专题由递推关系求数列的通项公式(含答案)
翱翔天下-
.
专题
由递推关系求数列的通项公式
一、目标要求
通过具体的例题，掌握由递推关系求数列通项的常用方法：
二、知识梳理
求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来
考查学
生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列
是一种特殊的数列或原
数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题
化为熟悉的等差或等比数列。
三、典例精析
S
1
<
/p>
n
1
1
、
公式法
：
利用熟知的公式求通项公式的方法称为公式法。
常用的公式有
< br>a
n
及
S
S
n
2
n
1
n
等差数列和等比数列的通项公式。
2
例
1
已知数列
{
a
n
}
中
a<
/p>
1
2
，
s
n
n
+2
，求数列
{
a
n
}
的通项公式
评注
在运
用
a
n
s<
/p>
n
s
n
1
时要注意条件
n
2
，对
n=
1
要验证。
2
、累加法：
利用恒等式
a
n
a
1
a
2
< br>a
1
+......+
a
n
a
n
1
求通项公式的方法叫累加法。它是求型如
。
a
n
1
a
n
< br>+f
n
的递推数列的方法（其中数列
f
n
的前
n
项和可求）
例
2
已知数列
{
a
n<
/p>
}
中
a
1
评注
此类问题关键累加可消中间项，而
f
(
n
）
可求和则易得
a
n
3
、
.
累乘法
：利用恒等式
a
n
a
1
1
1
，
a
n<
/p>
1
a
n
+
2
，求数列
{
a
n
}
的通项公式
2
n
+3
n
2
a
a
2
a
3
n
a
n
0
求通项公式的方法叫累乘法。它是求型如<
/p>
a
1
a
2
a
n
1
a
n
1
g
n
a
n
的递推数列的方法
数列
g
n
可求前
n
项积
.
.
例
3
已知数列
{
a
n
}
中
s<
/p>
n
1
na
n
，求数列<
/p>
{
a
n
}
的通项公式
评注
此类问题关键是化
a
n
g
n
，且式子右边累乘时可求积，而左边中间项可消。
a
n
1
4
、转化法
：通过变换递推关系，将非等差（等比）
数列转化为等差或等比有关的数列而求得通项公式的方法
称为转化法。常用的转化途径有
：
⑴凑配、消项变换
——如将一阶线性递推公式
a
n
1
qa
n
d
（
q,
d
为常数，
q
0,
q
1
）通过凑配变成
a
n
1
d
d
=
q
a
n
<
/p>
，或消常数项转化为
a
n
2
a
n
1
q
a
n
<
/p>
1
a
n
q
1
q
1
例
4
、已知数列
{
a
n
}
中，
a
1
< br>
1
，
a
n
2
a
n
1
1
n
2
，求数列
{
a
n
}
的通项公式
点评
：
此类问题关键是利用配凑或消项变换将其转化为等比数列
（
2
）倒数
变换
——如将一阶分式递推公式
a
n<
/p>
1
ca
n
1
d
1
1
（
c,d
为非零常数）取
倒数得
a
n
d
a
n
1<
/p>
c
a
n
c
例
5
已知
数列
{
a
n
}
中，
a
1
<
/p>
1
，
a
n
1
a
n
，求数列
{
a
n
}
的通项公式
2
a
n
1
点评
：
<
/p>
此类问题关键是取倒数使其转化为一阶线性递推数列然后可用凑配、消项变换。
p
⑶对数变换
——如将
一阶分式递推公式
a
n
1
ca
n
a
n
0,
c
0,
p
0,
p
1
取对数
.
.
可得
<
/p>
lg
a
n
1
p
lg
a
n
lg
c
2
例
6
<
/p>
已知数列
{
a
n
}
中，
a
1<
/p>
10
，
a
n
0
，且
a
n
1
10
a
n
，求数列
{
a
n
}
的通项公式
点评：
此类问题关键是取对数使其转化为关于
a
n
的对数的一阶线性递推数列即可用凑配、消项变换
n
⑷换元变换
——如将一阶分式递推公式
a
n
1
qa
n
d
（
q,
d
为非零常数，
q
≠
< br>1
，
d
≠
1
）
变换成
a
n
1
q
a
n
1
a
n
，令
，则转化为一阶线性递推公式
b
n
d
n
1
d
d
n
d
d
n
n
例
7
在数列
{
a
n
}
中，
a
1
1
，
a
n
1
3
a
n
+2
n
N
*
，
求数列
{
a
n
}
的通项公式
评注：
此类问题关键是通过换元将其转化为一阶线性递推公式
5
、待定系数法
递推公式为
a
n
2
p
a
n
1
<
/p>
qa
n
（其中
p
，
q
均为常数）
。
解法：先把原递推公式转化为
a
n
2
sa
n
1
t
(
a
n
1
sa
n
)
< br>其中
s
，
t
满足
s
t
p
，
再应用前面
转化法（
4
）
类型的方法求解。
<
/p>
st
q
2
1
a
n
1
a
n
，求
a
n
。
3
3
例
8
.
已知数列
a
n
< br>中，
a
1
1
,
a
2
2
,
a
n<
/p>
2
.
.
7
、叠代法
n
例
9
已知数列
a
n<
/p>
的前
n
项和<
/p>
S
n
满足
S
n
2
a
n
(
1
)
,
n
< br>
1
．求数列
a
n
的通项公式。
8
、归纳法
：由数列前几项用不完全归纳法猜测出数列的通项公式，再用数学归纳法证明其正确性，这种方
< br>法叫归纳法。
例
10
数列
{
a<
/p>
n
}
满足
s
n
2
n
a
n
n
N
*
< br>,
求数列
{
a
< br>n
}
的通项公式
四、实战演练
1
、
[2012·
辽宁卷
]
已知等比数列
{
a
n
}
为递增数列，且
< br>a
2
5
＝
a
10,
2(
a
n
＋
a
n
＋
2
)
＝
5<
/p>
a
n
＋
1
，则数列
{
a
n
}
的通项公
式为
a
n
＝
________.
2
、
在数
列
{
a
n
}<
/p>
中，
a
1
3
,
a
n
1
a
n
< br>3
、设数列
{
a
n
}
是首项为
1
的正项数列，且
(
n
1
)
a
n
1
na
n
a
n
1
a
n
0
（
n=1,2,3
…）
，则它的通
项公式是
a
n
=
▁▁▁
2
2
1
，求通项公
式
a
n
.
n
(
n
1
)
.
.
4
、已知数列
{
a
n
}
，其中
a
1
1
,
a
2
2
，且当
n
≥
3
时，
a
n
2
a
n
1
a
n
2
1
，求通项公式
a
n
。
5
、设正数列
a
0
，
a
1
，
a
n
…，
a
n
，…满足
a
n
a
n
2
a
n
1
a
n
< br>2
=
2
a
n
1
(
n
2
)<
/p>
且
a
0
a
1
1
，
求
{
a
n
}
的通项公式
.
五、能力提升
（逆推法）
已知数列
a
n
的前
n
项和
S
n
与
a
n
满足：
a
n
,
S
n
,
< br>S
n
1
(
n
2
)
成等比数列，
且
a
1
1
，
求数列
2
a
n
的前
n
项
和
S
n
点评：
本题的常规方法是先求通项公式，然后求和，但逆向思维，直
接求出数列
a
n
的前
n
项和
S
n
的递
推公式，是一种最佳解法
.