到二阶线性递推数列
< br>a
n
1
pa
n
qa
n
1
,
能得到什么结论？
二、二阶线性递推数列通项公式的研究与探索
若数列
a
n
满足
a
n
< br>
1
pa
n
qa
n
1
,
设
a
n
1
ta
n
s
(
a
n
ta
n
1
)
，
则
< br>a
n
1
s
t
p
①
(
s
t
)
a
n
sta
n
1
,
令
st
q
（
1
）
若方程组①有两组不同的实数解
(
s
1
,
t
< br>1
),
(
s
2
,
t
2
)
,
则
a
n
1
t
1
a
n
s
1
(
a
n
t
1
< br>a
n
1
)
,
a
n
1
t
2
a
n
s
2
(
< br>a
n
t
2
a
n
1
)
,
即
<
/p>
a
n
1
t
1
a
n
、
a
n
1
t
2
a
n
分别是公比为
s
< br>1
、
s
2
的等比数列，
由等比数列性质可得
a
n
1
<
/p>
t
1
a
n
(
a
2
t
1
a
1
)
s
1
n
1
,
,
a
n
1
t
2
a
n
(
a
2
< br>
t
2
1
a
1
)
s
2
∵
t
1
t
2
,
由上两式消
去
a
n
1<
/p>
可得
n
1
a
n
a
2
t
1
a
1
< br>
.
s
n
a
2
t
2
a
1
.
s
n
.
1
2
s
1
t
1
t
2
s
2
t
1
t
2
s<
/p>
1
s
2
（
2
）
若方程组①有两组相等的解
，易证此时
t
1
s
1
，则
t
t
2
1
a
n
1
t
1<
/p>
a
n
s
1
a
n
t
1
a
n
1
s
1
(
a
n
1
<
/p>
t
1
a
n
2
)
…
s
1
2
n
1
(
a
2
t
1
a
1
)<
/p>
，
a
n
1
s
1
n
1
a
n
s
1
n
a
2
s
1
a<
/p>
1
s
1
2
a
n
,
即
n
是等差数列，
s
1
由等差数列性质
可知
a
n
s
1
n
a
1
a
s
a
n
1
.
2
< br>2
1
1
，
s
1
s
1
所以
a
n
a
1
a
2
s
1
a
1
a
2
s
1
a
1<
/p>
.
n
s
1
n
．
2
2
s
s
s
1
1
1
这样
，我们通过参数方法，将递推数列转化为等比（差）数列，从而求得二阶线性递推数
列的
通项，若将方程组①消去
t
即得
s
ps
q
0
，显然
s
1
、
s
2
就是方程
x
px
q
的两
根，我们不
妨称此方程为二阶线性递推数列
a
n
1
pa
n<
/p>
qa
n
1
的特征方程，
结论：设递推公式为
a
n
1
pa
n
qa
n
1
,
其特征方程为
x
px
q
即
x
px
q
0
< br>，
1
、
若方程
有两相异根
s
1
、
s
2
，则
a
n
c
1
s
1
c
2
s
2
；
2
、
若方程
有两等根
s
1
s
2
，则
a
n
(
c
1<
/p>
nc
2
)
s
1
.
其中
c
1
、
c
2
可由初始条件确定。
例
1.
（
1
）
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
2,
a
2
3,
a
n<
/p>
2
3
a
n
1
2
a
n
(
n
N
)
，求数列
{
a
< br>n
}
的通项
a
< br>n
*
2
2
2
2
n
n
n