(最新最全)轴对称图形典型题(全word已整理)
宣纸阅读答案-
轴对称图形典型例题
例
1
如下
图，已知，
PB
⊥
AB
，
PC
⊥
AC
，且
PB
＝
PC
，
D
是
AP
上一点．
求证：∠
BDP<
/p>
＝∠
CDP
．
证明：∵
PB
⊥
AB
，
PC
⊥
AC
，且
PB
＝
PC
，
∴
∠
P
AB
＝∠
P
A
C
（到角两边距离相等的点在这个角平分线上）
，
∵
∠
< br>APB
＋∠
P
AB
＝
90
°，∠
APC
＋∠
P
AC
＝
90
°，
∴
∠
APB
＝∠
APC
，
在△
PDB
和△
PDC
中，
PB
PC
，
APB
APC
，
PD
PD
.
∴
△
PDB
≌△
PDC
（
SAS
）
，
∴
∠
BDP
＝∠
CDP
．
（图形具有明显的轴对称性，可以通过利用轴对称的性质而不用三角形的全等）
注
利用角平分线定
理的逆定理，
可以通过距离相等直接得到角相等，
而不用再证明
两个三
角形全等．
例
2
已知
如下图（
1
）
，在四边形
ABCD
中，
BC
＞
BA
，
AD
＝
CD
，
BD
平分∠<
/p>
ABC
．求证：
∠
A
＋∠
C
＝
180
°．
（
1
）
证法一：过
D
作
D
E
⊥
AB
交
B
A
的延长线于
E
，
DF
⊥
BC
于
F
，
∵
BD
平分∠
ABC
，∴
DE
＝
DF
，
在
Rt
△
EAD
和
Rt
△
FCD
中，
AD
< br>DC
，
DE
DF
.
（角平分线是常见的对称轴，因此可以用轴对称的性质或全等三角形的性质来证明
．
）
∴
<
/p>
Rt
△
EAD
≌
Rt
△
FCD
（
HL
）
，
∴
∠
C
＝∠
EAD
，
∵
∠
EAD
＋
∠
BAD
＝
180
°，
∴
∠
A
＋∠
C
＝
180
°．
证法二：如下图（
2
）
，在
BC
上截取
BE
＝
AB
，连结
DE
，
证明△
ABD
≌△
EBD
可得．
（
2
）
证法三：如下图（
3
）
，延长
BA
到
E
< br>，使
BE
＝
BC
，连结
ED
，以下同证法二．
（
3
）
注
本题考察一个角平分线上的任意一
点到角的两边距离相等的定理来证明线段相等，
关键
是掌握遇到
角的平分线的辅助线的不同的添加方法．
例
3
已知
，如下图，
AD
为△
ABC
的中线，且
DE
平分∠
B
DA
交
AB
于
E
，
DF
平分∠
ADC
交
AC
于
F
．
求证：
BE
＋
CF
＞
EF
．
证法一：在
DA
截取
DN
＝
DB
，连结
NE
、
NF
，则
DN
＝
DC
，在△
BD
E
和△
NDE
中，
BD
ND
，
BDE
NDE
，
DE
DE
.
（遇到角平分线可以考虑利用轴对称的性质或全等三角形的性质来解题）
∴
△
BDE
≌△
NDE
（
SAS
）
，
∴
BE
＝<
/p>
NE
（全等三角形对应边相等）
，
同理可证：
CF
＝
NF
，
<
/p>
在△
EFN
中，
EN
＋
FN
＞
EF
（三角形两边之和大于第三边）
，
∴
BE
＋<
/p>
CF
>
EF
．<
/p>
证法二：延长
ED
至
M
，使
DM
＝
ED
，连结
CM
、
MF
，
< br>在△
BDE
和△
CDM
中，
BD
CD
，
BDE
CDM
，
DE
DM
.
（从另一个角度作辅助线）
∴
△
BDE
≌△
NDE
（
SAS
）
，
∴
CM
＝<
/p>
BE
（全等三角形对应边相等）
，
又∵
∠
BDE
=
∠
A
DE
，∠
ADF
＝∠<
/p>
CDF
，
而∠
BDE
＋∠
ADE
＋∠
ADF
＋∠
CDF
＝
180
°，
∴
∠
ADE
+
∠
ADF
＝
90
°，
即
∠
EDF
＝
90
°，
∴
∠
FDM
＝∠
EDF
< br>＝
90
°，
< br>在△
EDF
和△
MDF
中，
ED
MD
，
EDF
MDF
，
DF
DF
.
∴
△
EDF
≌△
MDF
（
SAS
）
，
∴
EF
＝
MF
（全等三角形对应边相等）
，
在△
CMF
中，
CF
＋
CM
>
EF
，
∴
BE
＋
CF
>
EF
．
注
本题综合考察角平分线、中线的意
义，关键是如何使题中的分散的条件集中．
例
4
<
/p>
已知，如下图，
P
、
Q
是△
ABC
边
< br>BC
上的两点，且
BP
＝
PQ
＝
QC
＝
AP
＝
AQ
．求：∠
BAC
的度数．
解：∵
A
P
＝
PQ
＝
A
Q
（已知）
，
∴
∠
APQ
＝∠
AQP
＝∠
P
AQ
＝
60
°（等边三角形三个角都是
60
°）
，
∵
AP
＝
BP
（已知）
，
（注意观察图形和条件）
∴
∠
PBA
＝∠
P
AB
（
等边对等角）
，
∴
∠
APQ
＝∠
PBA
＋∠
P
AB
＝
60°
（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和）
，<
/p>
∴
∠
PBA
＝∠
P
AB<
/p>
＝
30
°，同理∠
QAC
＝
30
°，
< br>
∴
∠
BAC
＝∠
BAP
＋∠
P
AQ
＋∠
QAC
＝
30
°＋
60
°＋
30
°＝
120
°．
注
<
/p>
本题考察等腰三角形、等边三角形的性质，关键是掌握求角的步骤：
（
1
）利用等边对等
角得到相等的角
；
（
2
）
利用
三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角和得各角之间的关
系；
（
3
）利用三角形内角和定理列方程．
例
5
已知，如下图，在△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
E<
/p>
是
AB
的中点，以点
E
为圆心，
EB
为半径
画弧，交
BC
于点
D
，连结
ED
，并延长
ED
到点
F
，使
DF
＝
DE
，连结
FC
．
求证：∠
F
＝∠
A
．
证明：∵
AB
＝
AC
，
∴
∠
B
＝∠
ACB
（等边对等角）
，
∵
EB
＝
ED
，
∴
∠
B
＝∠
EDB
，
∴
∠
ACB
＝∠
EDB
（等量
代换）
，
∴
ED
∥
AC
（
同位角相等，两直线平行）
，
在△<
/p>
BDE
和△
AED
中，
BE
＝
AE=ED
，
连结
AD
可得，∠
EAD
＝∠
EDA
，∠
EBD
＝∠
EDB
，
∠
EDA
＋∠
EDB
＝
90
°，即
AD
⊥
BC
，
∴
∠
EDA
＋∠
EDB
＝
90
°，即
AD
⊥
BC
，
（用什么定理判定三角形全等的？）
∴
D
为
BC
的中点，
∴
△
BDE
≌△
CDF
，
∴
∠
BED
＝∠
F
，而∠
BED
＝∠
A
，
∴
∠
F
＝∠
A
．
例
6
已知
，如下图，△
ABC
中，
AB
＝
AC
，
E
在
CA
的延长线上，∠
A
EF
＝∠
AFE
．
求证：
EF
⊥
< br>BC
．
证法一：作
BC
边上的高
AD
，
D
为垂足，
∵
AB
＝<
/p>
AC
，
AD
⊥<
/p>
BC
，
∴
∠
BAD
＝∠
CAD
（等腰三角形三线合一）
，
又∵
∠
BA
C
＝∠
E
＋∠
AFE
，∠
AEF
＝∠
AFE
，
∴
∠
CAD
＝∠
E
，∴
AD
∥
EF
，
∵
AD<
/p>
⊥
BC
，
∴
EF
⊥<
/p>
BC
．
证法二
：过
A
作
AG
⊥
EF
于
G
，
∵
∠
AEF
＝∠
AF
E
，
AG
＝
A
G
，∠
AGE
＝∠
AGF
＝
90
°，
∴
△
AGE
≌△
AGF
（
ASA
）
，
∵
AB
＝
AC
，∴
∠
B
＝∠
C
< br>，
又∠
EAF
＝∠
B
＋∠
C
，
（请对比多种证法的优劣）
∴
∠
EAG
＋∠
GAF
＝∠
B
＋∠
C
，
∴
∠
EAG
＝∠
C
，∴
AG
∥
BC
，
∵
AG<
/p>
⊥
EF
，
∴
EF
⊥<
/p>
BC
．
证法三
：过
E
作
EH
∥
BC
交
BA
的延长线于
H
，
∵
AB<
/p>
＝
AC
，∴
<
/p>
∠
B
＝∠
C
，
∴
∠
H
＝∠
B
＝∠
C
＝∠
AEH
，
∵
∠
AEF
＝∠
AFE
，∠
H
＋∠
AFE
＋∠
FEH
＝
180
°，
∴
∠
H
＋∠
AEH
＋∠
A
EF
＋∠
AFE
＝
180
°，
∴
∠
AEF
＋∠
AEH
＝
90
°，即∠
FEH
＝
90
°，
∴
EF
⊥<
/p>
EH
，又
EH
∥
BC
，
∴
EF
⊥<
/p>
BC
．
证法四
：延长
EF
交
BC
于
K
，
∵
AB
＝<
/p>
AC
，∴
∠<
/p>
B
＝∠
C
，
1
∴
∠
B
＝
2
（
180
°
－
∠
BAC
）
，
∵
∠
< br>AEF
＝∠
AFE
，
1
∴
∠
AFE
＝
2
（
180
°
－
∠
EAF
）
，
∵
∠
BFK
＝∠
AFE
，
1
∴
< br>∠
BFK
＝
2
< br>（
180
°
－
< br>∠
EAF
）
，
< br>
1
1
∴
∠
B
＋∠
BFK<
/p>
＝
2
（
180<
/p>
°
－
∠
BAC<
/p>
）＋
2
（
180
°
－
∠
EAF
）
1
∵
＝
2
[
360
°
－（
∠
EAF
＋<
/p>
∠
BAC
）
]<
/p>
，
∴
∠
EAF
＋∠
BAC
＝
180
°
，
∴
∠
B
＋∠
BFK
＝<
/p>
90
°
，即
∠<
/p>
FKB
＝
90
°
，
∴
EF
⊥
BC
．
注
本题考察等
腰三角形性质的应用，解题的关键是通过添加辅助线，建立
EF
与
BC
的联
系，仔细体会以上各种不同
的添加辅助线的方法．
例
7
如下
图，
AB
＝
AC
，
DB
＝
DC
，
P
是
AD
上一点．
求证：∠
ABP
＝∠
ACP
．
证明：连结
BC
，
∵
AB
＝
AC
（已知）
< br>，
∴
∠
ABC
＝∠
ACB
（等边对等角）
，
又∵
点
A<
/p>
、
D
在线段
BC
的垂直平分线上
（与线段两个端点的
距离相等的点在这条线段的垂直平分线上）
，而两点确定一条直线，
∴
AD
就是线段
BC
的垂直平分线，
∴
PB
＝<
/p>
PC
（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）
，
∴
∠
PBC
＝∠
PCB
（等边对等角）
，
（线段垂直平分线的性质
）
∴
∠<
/p>
ABC
－
∠
PB
C
＝∠
ACB
－∠
PCB
（等式性质）
，
即∠
ABP
＝∠
ACP
．
注
本题若用三角形全等，
至少需要证两次，
现
用线段垂直平分线的判定和性质，
就显得比
较简洁．
例
8
如下图，
AB
＝
AC
，
DE
垂直平分
AB
交
AB
于
D<
/p>
，交
AC
于
E<
/p>
，若△
ABC
的周长为
< br>28
，
BC
＝
< br>8
，求△
BCE
的周长．
解：∵
等腰△
ABC
的周长＝
28
，
BC
＝
8
，
∴
2
AC
＋
BC
＝
28
，
∴
AC
＝<
/p>
10
，
（理由是什么？）
∵
DE
垂直
平分
AB
，
∴
AE
＝<
/p>
BE
，
∴
△
BCE
的周长＝
BE
＋
EC
＋
BC
＝
AE
＋
EC
＋
BC
＝
AC
＋
BC
＝
10
＋
8
＝
1
8
．
注
<
/p>
本题考察线段垂直平分线的性质定理的运用，
关键是运用线段垂直
平分线的性质得到线
段的等量关系．
例
9
已知
，如下图，△
ABC
中，
AB
＝
AC
，∠
BAC
＝
120
°，
EF
为
AB
的垂直平分线，
EF
交
BC
于
F
，交
AB
于
E
，求证：
BF
1
FC
2
．