另辟蹊径 解决二次函数中平行四边形存在性问题
梦见吊死人-
另辟蹊径
解决二次函数中平行四边形存在性问题
陕西省洋县教研室
柯贤华
以二次函数为载体的平行四边形存在性问题是近年来中考的热
点，
其图形复杂，
知识覆
盖面广，综合
性较强，对学生分析问题和解决问题的能力要求高．
对这类题，常规解法是先
画出平行四边形，再依据
“平行四边形的一组对边平行且相等”或
“平行四边形的对角线互
相平分”来解决．由于先要画出草图，若考虑不
周，很容易漏解．为此，笔者另辟蹊径，借
助探究平行四边形顶点坐标公式来解决这一类
题．
1
两个结论，解题的切入点
数学课标，
现行初中数学教材中没有线段的中点坐标公式，
也没有平行四边
形的顶点坐
标公式，我们可帮助学生来探究，这可作为解题的切入点。
< br>
1.1
线段中点坐标公式
平面直角坐标系中，点
A
坐标为
(
x
1
,
y
1
)
，点
B
坐标为
(
x
2
,
y
2
< br>)
，则线段
AB
的中点坐标为<
/p>
(
x
1
x
2
y
1
y
2
,
).
2
2
证明
：
如图
1<
/p>
，设
AB
中点
P
的坐标为
(
x
P
,
y
P
).
由
x
P
-x<
/p>
1
=x
2
-x<
/p>
P
，得
x
P
=
y
P
=
y
1
y
2
x
x
< br>2
y
1
y
2
，所以线段
AB
的中点坐标为
(
1
,
).
2
2
2
x
1
x
2
，同理
2
1.2
平行四边形顶点坐标公式
图
1
□
AB
CD
的顶点坐标分别为
A
(
x
A
,
y
A
)
、
B
(
x
B
,
y
B
)
、
C<
/p>
(
x
C
,
y
C
)
、
D
(
x
D
,
y
D
)
，
则：
x
A
+
x
C
=x
B
+
x
D
；<
/p>
y
A
+
y
C
=y
B
+
y
D
.
证明：
如图
2
，连接
AC
、
BD
，相交于点
E
．
∵点
E
为
AC
的中点，
∴
E
点坐标为
(
x
A
x
C
y
A
y
< br>C
,
).
2
< br>2
x
B
x
D
y
B
y
D
,
).
2
2
图
2 <
/p>
又∵点
E
为
BD
的中点，
∴
E
点坐标为
(
∴
x
A
+
x
C
=x
B
+
x<
/p>
D
；
y
A
+
y
C
=y
B
+
y
D
.
即平行四边形对角线两端点的横坐标、纵坐标之和分别相等．
图
3
2
一个基本事实，解题的预备知识
如图
3
，
已知不在同一直线上的三点
A
、
B
、
C
，
在平面内另找一个点
D
，
使以
A
、
B
、
C
、
D
为顶点的四边形是平行四边形．答案有三种：以
< br>AB
为对角线的
□
ACBD
1
，以
AC
为对角
线的
□
ABCD
2
，以
BC
为对角线的
□
ABD
3
C
．
3
两类存在性问题解题策略例析与反思
3.1
三个定点、一个动点，探究平行四边形的存在性问题
例
1
已知
抛物线
y=x
2
-
2
x+a
(
a
＜
0
）与
y
轴相交于点
A
，顶点为
M
.
直线
y=
1
x-a
分别
2
与
x
轴、
y
轴相交于
B
、
C
两点，并且
与直线
AM
相交于点
N
.
(
1
)
填空：试用含
a
的代数式分别表
示点
M
与
N
的
坐标，则
M
( ),
N
( )
；
1
(
2<
/p>
)
如图
4
，将△
NAC
沿
y
轴
翻折，若点
N
的对应点
N
′
恰好落在抛物线上，
AN
′
与
x
轴交于点
D
，连接
CD
，求
< br>a
的值和四边形
ADCN
的面积
；
(
3
)<
/p>
在抛物线
y=x
2
-
2
x+a
(
a
＜
0
）上是否存在一点
P
，使得以
P
、
A
、
C
、
N
为顶点的四边
形是平行四边形？若存在，求出点<
/p>
P
的坐标；若不存在，试说明理由
.
9
4
1
189
解：
(
1
)
M
(
1
,
a-
1
)
，
N
(
a
< br>,
-
a
)
；
(
2
)
a
=-
；
S
四边形
ADCN
=
；
4
3
3
16
4
1
(
3
)
由已知条件易得
A
(
< br>0
,
a
)
、
C
(
0
,
-a
)
、
N<
/p>
(
a
,
-
a
).
设
P
(
m
,
m
2
-
2
m
< br>+
a
).
3
< br>3
①当以
AC
为对角线时，由平
行四边形顶点坐标公式（解题时熟练推导出）
，得：
5
4
m
0
< br>0
a
m
2
3
,
∴
.
15
1
a
a
a
a
m
2
2
m
a<
/p>
8
3
∴
P
1
(
5
5
,
-
)
；
2
8
②当以
AN
为对角线时，得
:
4
5
0
a
0
m
m
3
2
(
不合题意，舍去
).
,
∴
a
1
a
a
m
2
<
/p>
2
m
a
a
15
8
3
图
4
③当以
CN
为对角线时，得
:
4
1
0
a
0
m
m
< br>
3
2
.
,
∴
a
<
/p>
1
a
a
m
2
2
m
a
a
3
8
3
∴
P<
/p>
2
(
-
1
7
,
).
2
8
1
7
5
5
,
-
)
和
P
2
(
-
,
)
，使得以
< br>P
、
A
、
C
、
N
为顶点的四边形
2
8
2
8
< br>∴在抛物线上存在点
P
1
(
是平行四边形
.
反思：
已知三个定点的坐标，
可设出抛物线上第四个顶点的坐标
，
运用平行四边形顶点
坐标公式列方程
（组）
求解
.
这种题型由于三个定点构
成的三条线段中哪条为对角线不清楚，
往往要以这三条线段分别为对角线分类，分三种情
况讨论
.
3.2
两个定点、两个动点，探究平行四边形存在性问题
例
2
如图
5
，在平面直角坐标系中，抛物线
A<
/p>
(
-
1
,
0
),
B
(
3
,
0
),
C
(
0
,
-
1
)
三点
< br>.
（
1
）求该抛物线的表达式；
（
2
）点
Q
在
y
轴上，点
P
在抛物线上，要使以点
Q
、
P
、
A
、
B
为
顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件点
P
的坐标
.
1
2
解
：
（
1
）易求抛物
线的表达式为
y=
x
2
x
1
；
3
3
(
2
)
由题意知点
Q
在
y
轴上，设点
Q
坐标为
(
0
,
t
)
；点
< br>P
在抛物线上，
1
2
设点
P
坐标为
(
m
,
m
2
m
< br>1
).
3
3
图
5 <
/p>
尽管点
Q
在
y<
/p>
轴上，也是个动点，但可理解成一个定点，这样就转化为三定一动了．
2