待定系数法求递推数列通项公式
五一劳动节手抄报资料-
待
定
系
数
法
求
递
推
数
列
通
项
公
式
Pleasure Group Office
【
T985AB
-B866SYT-B182C-BS682T-STT18
】
用待定系数法求递推数列通项公式初探
摘要
:
本文通过用待定系数法分析求
解
9
个递推数列的例题，得出适用待定系数法求其
通项公式的七种类型的递推数列，用于解决像观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项
相消法和公式法等不能解决的数列的通项问题。
关键词
:
变形
对应系数
待定
递推数列
< br>数列在高中数学中占有重要的地位，推导通项公式是学习数列必由之路，特别是根
据递推公式推导出通项公式，对教师的教学和学生的学习来说都是一大难点，递推公式
千
奇百怪，推导方法却各不相同，灵活多变。对学生的观察、分析能力要求较高，解题
的关
键在于如何变形。常见的方法有观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和
公式法
。但是对比较复杂的递推公式，用上述方法难以完成，用待定系数法将递推公式
进行变形
，变成新的数列等差数列或等比数列。下面就分类型谈谈如何利用待定系数法
求解几类数
列的递推公式。
一
、
a
n
1
pa
n
q
型
（
p
、
q
为常数，且
pq
0,
p
1
）
例
题
1.
在数列
a
n
中，
a
1
1
,<
/p>
a
n
1
2
a
n
1
,
试求其通项公式。
分析：
显然，这不是等差或等比数列
，但如果在
a
n
1
2
a
n
1
的两边同时加上
1
，整理为
a
n
1
1
< br>
2(
a
n
1
)
，此时，把
a
n
1
1
和
a
n
1
看作一个整体，或者换元，令<
/p>
b
n
1
a
n
1
1
，
那么
b
n
< br>a
n
1
，即
b
n
1
2
b
n<
/p>
，
b
1
a
1
1
2
，因此，数列
a
n
1
或
b
n
就是以
2
为首
项，以
2
为公比的等比
数列
a
n
1
2
n
，或者
b
n
2
n
，进一步求出
a
2
n
<
/p>
1
。
n
启示：
在这个问题中，容易看出在左右两边加上
1
就构成了新的等比数列
a
n
1
，那不
易看出在左右两边该加几后构成新的等比数列时，该怎么办呢
其实，已知
a
n<
/p>
1
2
a
n
1
，可变形为
a
n
1
2(
a
n
)
的形式，然后展开括号、移
项后再与
a
n
< br>1
2
a
n
1
相比较，利用待定系数法可得
2
1,
1
。
这样，对于形如
a
< br>n
1
pa
n
q
（其中
p
、
q
为常数，且
pq
0,
p
1
）的递推数列，
先变为
a
n
1
p
(
a
n
)
的形式，展开、移项，
利用待定系数法有
(
p
1)<
/p>
q
，
q
p
1
即
a
n
1
q
q
p
(
a
n
)
p
1
p
1
q
q
a
,
公比为
p
的
等比数列
则数列
a
n
首项为
1
p
1
p
1
因此，形如
a
n
1
pa
n
q
这一类型的数列，都可以利用待定系数法来求解。
那么，若
q
变为
f
(
n
)
,
f
(
n
)
是关于
n
非零多项式时，该怎么办呢是否也能运用待定
系数法呢
二
a
pa
qn
r
(
pq
0,
且
p
1)
型
n
1
n
例题
2.
在数列
a
n
中，
a
1
1
,
< br>a
n
1
2
a
n
3
n
1
,
试求其通项公式。
分析
：按照例题
1
的思路，在两边
既要加上某一常数同时也要加上
n
的倍数，才能使新
的数列有一致的形式。先变为
a
n
1
(
n
1)
2(
a
n
n<
/p>
)
1
，展开比
较得
3,
即
进一步
则数列
a
n
3
n
4<
/p>
是
a
1
3
1
4
8
首项为
a
1
3
1
4
8
公比为
2
的等比数列，所以
a
n
3
n
4
8
2
n
1
2
n
< br>
2
，
a
n
2
n
2
3
n
4
同样，形如
a
n
1
pa
qn
r
的递推数列，设
a
n
1
x
(
n
1)
y
p
(
a
n
xn
y
)
展
n
< br>(
p
1)
x
q
开、移项、整理，比较对应
系数相等，列出方程
(
p
1)
y
x
r
< br>
q
x
p
1
解得
x
r
q
r
y
2
p
< br>1
(
p
1)
p
1
即
a<
/p>
n
1
q
q
r
q
q
r
(
n
1)
< br>
p
a
n
n
p
1
2
p
1
(
p
1)
2
p
1
(
p
1)
p
1
q
q
r
q
q
r
a
则数列
a
n
是以
为首项，以
p
为公比<
/p>
n
1
2
2
p
1
(
p
1)
p
< br>1
p
1
(
p
1)
p
1
<
/p>
的等比数列。于是就可以进一步求出
a
n
的通项。
同理，若
a
pa
f
(
n
)
其中
f
(
n
)
是关
于
n
的多项式时，也可以构造新的等比数
n
1
n
列
，利用待定系数法求出其通项。比如当
f
(
n
)
qn
2
rn
s
=
时，可设
展开根据对应系数分别相等求解方程即可。
f
(
n<
/p>
)
为
n
的三次、
四次、五次等多项式时也能用同样的思路和方法进行求解。
而如果当
f
(
n
)
是
n
的指
数式，即
f
(
n
)
q
n
r
时，递推公式又将如何变形呢
三
a
pa
rq
n
s
型
(
pqr
0,
且
p
1,
q
1,
p
q
)
n
1
n
例题
< br>3.
在数列
a
n
中，
a
< br>1
1
,
a
n
1
3
a
n
2
n
,
试求其通项
a
n
。
分析
1
：
由于
a
n
1
3
a
n
2
n
与例题
1
的区别在于
2
n
是指数式，可以用上面的思路进行变
形，在两边同时加上
2
2
n
变为
a
n
1
2
n
1
3
a
n
3
2
n
即
则数列
a
n
2
n
< br>是首项为
3
，公比为
3
的等比数列
a
n
2
n
3
n
，则
分析
2
：
如果将指数式先变为常数，两边同除
2
n
1
就回到了我们的类型一。进一步也可求出
a
n
3
n
2
n
。
例题
4
.
在数列
a
n
中，
a
1
< br>
3
,
a
n
1
3
a
n
5
2
n
4
,
试求
a
n
的通项
a
n
。
分析：若按例题
3
的思路
2<
/p>
，在两边同时除以
2
n
< br>
1
，虽然产生了
了
a
n
1
a
n
、
，但是又增加
n
n
1
2
2
4
2
< br>n
1
，与原式并没有大的变化
。所以只能运用思路
1
，在两边同时加上
10
2
n
整理
进一步
则数列
a
n
5
2
n
2
是首项为
15
，公比
为
3
的等比数列
即
a
n
5(3
n
2
n
)
2
启示：已知数列
< br>a
n
的首项，
a
n
1
pa
n
rq
n
s
(
pqr
0
且
p
1,
q
1,
q
<
/p>
p
)
1
）当
s
0
,
即
a
n
1
pa
n
rq
n
< br>由例题
3
知，有两种思路进行变换，利用待定系数法构造
首项和公比已知或可求的等比数列。
思路一：在两边同时除以
q
n
1
，将不含
a
n
1
和
a
n
的项变为常数，即
r
q<
/p>
a
n
为前面的类型一，再用类型一的待定系数法思想可得数列
n
最终求解出
a
n
p
q
1
q
的通项。
思路二：在两边同时加上
q
n
的倍数，最终能变形为
a
n
1
xq
n
1
< br>
p
(
a
n
xq
n
)
对应系数相等得
(
p
q
)
x
r
，即
x
r
p
q
即
a
< br>n
1
r
r
q
n
1
p
(
a
n
q
n
)
p
q
< br>p
q
r
q
n
的通项，进一步求出
a
n
的通项。
求出数列
a
n
p
q
2
< br>）当
s
0
时，即
a
n
1
pa
n
rq
n
s
由例
4
可
知只能在选择思路二，两边既要加
q
n
的倍数，也要加常数，最终能变形为
a
n
1
xq
n
1
y<
/p>
p
(
a
n
xq
n
y
)
比较得
x
，
y
的方程组
于是
a
n
1
r
s
r
< br>s
q
n
1
p
(
a
n
q
n
)
p
q
p
1
< br>p
q
p
1
r
s
q
n
求出数列
a<
/p>
n
的通项，
进一步求出
a
n
的通项。
p
< br>
q
p
1
四：
a
n
2
<
/p>
pa
n
1
qa
n
f
(
n
)
型
(
已知
a
1
,
a
2
< br>其中
f
(
n
)
可以为常数、
n
的多项式或指数
式）
以
f
(
n
)
=0
为例。