一、递推的方法
防身术视频-
一、递推的方法
在不少计数问题中，
要很快求出结果是比较困难的，
有时可先从简单情况入手，
然后从某一种特
殊情况逐渐推出与以后比较复杂情况之间的关系，
找出规律逐步解决问题，
这样的方法叫递推方
法。
例
2
计算
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋
5
＋
6
＋
7
＋
8
＋
9
< br>＋
10
的值。
这道题我们可以采用分别求出每个数的立方是多少，再
求和的方法来解答。但是，这样计算的工作量比
较大，我们可以从简单的情况开始研究。
1
＋
2
＝
9
＝
3
＝
(1
＋
2
)
1
＋
< br>2
＋
3
＝
3
＝
6
＝
(
1
＋
2
＋
3)
1
＋
2
＋
3
＋
4
＝
100
＝
10
＝
(1
＋
2
＋
3
＋
4)
„„
这样我们可以得到：
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋
5
＋
6
＋
7
＋
8
＋
9
＋
10
＝
(1
＋
2
＋
3
＋
4
＋
5
＋
6
＋
7
＋
8
＋
9
＋
10)
2
3
3
3
3<
/p>
3
3
3
3
3
3
3
3
3
3
2
2
3
3
3
6
2
2
3
3
2
2
3
3
3<
/p>
3
3
3
3
3
3
3
＝
55
＝
30
25
所以
1
＋
2
＋
3
＋„„＋ｎ
＝
(1
＋
2
＋
3
＋„„＋ｎ
)
3
3
3
3
2
2
例
3 2000
个学生排成一行，依次
从左到右编上
1
～
2000
号，然后从左到右按一、二报数，报一的离开队伍，剩下的人
继续按一、二
报数，报一的离开队伍，„„按这个规律如此下去，直至当队伍只剩下一人为止。问：这时一共报了多少次？
最后留下的这个人原来的号码是多少？
难的不会想简单的，数大的不会想数小的。我们先从这
2000
名同学中选出
20
人代替
2000
人进行分析，
试着找出规律，然后再用这个
规律来解题。
这
20
人第一次报数后共留下
10
< br>人，因为
20÷2＝
10
，这
10
人开始时的编号依次是：
2
、
4
、
6
、
8
、
10
、
12
、
14
、
16
、
18
、
20
，都是
2
的倍数。
第二
次报数后共留下
5
人，因为
10÷2＝
5
，这
5
人
开始时的编号依次是：
4
、
8
、
12
、
16
、
20
，都是
4
的倍数，也就是
2×2
的倍数。
第三次报数后共留下
< br>2
人，因为
5÷2＝2
„„1
，这
2
人开始时的编号依次是：
8<
/p>
、
16
，都是
8
的倍数，
也就是
2×2×2
的倍数。
第四
次报数后共留下
1
人，
因为
2÷2＝
1
，
这
1
人开始时的编号是：
16
< br>，
都是
8
的倍数，
也就是
2×2×2×2
的倍数。
由此可以发现，第
n<
/p>
次报数后，留下的人的编号就是
n
个
2
的连乘积，这是一个规律。
2000
名同学，报几次数后才能只留下一个同学呢
?
第一次：2000÷2＝
1000
第二次：1000÷2＝
500
第三次：500÷2＝
250
第四次：250÷2＝
125
第五次：125÷2＝62 „„1
第六次：62÷2＝
31
第七次：31÷2＝15 „„1
第八次：15÷2＝7 „„1
第九次：7÷2＝3 „„1
第十次：3÷2＝1 „„1
所以共需报
10
次数。
那么，最后留下的同学在一开始时的编号应是：
2×2×2ׄ×
2
＝
1024
（号）
例
4
平面上有
10
个圆，最多能把平面分成几部分？
直接画出
10
个圆不是好办法，先考虑一些简单情况。
一个圆最多将平面分为
2
部分；
二个圆最多将平面分为
4
部分；
三个圆最多将平面分为
8
部分；（如右图）
当第二个圆在第一个圆的基
础上加上去时，第二个圆与第一个圆有
2
个交点，这两个交点<
/p>
将新加的圆弧分为
2
段，其中每一段圆弧
都将所在平面的一分为二，所以所分平面部分的数在原有的
2
部
分
的基础上增添了
2
部分。因此，二个
圆最多将平面分为
2
＋
2
＝
4
部分。
同样道理，三个圆最多分平面的部分数是二个圆分平面
为
4
部分的基础上增加
4
部分。因此，三个圆最
多将平面分为
2
＋
2
＋
4
< br>＝
8
部分。
由此不难推出：画第
10
个圆时，与前
9
个圆最多有
9×2＝
18
个交点，第
10
个圆的圆弧被分成
18
段，
也就是增加了
18
个部分。因此，
10
个圆最多将平面分成的部分数为：
2
＋
2
＋
4
＋
6
＋
„＋
18
＝
2
＋2×（
1
＋
< br>2
＋
3
＋„＋
< br>9
）
＝
2
＋2×9×（
9
＋
1
）÷2
＝
92
类似的分析，我们可以得到，
n
个圆最
多将平面分成的部分数为：
2
＋
2
＋
4
＋
6
＋„＋
2
（
n
－
1
）
＝
2
＋2×[1＋
2
＋
3
＋„＋（
n
－
1
）
]
＝
2
＋
n
（<
/p>
n
－
1
）
＝
n
－
n
＋
2
2
例
5
有
8<
/p>
块相同的巧克力糖，从今天开始每天至少吃一块，最多吃两块，吃完为止，共有多少种不同
的吃法？
为叙述方便起见，设
n
块糖有
a
n
种不同的吃法。
如果
n
＝
1
，那么只有
1
种吃法，所以
a
1
＝
1
；<
/p>
如果
n
＝
2
，那么有
2
种吃法，每天吃
1
块和每天吃
2
块，所以
a
2
＝
2
；
下面研究
n≥3
的情况，我们把吃糖的情况分为两种情况讨论：
如果第一天吃
1
块，那么还有
n
－
1
块，有
a
n
－
1
种不同吃法。
如
果第一天吃
2
块，那么还有
n
－
2
块，有
a
n
－
2
种不同吃法。<
/p>
根据加法原理得：
a
n
＝
a
n
－
1
＋
a
n
－
2
（n≥3），这样我们可以这个算出
a
3
、
a
4
、<
/p>
a
5
、„a
8<
/p>
现列表如下：
n
a
n
1
1
2
2
3
3
4
5
5
8
6
13
7
21
8
34
所以，
8
块相同的巧克力糖有
34
种
不同的吃法。
例
6
4
个人
进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五
次传球后，球又回到甲手中，问有多少种传球方法？
设第
n
次传球后，球又回到甲手中的传球方法有
a
n
种。可以想象前
n-1
次传球，如果每一次传球都任选
其它三人中的一人进行传球，
也就是每次传球都有
3
种可能，
由乘法原理，
共
有
传球方法。这些传球方式并不是都符合要求的，它们可以分为两类，一类是第
n
－
1
次恰好传到甲手
中，这有
a
n
－
1
种传球方法，它们不符合要求，因为这样第
n
次无法再把球传给甲；另一类是第
n
－
1
次传球，球不在甲
手中，第
n
次持球人再将球传给甲，有
a
n<
/p>
种传球方法。根据加法原理，
有
a
n
－
1
＋
a
n
＝3×3×3ׄ×3＝
3
因此有
a
n
＝
3
n
－
1
n
－
1
－
a
n
－
1
由于甲是发球者，一次传球后球又回到甲手中的传球方法是不存在的，所以
< br>a
1
＝
0
。
利用递推关系可以得到：
a
2
＝
3
－<
/p>
0
＝
3 a
3
＝3×3－
3
＝
6
a
4
＝3×3×3－
6
＝
21 a<
/p>
5
＝3×3×3×3－
21
＝
60
所以经
过
5
次传球后，球仍回到甲手中的传球方法有
< br>60
种。
练
习
⒈ 有
500
位学生编成一排，从左到右
1
、
2
、
3
报数，凡报到
1
和
2
的离队，报
3
的留下，象左看齐再重复同样的报数
过程，如此
进行若干此后，只剩下两位同学。问这两位同学在开始的队列中，从左到右数，分别在第几个？
< br>
⒉
平面上有一条直线，把平面分成两部分，十条直线最多可把平面分成几部分？
⒈ 最后两人在最开始分别排在第
243
个和第
486
个。
⒉
十条直线最多可把平面分成
56
部分。
一、准备题
线段
AB
上共有
10
个点（包括两个端点），那么这条线段上一共有
多少条不同的线段？
分析与解答：从简单情况研究起：
AB
上共有
2
个点，有线段：
1
条
AB
上共有
3
个点，有线段：
1
＋
2
＝
3
（条）
AB
上共有
4
个点，有线段：
1
＋
2
＋
3
＝
6
（条）
AB
上共有<
/p>
5
个点，有线段：
1
＋
2
＋
3
＋
4
＝
10
（
条）
„„
AB
上共有
10
个点，有线段：
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋„＋
9
＝
45
（条）
一般地，
AB
上共有
n
个点，有线段：
1
＋
2<
/p>
＋
3
＋
4
＋„＋（
n
－
1
）＝n×（
n
－
1
）÷2
< br>即：线段数＝点数×（点数－
1
）÷2
< br>
二、例题讲解：
例
1
的乘积中有多少个数字是奇数？
如果我们通过计算找到答案比较麻烦，因此我们先从最简单的情况入手。
9×9＝
81<
/p>
，有
1
个奇数；
99×99＝99×(100－
1)
＝
9900
－
99
＝
9801
，有
2
个奇数；
999×999＝999×(1000－
1)
< br>＝
99900
－
999
＝
998001
，有
3
个奇数；
„„
从而可知，999„999×999„999
的乘积中共有
10
个奇数。
例
2
在
7
点到
8
点之间，时针与分针在什么时候
互相垂直？
在
7
点的时候，两针相距
5×7=
35（格）。分针在时针前面
15
格，或者在时针后面
15
格，两针都互相垂直。因
此，本题有两个答
案。
钟面上的分针每小时走
60
小格（后面简称“格”），而时针每小时走
5
小格；分针每分钟走
1
小格
，而时针每
分钟走
小格，
即
小格。
在
4
点的时候，<
/p>
分针在时针后面
5×4=20
（格）
，
而每分钟分针比时针多走
1-
）分钟。
=
（格）
。
因此，时针与分针重合所需的时间是（
2
0
÷
综合列式是
（5×4）÷（
1-
）
=21
（分
）
答：经过
21
分钟，时针正好与分针重合。
一、
时钟问题
大家已经认识了钟表。钟表
上的分针、
时针在不停息地转动着，
两针有时相互重合，
有时相互垂
直，有时又成一条直线，而求时针、分针形成的各种不同位
置所需的时间，就构成了饶有兴趣的
时钟问题。这一讲让我们一起来研究钟面上的数学问
题。
例
1
现在
是
4
点整，经过多少分钟，时针正好与分针重合？
（
1
）
当分针走到时针前面
15
格时，两针互相垂
直。所需的时间是
< br>（5×7+15）÷（
1-
）
=
54
（分）
（
2
）
当分针走到时针后面
15
格时，两针互相垂
直。所需的时间是
< br>（5×7
-15
）÷（
1-
）
=21
（分）
答：在
7
点
54
分和
7
点
21
分时，两针互相垂
直。
求时针、分针形成的各种不同位置（重合、成直线、成直角等）所需的时间，主要依据行程问题中的“追及问 题”的计
算原理。因此，时钟问题又称钟面上的行程问题。
例
3
三点与四点之间的什么时刻，
钟面上时针和分针在“3”的两旁并且与“3”的距离相等？
三点钟时，两针相距
5×3=15（格）。设符合题目要求时，
分针走了
Х
格，依题意可得方程：
15-
Х
=
15=
+
Х
15=
Х
=
答：两针距“
3
”等距的时刻为
3
点
分。
还可以这样想：假设从
3
点整起时针逆向转动，将求两针与“3”字等距的时间，转化为求
两针相遇的时间。
15÷（
1+
）
=
（分）
例
4
某科学家设计了一只怪钟，这只
钟每昼夜是
10
小时，每小时是
100
分钟。当这只怪钟显示
5
点整时，实际
是中午
12
点。那么实际下午
4
点
48
分时，这只怪钟显示的是什么时间？<
/p>
怪钟每天是
100×10=1000（分），实际每天是
60×24=1440（分），<
/p>
每天实际的时间是怪钟时间
的
1440÷1000=1.44
倍。
实际
12
点至下午
4
点
48
分，间隔的时间是
60×4+48=288
（分），相当于怪钟的
288÷1.44=200（分），即
200÷100=2（时）。因此，这只怪钟显
示的时间是
5+2=7
（时）。
例
5
一只奇妙的钟，一圈共有<
/p>
20
个格，每过
7
分钟，指针跳动一次，而每跳动一次就要跳过
9
个格，今晨<
/p>
8
点整时，
指针恰好从
< br>0
跳到
9
，问昨天晚上
8
点整时，指针指着几？
从昨天晚上
8
点到今天早晨
8
点，共经过
6
0×
12=720
（分），
这只钟共跳过
720÷
7=102
（次）„
6
（分），
共跳过
9×
102=918
（格），即
918÷
20=45
（周）„
18
（格），
20-18=2
（格），即指针指着
2
。
例
6 7
点几分时，分针落后时针
100
度角？
在钟面上分针旋转一周是
360
度。因
此，分针每分钟旋转的角度是
360÷60=6（度），时针每分钟旋转的角度是
360÷（60×12）
=0.5
（度）。
7
点整时，时针与分针的形成的角度是
360×
度，还需要追上
210-10
0=110
（度）。所需要的时间是
110÷（
6-0.5
）
=20
< br>（分）
答：
7
点
20
分时，分针落
后时针
100
度角。
=210
（度），要想让分针落后时针
100
例
7
8
点
28
分，时针与分针所夹的锐角是多少度？
分针走
28
< br>分旋转的角度是
6×28 =168（度），时针走
28
分旋转的角度是
0.5×28 =14（度）
< br>,8
点整分针与时
针夹角是
36
0×
=240
（度）
,
所以
,8
点
28
分，时针与分针所夹的锐角是
240-168+14=86
（度）。
答：时针与分针所夹的锐角
8
6
度。