递推法
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递
推
法
刘海东
江苏省东台市第一中学
一、内容概述
递推关系是一种简洁高
效的常见数学模型，比如
Fibonacci
数列问题．
特点：在递推问题中，每个数据项都和它前面的若干数据项（或后面
的若干数据项）有一定的
关联，这种关联一般经过
“
递推关系式
”
表示．
<
/p>
问题求解一般从初始的一个或若干个数据项出发，
通过递推关系逐
步推进，
从而得到最终结果，
这种求解问题的方法叫
“
递推法
”
．其中，初始
的若干数据项称为
“
边界
”
．
下面借助几种典型的数列递推公式利用递推法求解．
二、例题示范
1.
< br>运用累加
(
累乘
)
法求解
类型Ⅰ
：
a
n
1
a
n
< br>
f
n
先介绍一下差数列的概念：对
于数列
a
n
，设
b
n
a
n
1
a
n
，
n
1
，
2
，…，则称数列
b
n
是
a
n
的差数列，于是
b
1
b
2
b
n
=
a
2
a
< br>1
a
3
a
2
a
n
a
n
1
a
n
< br>
a
1
，
∴
a
n
a
1
b
k
1
n
1
k
．
∴对于
a
n
1
< br>a
n
f
n
型的递推公式，它的通项公式
为：
a
n
a
1
f
k
n
2
①
k
1
n
1
当
n
1
时，①式仍成立，∴①式即为
a
< br>n
的通项公式．
类型Ⅱ
：
b
n
1
b
n
g
n
对于
b
n
1
b
n
g
n
型
的通项公式，
它的
通项公式为
b
n
b
1
g
1
g
2
g
n
<
/p>
1
．
n
1
例
1
已知数列
a
n
满足
a
1
1
,
a
n
3
a
n
1
n
<
/p>
2
．
3
n
1
（
1
）求
a
2
，
a
3
< br>；
（
2
）证明
< br>a
n
．
2
解：
（
1
）∵
，∴
，
1
页脚内容
；
（
2
）证明：由已知
故
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，
∴
．
评析：
（
1
）一般地，对于型如
a
n
1
< br>
a
n
f
n
的
递推公式，只要
f
1
f
2
行求和，则宜采用
“
累加法
”
求得通项公
式
a
n
a<
/p>
1
f
n
能进
f
k
；
k
< br>
1
n
1
（
2
）
一
般地，
对于型如
b
n
< br>
1
b
n
g
n
类的通项公式，
只要
g
1
g
2
则宜采用
“
累乘法
”
来求得其通项公式为
b
n
b
1
g
1
g
< br>2
g
n
1
．
2.
构造
等差
(
等比
)
数列法求解
类型Ⅲ：
a
n
1
< br>pa
n
q
（
p,
q
为常数）
当
p
1
时，数列
a
n
为等差数列；
当
q
< br>
0
，
p
0
时，数列
a
n
为等比数列．
我们主要求
p
1
时，利用递推公式求通项公式，构造出一个新的数列．
法一：
a
n
1
pa
< br>n
q
①
a
n
pa
n
1
q
n
2
②
①
-
②得
<
/p>
a
n
1
a
n
p
a
n
a
n
1
，
即
g
n<
/p>
能进行求积，
a
n
1
a
n
p
，
a
n
a
n
1
a
n
1
< br>
a
n
(
a
2
a
1
)
p
n
1
转化为
类型Ⅰ，
∴
a<
/p>
n
1
a
n
构成等比数列
，
再利用
“
累加法
”
求
a
n
的通项公式．
< br>法二：设
a
n
1
p
(
a
n
)
，∴
q
．
1
p
即
a
n
1
< br>p
，∴
a
n
构成等比数列，
再利用
等比数列知识求
a
n
的通
项公式．
a
n
例
2
在
数列
a
n
中，若
a
1
1
,
a
n
1
2
a
n
3
n
1
且
< br>n
N
．
，则该数列的通项
a
n
=
分析：法一：
a
n
1
2
a
n
3
①
和
a
n
2
a
n
1
3
n
2
②，
2
页脚内容
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①
-
②得
<
/p>
a
n
1
a
n
2
a
n
a
n
1
，即
a
n
1
a
n
2
，
∴
a
n
1
a
n
构成等比数列．
a
n
a
n
1
法二：设
a
n
1
2
(
a
n
)
，∴
a
n
1
2
a
n
∴
3
．
即
a
n
< br>1
3
2
，∴
a
n
3
构成
等比数列．
a
n
3
解：
（法一）
a
2
2
a
1
3
5
，∴
a
2
a
1
4
．
a
n
1
2
a
n
< br>
3
，
a
n
2
a
n
1
3
（
n
2
< br>）
，
∴
a
n
1
a
n
2
a
n
a
n
1
，
< br>a
n
1
a
n
2
．
a
n
a
n
1
∴
a
n
1
< br>a
n
是以
4
为首项，
2
为公比的等比数列．
n
1
2
n
1
，
∴
a
n
1
< br>
a
n
4
2
∴
a
n
1
a
n
1
a
n
a
< br>n
a
n
1
a
2
a
1
=
2
n
1
2
n
2
2
< br>
a
1
=
2
n
2
3
，
n
1
∴
a
n
2
3
．
（法二）设
a
n
1
2
(
a
< br>n
)
，
∴
a
n
1
2
a
n
，又
a
n
1
2
a
n
3
，
∴
3
．
∴
a
n<
/p>
1
3
2
且
a
1
3
4
a
n
3
∴
a
n
3
是以
4
为首项，
2
为公比的等比数列
．
n
1
n
1
∴
a
n
3
4
< br>2
，
∴
a
n
2
3
．
评析：
（
1
）
型如
a
n
1
pa
n
< br>
q
型的递推公式，
当
p
1
时，
利用递推公式求数列的通项公式．
例
2
给出了两种方法，都是构造出一个新数列，平时我们主要使用法二（待定系数法）
< br>．
（
2
）
型如
a
n
1
pa
n
q
n
p
< br>1
型递推公式，
当
q
n
为常数
q
时，
它就是类型Ⅲ；
当
q
n
n
1
为
n
的函数时，在等式两边同时除以
p
，得
a
n
1
a
n
< br>q
n
a
q
n
n
1
，令
b
n
n
n
，
f
n
n
1
得
p
n
1
p
n
p
p<
/p>
p
b
n
1
b
n
f
n
，它即为模型Ⅰ，先求出
b
n
的通项公式，从而得到
a
n
p
n
b
n
．
3
页脚内容