数量关系—插板法的经典应用
怎样清除系统垃圾-
某学校四、五、六年级组织了一场文艺演出，共演
18
< br>个节目，如果
每个年级至少演出
4
个节目，
那么，
这三个年级演出节目数的所有不
同情况共有多少种？
【
解析】、我们先把
18
个节目每个年级分配
3
个节目，这样三个班
就都还差一个节目，总的还剩下
9
个节目，按照插板法来解答。
9
个
节目排成一排共计
8
个间隔。分别选取任意
2
个间隔就可以分成
3
份；故答案为
C8
取
2=28.
插板法就是在
n
个元素间的（
n-1
）个空中插
入
若干个（
b
）个板，
可以把
n
个元素分成（
b+1
）组的方法。
应用插板法必须满足三个条件：
（
1
）
这
n
个元素必须互不相异
< br>
（
2
）
所分成的每一组至少分得一个元素
(3)
分成的组别彼此相异
举个很普通的例子来说明
把
10
个相同的小球放入
3
个不同的箱子，每个箱子至少一个，问有
几种情况？
问题的题干满足
条件（
1
）（
2
），适用插板法，
c9 2=36
下面通过几道题目介绍下插板法的应用
===========================
=======================
=
a
凑元素插板法
（有些题目满足条件（
1
），不满足条件（
2
），
此时可适用此方法）
例
1 <
/p>
：
把
10
个相同
的小球放入
3
个不同的箱子，
问有几种
情况？
3
个箱子都可能取到空球，条件（
2
）不满足，此时如果在
3
个箱子
种各预先放入
1
个小球，则问题就等价于把<
/p>
13
个相同小球放入
3
< br>个不同箱子，每
个箱子至少一个，有几种情况？
显然就是
c12 2=66
-------
------------------------------------------
例
2
：
把
10
个相同小球放入
3
个不同箱子，
第一个箱子至少
1
个，
第二个箱子至少
3
个，第三个箱子可以放空球，有几种情况？
我们可以在第二个箱子先放入
10
个小球中的
2
个，小球剩
8
个放
3
个箱子，
然后在第三个箱子放
入
8
个小球之外的
1
< br>个小球，
则问题转
化为
把
9
个相同小球放
3
不同箱子，
每箱至少
1
个，
几种方法？
c8
2=28
===========
=======================================
b
添板插板法
例
3
：把
10
个相同小球放入
3
个不同的箱子，问有几种情况？
-o - o - o - o - o -
o - o - o - o - o -
o
表示
10
个小球
，
-
表
示空位
11
个空位中取
2
个加入
2
块板，
第一组和第三组可以取到空的情况，
第
2
组始终不能取空
此时
若在
第
11
个空位后加入第
12
块板，设取到该板时，第二组
取球为空
则每一组都可能取球为空
c12 2=66
---------------------------------------------
-----------
例
4
：有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面
两个
数字之和，直至不能再写为止，如
257
，
1459
等等，这类数共
有几个？
因为前
2
位
数字唯一对应了符合要求的一个数，
只要求出前
2
位有几
种情况即可，设前两位为
ab
显然
a+b<=9
,
且
a
不为
0
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -
-
1
代表
9<
/p>
个
1
，
-
代表
10
个
空位
我们可以在这
9
个空位中插入
2
个板，
分成
3
组，
第一组取到
a
个
1
，
第二组取到
b
个
1
，但此时第二组始终不能取空，若多添加第
10
个
空时，设取到该板时第二组取空，即
b=0
，所以一共有
c10 2=45
---------------------------
--------------------------------
例
5
：有一类自然数，从第四个数字开始，每个数
字都恰好是它前面
三个数字之和，直至不能再写为止，如
234
9
，
1427
等等，这类数共
有几个？
类似的，
某数的前三位为
abc
，
a+b+c<
=9,a
不为
0
1 -1- 1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -
-
-