专题 求递推数列通项的特征根法
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递归数列通项公式的求法
确定数列的通项公式，对于研究数
列的性质起着至关重要的作用。求递归数列的通项
公式是解决数学竞赛中有关数列问题的
关键，本文着重对递归数列通项公式加以研究。
基础知识
定义：对于任意的
n
N
，由递推关系
a
n
f
(
a
n
1
,
< br>a
n
2
,
,
a
n
k
)
确定的
关系称为
k
阶
递归关系或称为
k
阶递归方程，
由
k<
/p>
阶递归关系及给定的前
k
项
a
1
,
a
< br>2
,
,
a
k
的值
(
称为初始
值
)
所确定的数列称为
k
阶递归数列。若
f
是线性的，则称为线性递归数列，否则称为非线
性递归数列，在数学竞赛中的数列问题常
常是非线性递归数列问题。
求递归数列的常用方法：
一．公式法
(1)
< br>设
{
a
n
}
是等差数列，首项为
a
1
，公差为
d
，则其通项为
a
n
a
m
(
n
m
)
d
；
(2)
设
{
a
n
}
是等比数列，首
项为
a
1
，公比为
q
，则其通项为
a
n
a
m
q
< br>n
m
；
*
S
1
(
n
1
)
(3)
已知数列的前
n
项和为
S
n
，则
a
n
。
S
S
(
n
2
)
n
1
n
二．迭代法
迭代恒等式：
a
n
(
a
n<
/p>
a
n
1
)
(
a
n
1
a
n
2
)
(
a
2
<
/p>
a
1
)
a
1
；
迭乘恒等式：
a
n
a
n
a
n
1
a<
/p>
2
a
1
，
(
a
n
0
)
a
< br>n
1
a
n
2
a
1
迭代法能够解决以下类型一和类型二所给出的递推数列的通项问题：
类型一：已知
a
1
b
,
a
< br>n
1
a
n
f
(
n
)
，求通项
a
n
；
类型
二：已知
a
1
b
,
a
n
1
f
(
n
)
a
n
，求通项
a
n
；
三．待定系数法
类型三：已知
a
1
< br>b
,
a
n
1
pa
n
q
(
p<
/p>
1
)
，求通项
a
n
；
四．特征根法
类型四：设二阶常系数
线性齐次递推式为
x
n
2
px
n
1
qx
< br>n
（
n
1
,
p
,
q
为常数
，q
0
）
，其
特征方程为
< br>x
px
q
，其根为特征根。
n
n
（
1
）
若特征方程有两个不相等的实根
,
，
则其通项公式为
x
n
A
<
/p>
B
（
n
1
）
，
2
其中
A
、
B
由初始值确定；
（
2
）
若特征方程有两个相等的实根
，
则其通项公式为
x
n
[
A
B
(
n
1
)
n
1
（
< br>n
1
）
，
其中
A
、
B
由初始值确定。
证明：设特征根为
,
，则<
/p>
p
,
q
所以
x
n
2
x
n
1
=
px
n
1
q
x
n
x<
/p>
n
1
=
(
p
)
x
n
1
qx
n
< br>=
x
n
1
x
n
=
(<
/p>
x
n
1
x
n
)
即
{
x
n
1
x
n
}
是以
为公比，首项为
x
2
< br>x
1
)
的等比数列。
所以
x
n
1
< br>x
n
(
x
2
x
1
)
n
1
，所以
x
n
x
n
1
(
x
2
< br>
x
1
)
n
2
x
x
1
；
(1)
当
时，
则其通项公式为
x
n
A
n
<
/p>
B
n
，
其中
A
x
2
x
1
，
B
< br>
2
(
)
(
)
(2)
当
时，
则其通项
公式为
x
n
[
A
B<
/p>
(
n
1
)]
n
1
，
其中
A
x
1
,
B
x
2
x
1
4.
（
改编）
已知数列
x
< br>n
x
1
2
且
x
n
1
<
/p>
式
。
4
x
n
3
则数列
x
n
的通项公
x
n
2
命题意图：
本试题主要考查了数列的通项公式的求法，
根据递推公式构造等
比数列进而
求得数列的通项，
虽然这样的解决对于学生来说是比
较有点难度的，
但通过不同
的构造方法使学生体会一些特殊的数
列通项公式的推导，有利于学生思维的开
发。
参考答案：
4
x
3
3
解法一：由
x
n
1
n
x
n
1
x
n
2
得
∴
4
x
3
3
< br>
得
x
< br>
2
x
n
n
1
n
1
3
5
1
3
x
n
1
1
1
5(
)
x
n
1
3
4
x
n
<
/p>
3
4
3
1
1
}
是以
为首项以
5
为公比的等比数列
4
x
n
3
4
1
故数列
{
∴
3
1
1
4
n
1
=
5
故
x
n
3
n
1
4
3
4
3
<
/p>
x
n
5
1
4
x
3
1
解法二：由
x
n
1
n
x
n
2
得
x
n
1
∴
4
x
3<
/p>
1
得
1
1
1
1
x
2
x
1
< br>5
x
1
5
n
n
n
1
n
1
1
1
1
(
)
x
n
1
< br>1
4
5
x
n
1
4
1
1
1
1
}
是以
为首项以
为公比的等比数列
12
5
x
n
< br>1
4
1
故数列
< br>{
n
1
1
1
1
4
1
∴
=
（
）
故
x
n
3
n
1
3
5
1
x
n
1
4
12
5
x
n
1
解法三
由<
/p>
4
x
3
4
x
n
3
得到该数列的一个特征方程
x
< br>
x
2
x
n
2
即
x
2
2
x
3
0
，解得
x
3
或
x
1
< br>
x
n
1
3
4
x
n
3
x
3
4
x
3
5
x
5
①
x
n
1
(<
/p>
1)
n
②
3
n
1
n
x
n
< br>
2
x
n
2
x
n
2
x
n
2
x
n
1
3
1
x
n
3
< br>x
3
2
3
1
,
而
1
x
1
1
2
1
3
x
< br>n
1
1
5
x
n
1
两式相除可得
x
3
1
1
故数列
n
是以
为首项以
为公比的等比数列
x
1
3
5
n
x
< br>n
3
9
5
n
1
1
4
1
1
n
1
3
∴
。
< br>
(
)
,
故
x
n
3
5
n
1
1
3
5
n
1
1
x
< br>n
1
3
5
五．代换法
< br>代换法主要包括三角代换、分式代换与代换相消等，其中代换相消法可以解决以下
类型五：已知
a
1
b
,
a
2
c
，
a<
/p>
n
1
pa
n
qa
n
1
r
(
r
0
)
，求通项
a
n
。
六．不动点法
若
f
(
)
，
则称
为
f
(
x
)
的不动点，
利用不动点法可将非线性递归
式化归为等差
数列、等比数列或易于求解的递关系的递推关系，从而达到求解的目的。<
/p>
类型六：
(1)
已知
a
n
1
a
a<
/p>
n
b
(
c
0
，且
ad
bc
0
)
，求通项
a
n
；
c
a
n
d
2
(2)
已知
a
n
1
a<
/p>
a
n
b
，求通项
a
n
；
2
a
a
n
c