数学证明方法
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数
学
证
明
方
法
摘要：数学证明是数
学学习中非常重要的一部分，数学证明有核实作用，理解作用，发
现作用和思维训练作用
，数学证明常用的方法有综合法、分析法、反证法、数学归纳法
等等。
< br>
关键词：数学证明；意义；方法
数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学，它的应用非
常广泛，
是学习现代科学技术必不可少的基础学科。学习数学，就离不开数学证明，
这是由数学证明在数学发展中所起的作用决定的。
什么是数学证明呢
？许多
人认为数学证明是根据相应的公理，法则等来说明结论是正确的一种活动。
数学证明是数学学习中非常重要的一部分，在不同的情境中，数学证明有不
同方法。
数学证明的方法
（一）综合法和分析法
综合法是从命
题的条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到要证的结论的
方法。分析法则是从要证的
结论出发，一步一步的搜索下去，最后达到命题
的已知条件的方法。
1
cos
sin
例
1
求证
sin
=
1
cos
sin
2
sin
方法
1
：
左边
=
sin
(
1
c
os
)
=
1
cos
=
右边
所以得证。
sin
< br>
(
1
cos
)
sin
< br>
sin
(
< br>1
cos
< br>)
2
方法
2
：右边
=
1
cos
=
(
1
cos
)(
1
cos
)
=
1
cos
sin
(
1
cos
)
1
cos
sin
2
=
=
sin
=
左边
所以得证。
1
cos
sin
方法
3
：
sin
==tan
2
==
1
cos
所以得证。
1
cos
sin
< br>
方法
4
：要证
sin
=
1
cos
只需要证
(
1
cos
)(
1
cos
)
sin
sin
2
2
即要证
1
cos
sin
，显然，这个命题成立，故得证。
上
述例题的四种解法中，前三种是用综合法解的，而第四种解法是用分析法
解的。在证明的
过程中，我们用到了同角三角函数的关系，半角公式等等。
所以，通过数学证明我们不仅
理解了这道命题的正确性，还知道了为什么正
确，同时还增进了对同角三角函数的关系，
半角公式等等的理解。
从例
1
我们可以看出，综合法的特点是从“已知”逐步推向“未知”
，其逐<
/p>
步推理，实际是要寻找它的必要条件。分析法的特点是从“需知”逐步靠拢
“已知”
，其逐步推理，实际上是要寻找它的充分条件。
综合法和分析法各有其优缺点。从寻求解题思路来看，综合法是由已知的寻
找未知的，即直接由条件证明结论。但是由条件容易导出许多其它的结论，
因而不容易有效。分析法由未知的推向已知的，即由结论慢慢推出所需要的
条件，这样
比较容易解决问题。就表述证明的过程而论，综合法的形式比较
简洁，条理清晰，分析法
由于倒过来叙述，因而比较繁琐，文辞冗长。这也
就是说，
分析
法有利于思考解决问题，
综合法宜于表达问题。
因此在解题时，
可以把分析法和综合法结合起来使用，先以分析法为主，寻找解题思路，再
用综合法有条理的表述证明过程。
(
二
)
反证法
通过证明论题的否定命题不真实，从而肯定论题真实性的方法叫做反证法。
反证法的一般步骤如下：
假设命题的结论不成立，即结论的否定命题成立。
从否定的结论出发，逐层进行推理，得出与公理或前述的定理，定义或题设
条件等自相矛盾的结论，即说证明结论否定不成立。
据排中律，最后肯定原命题成立。
反
证法有归谬法与穷举法两种。
在应用反证法时如果与原命题结论相矛盾的
方面只有一种可能情况，只要把这种情况推翻，就能肯定结论成立，这种反
证法
叫做归谬法。如果与原命题相矛盾的方面不止一种情况，就必须把矛盾
方面的所有可能的
情况一一驳倒，才能肯定结论成立，这种反正法叫做穷举
法。
例
2
求证
2
是无理数。
p
2
p
2
2
2
p
2
q
q
q
2
证明：假设
是有理数，且为既约分数
，
（
p>0,q>0
）
，则
=2
，
，
p
由
此可见
p
是偶数，
记为
2r
。
同理又可得
q
也是偶数，
这与
q
是既
约分数相
矛盾。从而
2
是无理数。
在这道题目中，
2
只有两种可能，是无理数或者不是无理数。所以，命题
的否定方面只有一种可能情况。
因而，我们可以假即设其为有理数，然后推
出矛盾证得该题。
例
3
在四边形
ABCD
中，对角线
AC
和
BD
相交于点
O
，已知
OB=OD
，
BAD
BCD
< br>。
C
C'
B
O
A
D
求证：四边形
ABCD
是平行四边形。
证明：如图，假设四边形
ABCD
不是
平行
四
边