知识点196反比例函数的图象的对称性
真的爱你独奏吉他谱-
一、选择题（共
30
小题）
1
、
（
2010
•
深圳）如图所示，点
P
（
3a
，
a
）是反比例函数
y=
（
k
＞
0
）与⊙O
的一个交点，图中阴影部分的面积为
10π，则反比例函数的解析式为（
）
A
、
y=
C
、
y=
B
、
y=
D
、
y=
考点
：反比例函数图象的对称性。
专题
：转化思想。
< br>分析：
根据
P
（
3a
，
a
）和勾股定理，求出
圆的半径，进而表示出圆的面积，再根据圆的面积等于阴影部分面积的四
倍，求出圆的面
积，建立等式即可求出
a
的值，从而得出反比例函数的解析式．
解答：
解：由于函数图象关于原点对
称，所以阴影部分面积为
圆面积，
则圆的面积为
10π×4=40π．
因为
P
（
3a
，
a
）在第一象限，则
a
＞
0
，
3a
＞
0
，
根据勾股定理，
OP=
于是
π
=
a
．
=40π，a=±2，
（负值舍去）
，故
a=2
．
P
点坐标为（
6
，
2
）
．
将
P
（
6
，
2
）代入
y=
，
得：k=6×2=12．
反比例函数
解析式为：
y=
故选
D
．
．
点评：
此题是一道综合题，既要能熟
练正确求出圆的面积，又要会用待定系数法求函数的解析式．
2
、
（
2010
•
江西）如图，反比例函数
图象的对称轴的条数是（
）
A
、
0
C
、
2
B
、
1
D
、
3
考点
：反比例函数图象的对称性。
<
/p>
分析：
任意一个反比例函数的图象都是轴对称图形，且对称轴有且
只有两条．
解答：
解：沿直线
y=x
或
y=
﹣
x
折叠，直线两旁的部分都能够完全重合，所以对称轴有
2
条．
故选
C
．
<
/p>
点评：
本题考查了反比例函数图象的对称性．沿某条直线折叠，直
线两旁的部分能够完全重合，这个图形是轴对称
图形，关键是找到相应的对称轴．
3
、
（
2009
•
乌鲁木齐）如图，正比例函数
y=mx
与反比例函数
y=
（
m
、
n
是非零常数）的图象交于
A
、
B
两点．若点
A
的坐标为（
1
，
2
）
，则点
B
的坐标是（
）
A
、
（﹣<
/p>
2
，﹣
4
）
B
、
（﹣
2
，﹣
1
）
C
、
（﹣
1
，﹣
2
）
< br>D
、
（﹣
4
，﹣
2
）
考点
：反比例函数图象的对称性。
<
/p>
分析：
此题由题意可知
A
、
B
两点关于原点对称，则根据对称性即可得到
B
点坐标．
解答：
解：∵正比例函数
y=mx
与反比例函
数
y=
的两交点
A
、
B
关于原点对称，
∴点
A
（
1
，
2
）关于原点对称点的坐标为（﹣
1
，﹣
2
）
< br>．
故选
C
．
<
/p>
点评：
本题考查了反比例函数图象的对称性．函数知识的考查是每
年中考必考知识，解决这类题目关键是平时要多
积累规律．
<
/p>
4
、
（
2009
•
贵阳）已知正比例函数
y=2x
与反比例函数
y=
的图象相交于
A
，
B
两点，若
A
点的坐标为（
1
，<
/p>
2
）
，则
B
点的坐标为（
）
A
、
（
1
，﹣
2
）
B
、
（﹣
1
，
2
）
C
、
（﹣<
/p>
1
，﹣
2
）
D
、
（
2
，
1
）
考点
：反比例函数图象的对称性。
<
/p>
分析：
解答这类题一般解这两个函数的解析式组成的方程组即可．
解答：
解：由已知可得
，解这个方程组得，
x
1
=
1
，
x
2
=<
/p>
﹣
1
，则得
y<
/p>
1
=2
，
y
2
=
﹣
2
，
则这两个函数的交点为（
< br>1
，
2
）
，
（﹣
1
，﹣
2
）
，
因
为已知
A
点的坐标为（
1
，
2
）
，故
B
点的坐标为（﹣
1
，﹣
2
）
．
故选
C
．
<
/p>
点评：
正比例函数与反比例函数的交点关于原点对称，同学们要熟
记才能灵活运用．
5
、
（
2008
•
临沂）如图，
直线
y=kx
（
k
＞
0
）与双曲线
y=
交于
A
，
B
两点，若
A
，
B
两点的坐标分别为
A
（
x<
/p>
1
，
y
1
）
，
B
（
x
2
，
y
2
）
，则
x
< br>1
y
2
+x
2
y
1
的值为（
< br>
）
A
、﹣
8
B
、
4
C
、﹣
4
D
、
0
考点
：反比例函数图象的对称性。
<
/p>
分析：
根据直线
y=kx
（
k
＞
0
）与双曲线
y=
两交点
A
，
B
关于原点对称，求出
y
1
=
﹣
y
2
，
y
2
=
﹣
y
1
，代入解析式即可解
答．
解答：
解：将
y=
化为
xy=2
，将
A
（
x
1
，
y
1
）
，
B
（
x
2
，
y
2
）分别代入
xy=2
，得
x
1
y
1
=2
，
x
2
y
2
=2
．
因为
y
< br>1
和
y
2
互为相反数，所以
y
1
=
﹣
y
2
，
y
2
=
﹣
y
1
．则
x
1
y
2
+x
2
y
1
=
﹣<
/p>
x
1
y
1
﹣
x
2
y
2
=
﹣（
x
1
y
1
+x
2
y
2
）
=
﹣（
2+2
）
< br>=
﹣
4
．
故选
C
．
点评：
此题考查了反比例函数图象的对称性，同学们要熟记才能
灵活运用．
6
、
（
2007
•
黔东南州）
已知正比例函数
y=k
1
x
（
k
1
≠
0）
与反比例函数
y=
（
k
2
≠0）
的图象有一个交
点的坐标为
（﹣
2
，﹣
1
）
，则它的另一个交点的坐标是（
< br>
）
A
、
（
2
，
1
）
B
、
（﹣
2
，﹣
1
）
C
< br>、
（﹣
2
，
1
）
D
、
（
2
，﹣
1
）
考点
：反比例函数图象的对称性。
专题
：计算题。
分析：
根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答．
解答：
解：∵反比例函数的图象是中心对称图形
，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴它的
另一个交点的坐标是（
2
，
1
）
．
故选
A
．
<
/p>
点评：
此题考查了反比例函数图象的对称性，同学们要熟记才能灵
活运用．
7
、
（
2007
•
淮安）关于函数
的图象，下列说法错误的是（
）
A
、经过点（
1
，﹣
1
）
B
、
在第二象限内，
y
随
x
的增大而增大
C
、是轴对称图形，且对称轴是
y
轴
D
、是中心对称图形，且对称中心是坐标原点<
/p>
考点
：反比例函数图象的对称性。
<
/p>
分析：
根据反比例函数的性质并结合其对称性对各选项进行判断．
解答：
解：
A
、把点（
1
，﹣
1
）代入函数
y=
﹣
得﹣
1=
﹣
1
，正确．
B
、∵k=﹣<
/p>
1
＜
0
，∴在第
二象限内，
y
随
x
的增大而增大，正确；
C
、是中
心对称图形，且对称中心是坐标原点，但不是轴对称，错误；
D
、是中心对称图形，且对称中心是坐标原点，正确．
故选
C
．
<
/p>
点评：
本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握其性质是解题的
关键．
8
、
（
2006
•
威海）如图，过原点的一
条直线与反比例函数
y=
（k≠0）的图象分别交于
A
，
B
两点．若
A
点的坐标
为（
a
，
b
）
，则
B
点的坐标为（
）
A
、
（
a
，
b
）
B
、
（
b
，
a
）
C
、
（﹣
b
，﹣
a
）
D
< br>、
（﹣
a
，﹣
< br>b
）
考点
：反比例函数图象的对称性。
专题
：计算题。
分析：
此题由题意可知
A
、
B
两点关于原点对称，则根据对称性即可得到
B
点坐标．
解答：
< br>解：根据图象，
A
、
B
两点关于原点对称．
A
点的坐标为（
a
，
b
）
，则
B
点坐标为（﹣
a
，﹣
b
）
．
故选
D
．
<
/p>
点评：
本题考查了反比例函数图象的对称性，解决这类题目的关键
是掌握两点的对称中心为原点．
9
、
（
2006
•
南通）如图，设直线
y=kx
（
k
＜
0
）与双曲线
y
=
﹣
相交于
A
（
x
1
，
y<
/p>
1
）
B
（
x
2
，
y
2
）两点，则
x
1
y
2
﹣
3x
2
y
1
的值为（
）
A
、﹣
10
B
、﹣
5
C
、
5
D
、
10
考点
：反比例函数图象的对称性。
专题
：计算题。
分析：
由反比例函数图象上点的坐标特征，两交点坐标关于原点对称，故
x
1
=
﹣
x
2
，
y
1
=
﹣
y
2
，再代入
x
1
y
2
﹣
3x
2
y
1
，由
k
=xy
得出答案．
解答：
解：由图象可知点
A
（
x
1
，
y
1
）
B
（
x
2
，
y
2
）关于原点对称，
即
x<
/p>
1
=
﹣
x
2
，
y
1
=
﹣
y
2
，
把
A
（
x
1
，
y
1
）代入双曲线
y=
﹣
得
x
1
y
1
=
﹣
5
，
则原式
=x
1
y
2
﹣
3x
2
y
1<
/p>
，
=
﹣
x
1
y
1
+3x
1
y
1
，
=5
﹣
15
，
=
﹣
10
．
故选
A
．
<
/p>
点评：
本题考查了正比例函数与反比例函数交点坐标的性质，即两
交点坐标关于原点对称．
10
、
（
2006
•
贵港
）已知正比例函数
y=kx
的图象与反比例函数
的图象的一个交点坐标是（
1
，
3
）
，则另一个
交点的坐标是（
）
A
、
（﹣<
/p>
1
，﹣
3
）
B
、
（﹣
3
，﹣
1
）
C
、
（﹣
1
，﹣
2
）
< br>D
、
（﹣
2
，﹣
3
）
考点
：反比例函数图象的对称性。
<
/p>
分析：
反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的
两个交点一定关于原点对称．
解答：
解：根据中心对称的性质可知另一个交点的坐标是（﹣
1
，﹣<
/p>
3
）
．
故选
A
．
<
/p>
点评：
本题考查反比例函数图象的中心对称性，较为简单，容易掌
握．
11
、
（
2005
•
宿迁）如图，直线
y=2x
与双曲线
y=
的图象的一个交点坐标为（
2
，
4<
/p>
）
，则它们的另一个交点坐标是
（
）
A
、
（﹣
2
，﹣
4
）
B
、
（﹣
2
，
4
）
C
、
（﹣
4
< br>，﹣
2
）
D
、
（
2
，﹣
4
）
考点
：反比例函数图象的对称性。
专题
：计算题。
分析：
反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于
原点对称．
解答：
解：
由于反比例函数是中心对称图形，
所以正比例函数
y
=2x
与反比例函数
y=
的两交点
A
、
B
关于原点对
称．
又
因为点（
2
，
4
）关于原点对称点的坐标为（﹣
2
，﹣
4
）
．
故选
A
．
<
/p>
点评：
本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对
称．
12
、如图，直线
y=
﹣
2x
与双曲线
y=
相交于
A
、
B
两点，点
A
坐标
为（﹣
1
，
2
）
，则点
B
坐标为（
< br>
）
A
、
（
1
，﹣
2
）
B
、
（
2
，﹣
1
）
< br>C
、
（﹣
2
，
1
）
D
、
（﹣
1<
/p>
，﹣
2
）
考点
：反比例函数图象的对称性。
专题
：计算题。
分析：
反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于
原点对称．
解答：
解：由于点
A
和点
B
关于原点对
称，点
A
坐标为（﹣
1
，
2
）
，则点
B
坐标为（
1
，﹣
2
）
．
故选
A
．
<
/p>
点评：
本题考查反比例函数图象的中心对称性，即两点关于原点对
称．
13
、如图，直线
y=mx
与双曲线
的一个交点
A
的坐标为（
3
，
< br>2
）
，则它们的另一个交点
B<
/p>
的坐标为（
）
A
、
（
2
，
3
）
B
、
（﹣<
/p>
2
，
3
）
C
、
（﹣
3
，﹣
2
）
D
、
（﹣
4
，﹣
3
）
考点
：反比例函数图象的对称性。
专题
：计算题。
分析：
反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于
原点对称．
解答：
解：因为直线
y=mx
过原点，双曲线
的两个分支关于原
点对称，
所以其交点坐标关于原点对称，
A
的坐标为（
3
，
2
）
，另一个交点
B
的坐标为（﹣
3
，﹣
2
）
．
故选
C
．
<
/p>
点评：
此题考查了函数交点的对称性，通过数形结合和中心对称的
定义很容易解决．
14
、反比例函数
y=
的图象是双曲线，它的对称轴有（
）条．
A
、
4
B
、
2
C
、
1
D
、
0
考点
：反比例函数图象的对称性。
<
/p>
分析：
任意一个反比例函数的图象都是轴对称图形，且对称轴有且
只有两条．
解答：
解：反比例函数<
/p>
y=
的图象是双曲线，它的对称轴有
2<
/p>
条，分别为一、三象限角平分线和二、四象限角平
分线．
故选
B
．
<
/p>
点评：
本题考查了反比例函数图象的对称性质：任何一个反比例函
数都有两条对称轴，分别为一、三象限角平分线
和二、四象限角平分线．
15
、正比例函数
与反比例
函数
的图象相交于
A
、
B
两点，其中点
A
的坐标为（
3
，
2
）
，那么点
B
的坐标为
（
）
A
、
（﹣<
/p>
3
，﹣
2
）
B
、
（﹣
3
，
2
）
C
、
（﹣
2
，﹣
3
）
D
、
（
2
，
3
）
考点
：反比例函数图象的对称性。
专题
：计算题。
分析：
解由两个函数解析式组成的方程组可求交点坐标．
解答：
解：解方程组
得
，
．
因为点
A
的坐标为（
3
，
2
）
，
那么点
B
的坐标为（﹣
3
，﹣
2
）
．
故选
A
．
<
/p>
点评：
求函数图象的交点坐标，只需解由两个函数解析式组成的方
程组即可．
16
、如图，有反比例函
数
，
的图象和一个圆，则
S
阴影
=
（
）
A
、π
B
、2π
C
、3π
D
、无法确定
考点
：反比例函数图象的对称性。
<
/p>
分析：
根据两函数的对称性和圆的对称性，将阴影部分面积转化为
半圆的面积来解．
解答：
解：因为反
比例函数
圆也是关于
y
轴对称，
，
的图象关于
y<
/p>
轴对称，