最大公因数与辗转相除法
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论
文
题
目
:
最大公因数与辗转相除法
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1
【摘要】
：文章先介绍最大公因数的
一些性质和求法以及在解决实际问题的应用，再提出一些例子，
进一步理解最大公因数。
然后介绍质数的一些定义，相关的定理和现在的情况。最后介绍辗转相除法，并
且用辗转
相除法来求最大公因数，把三者结合起来。
【关键词】
:
最大公因数
;
互质
;
辗转相除法；
引言
1.
最大公因数
1.1
最大公因数的定义：
整
数
a1,
a2,a3,
……
..an
的
公
因
数
中
最
大
的
一
< br>个
叫
做
最
大
公
因
数
记
作
（
a1,a2,a3,
……
..an
）
，若（
a1,a2,a3,
……
..an
）
=1
，我们说
a1,
a2,a3,
……
..an
互
质或互素
1.2
以求
20
、
30
和
36
的最大公因数为例，我们先来计算这三个数的最大公因
数
1.2.1
列举法
20
的因数有：
1
、
2
、
4
、
5
、
10
、
20
30
的因数有：
1
、
2
、
3
、
5
、
6
、
10
、
15
、
30
36
的因数有：
1
、
2
、
3
、
4
、
6
、
9
< br>、
12
、
18
< br>、
36
三个数的最大公因数是
2
1.2.2
分解质因数的方法
20=2
×
2
×
5
30=2
×
5
×
3
36=2
×
2
×
3
×
3
[20
，
30
，
36]=2
×
2
×
< br>3
×
5
×
3=180
1.2.3
短除的方法
2
（
20
，
30
，
36
）
=2
[20
，
30
，
36]=2
×
2
×
< br>3
×
5
×
3=180
1.2.4
小
结
：在计算三个数的最大公因数和最小公倍数的时候，最大公因数要找三
个数的公有的质因数，如果其中的两个商还有质因数的话，也不要往下除。
1.3
最大公约数的性质。
例
.
< br>求
18
和
24
< br>的最大公约数
（
1
）用分解质因数的方法独立完成
（<
/p>
18
，
24
）<
/p>
=2
×
3=6
[18
，
24]=2
×
3
×
3
×
2
×
2=72
（
2
）观察发现：
18
×
24=4
×
72
（
3
）小结：
两个自然数的最大公约数的一个重要的性质是：
两个自然数的乘积等于这两个自然数
的最大公约数和最小公倍数的乘积。
若
a
、
b
表示两个自然数，则
a
×
b=
（
a
，
b
）×
[a
，
b]
例
.
两个数的最大公约数是
6
，最小公倍数是
504
，如果其中的一个数是
42
，那么另一
个数是多少？
b
分析与解答：根据
ab=
（
a
，
b
）×
[a
，
b]
又知
a=42
则
< br>1.4.
利用最大公因数解决实际问题。
6
504
72
42
例
.
有
32
0
个苹果，
240
个橘子，
200
个梨，
用这些果品，
最多可以分成多少份同样的物？
在每份的礼物中，苹果、橘子和梨各有多少个？
分析：根据题目的要求，在分礼物的
时候必须正好分尽
3
样果品。因此，礼物的份数必
须是
320
、
240
和
200
的公因数，现在还要求最多可以分成
多少份同样的礼物，
也就是说要求
320
、
240
和
200
< br>的最大公因数。
解答：
3