第5讲 质数与合数-举一反三
边境牧羊犬的性格-
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/
1
第
5
讲
质数与合数
自然数中，除
1
和它本身外，没有其他约数的数就是质数，质数又叫做素数．
2
是最小的质数，也是
唯一的一个偶质数．一个数除
1
和它本身外，还有其他的约数，那么这个数就是合数．
1
既不是质数，也
不是合数，
全体整数可分为：
1
、质数和合数三类．
题
1
一个三位数，等于它的各位数字
之和的
12
倍，试写出所有这样的三位数。
通过设未知数，建立等式的办法，利用质数与合数的性质作为解题的突破口．
解
设这样的三
位数为
abc
,
则
100
a
10
b
c
12
(
a
b
c
),
c
8
a
因为
a
，
b
，
c
均为整数，且
b≤9，
所以
b=0
，
c=8a
又因为
1
a
9
,
0
< br>C
9
,
所以
a
1
,
c
8<
/p>
.
2
b
.
11
故所求的三位数是
108
．
只要正确利用质数与合数的性质，合理地选择代
数式便可使解题思路清晰准确，
读一题，练
< br>3
题，练就解题高手
1-1<
/p>
．两个质数的和是
40
，求这两个质数的
乘积最大是多少？
1-2
．
（“希望杯”邀请赛）若
a
，
< br>b
，
c
是
1998
的三个不同质因数且
，则 <
br>加上前后两个两位数的乘积，恰好等于原来的四位数，又知道原数的个位数字是 <
br>q
a
(b+c)4=____
．
1-3
．有一个四位数，把它从中间分成两半，得到前后两个两
位数，将前面的两位数末尾添上一个
O
，然后
5
，求这个四位数
4
的值是多少？
题
2
已知
p,q
都是质数，
以
x
为未知数的方程
Px
2
5
q
97
的根是
1
，
< br>则
40
P
101
根据方程的根为
1
，可知一
个质数与另一个质数的
5
倍为奇数，所以其中必有一个为偶质数
．
解
将
x-l
代入方程，得
因为
p
，
q
< br>均为质数，故
p
，
q
中必有一个为
2
．
若
q=2
，则
p=
87
，不合题意；
若
p=2
，则
q=19.
q<
/p>
4
中，得
40
2
101
19
4<
/p>
2003
.
将
P
2
,
q
19
代人
40
P
101
合理运用
2
这
一唯一偶质数的性质，可以迅速解答类似的问题．
读一题，练
3
题，练就解题高手
2-1
．如果正整数
p
，
q
都是质数，并且
7p+q
与
pq+ll
也都是质数，那么
p
，
q
的值分别为
< br>
．
2-2<
/p>
．若质数
m
，
n
满足
5
m
<
/p>
7
n
129<
/p>
,
则
m
十
n
的值是多少？
2
-3
．已知关于
x
的方程
(
a
1
< br>)
x
2
2
x
a
1
0
的根都是整数，那么符合条件的整数
a
有多
少个？
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2
题
3
求方程
1
x
1
1
的整数解
y
7
充分利用分解质因数的方法求未知数的值，
解
设
< br>x
7
k
1
,
y
7
k
2
(
k
1
,
k
2
是两个整数）
，则
1
1
1
7
k
1
7
k
2
< br>7
通分，整理，得
k
1
k
2
7
2
.
因为
7
2
49
< br>
1
49
7
7
(
1
)<
/p>
(
49
)
(
7
)
(
7
),
x
42
,
x
8
,
x
56
,
<
/p>
x
14
,
x
6
,
故方程的整数解为
或
或
或<
/p>
y
56
y
42
y
8
y
14
y
6
.
< br>
读一题，练
1
题，决出能力高下<
/p>
3-1.
小孩子将玻璃弹珠装进两个盒
子，每个大盒子装
12
颗，每个小盒子装
5
颗，若弹珠共有
99
颗，所用
盒子的个数大于
10
，则大盒子与小盒子各
有多少个？
题
4
求方程
7
x
4
y
100
的非负整数解
准确地表示出通解，再进行分析，可以完整地求出特征解．
<
/p>
,
可知
x
0
,
y
25
是方程的一个特解，
解
由方程
7
x
4
y<
/p>
100
因此
x
4
t
,
（
t
为整数）是方程的全解．
< br>y
25
7
t
4
t
0
,
25
,
由
得
0
t
7
25
7
t
0
,
从而
t=0,1,2
，
3
．
故方程的非负整数解为
巧妙地利用二元一次方程的解的不定性从通解中求出符合条件的结果，
<
/p>
读一题，练
3
题，冲刺奥数金牌
4-1
．
xy
表示一个十位数字为
x
，个位数字为
y
的两位数且
x
，
y
满足条件
x
<
/p>
y
5
x
,
求此两位数．
4-2
．求方程
2
x
5
y
26
的全部整数解．
4-3
．已知
a
，
b
，
c
是三个两两不同的奇质数，方程
(
b<
/p>
c
)
x
5
(
a
1
)
x
225
0
有两个相等的实数
根．
2<
/p>
2
2
x
0
,
x
4
,
x
8
,
x
12
,
或
或
或
y
25
y
18
y
11
y
4
.