三角形与四边形类比探究题(中考专题)
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.
类比探究
解决类比探究问题的一般方法：
1<
/p>
、根据题设条件，结合各问条件，先解决第一问；
2
、用解决第一问的方法类比解决下一问，如果不能，两问综合进行分析，找
出
不能类比的原因和不变特征，依据不变的特征，探索新的方法。
类比探究：图形结构类似、问题类似、常含探究、类比等关键词。
< br>
类比探究解题方法和思路
1
、找特征（中点、特殊角、折叠等）
，找模型：相似
（母子型、
A
型、非<
/p>
A
型
、
X
型、非
X
型）
三线合一、面积、全等三角形等；
<
/p>
2
、借助几问之间的联系，寻找条件和思路。
3
、照搬上一问的方法思路，解决问题，照搬辅助线、照
搬全等、照搬相似等。
4
、找结构：
寻找不变的结构，利用不变结构的特征解决问题。
常见不变结构及方法：
①直角：作横平竖直的线，找全等或相似；
②中点：作倍长、通过全等转移边和角；
③平行：找相似、转比例。
5
、哪些是不变的，哪些是变化的。哪些条件没有用，如何进行转化，寻找能够
< br>
类比的方法和思路。
1
．如图
所示，在正方形上连接等腰直角三角形和正方形，无限重复同
一过程，第一个正方形的边
长为
1
，第一个正方形与第一个等腰直角三
角形的面积和为
S
1
，第二个正方
形与第二个等腰直角三角形的面积和为
S
2
，…，第
n
个正方形与第
n
个等腰直角三角形的面积和为
S
n
．
（
1
）计算
S
1
、
S
2
、
S
3
、
S
4
．
（
2
）总
结出
S
n
与
S
n
﹣
1
的关系
，并猜想出
S
1
+S
< br>2
+S
3
+S
< br>4
+…+S
n
与
n
的关系．
.
.
2
．
（淄博）分别以
▱
< br>ABCD
（∠
CDA≠90°
）
的三边
AB
，
CD
，
DA
为斜边作等腰直角三角形，
△
ABE
，
△
CDG
，
△
ADF
．
（
1
）如图
1
，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形外部时，连
接
GF
，
EF
．请判断
GF
与
EF
< br>的关系（只写结论，不需证明）
；
（
2
）如图
2
，当三个等腰直角三角形都在该平行四边形内部时，连接
GF
，
EF
，
（
1
）中结论
还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，说明理由
．
3
．将
两个用钢丝设计成的能够完全重合的直角三角形模型
ABC
和直
角三角形
DEF
按如图
所示的位置摆放
，使点
B
、
F
、
C
、
D
在同
一条直线上，且
AB
和
DE
、
EF
分别相交于点
P<
/p>
、
M
，
AC
和
DE
相交于点
N
．
（
1
）试判断线段
AB
和
DE
的位置关系，并说明理由；
（
2
）若
PD=AC
，线段
PE
和
BF
有什么数量关系，请说明你的理由．
4
．如图，四边形
ABCD
为正方形，
△
BEF
为等腰直角三角形
（∠
BFE=90°
，点
B
、
E
、
F
按逆时针排列）
，点
P
为
DE
的中点，连
PC
，
PF
（
1
）
如图①，
点
E
在
BC
上，
则线段
PC
、
PF
的数量关系为
________
，
位置关系为
_________
（不证明）
．
（
2
）如图②，将
△
BEF
绕点
B
顺时针旋转
a
（
O<
/p>
＜
a
＜
45°<
/p>
）
，则线段
PC
，
PF
有何数量关系
和位置关系？请写
出你的结论，并证明．
（
3
）
如图③，
△
AEF<
/p>
为等腰直角三角形，
且∠
AEF=90°
，
△
AEF
绕
点
A
逆时针旋转过程中，
能使点
F
落在
BC
上，且<
/p>
AB
平分
EF
，
直接写出
AE
的值是
_________
．
5
．如图，在
△
ABC
中，
AB=AC
，点
E
为
BC
边上一动点（不与点
B
、
C
重合）
，过点
E
作
射线
EF
交
AC
于点
F
，使∠
AEF=
∠
B
．
（
< br>1
）判断∠
BAE
与∠
CEF
的大小关系，并说明理由；
.
.
（
2
）请你探索：当
△
AEF
为直角三角形时，求∠
AEF
与∠
< br>BAE
的数量关系．
6
．如图，
△
ABC
为等腰直角三角形，∠
BAC
=90°
，
BC=2
，
E
为
AB
上任意一动点，以<
/p>
CE
为斜边作等腰直角
△
CDE
，连接
AD
，
（
1
）当点
E
运动过程中∠
BCE
与∠
ACD
的关系是
________
．
（
2
）
AD
与
BC
有什么位置关系？说明理由．
（
3
）四边形
ABCD
的
面积是否有最大值？如果有，最大值是多少？如果没有，说明理由．
7
．直角
三角形
ABC
中，∠
C=90°
，
AC=BC
，点
P
是三角形
ABC
内一点，且满足
∠
PAB=
∠
PBC
=
∠
PCA
，
（
1
）判断
P
C
与
PB
的位置关系，并对你的判断加
以说明．
（
2
）
△
ABP
与
△
APC
的面积比．
8
．
（内江）如图，
△
ACD
< br>和
△
BCE
都是等腰直角三角形
，∠
ACD=
∠
BCE=90°
，
AE
交
CD
于点
F
，
BD
分别交
CE
、
AE<
/p>
于点
G
、
H
．试猜测线段
AE
和
BD
的数量和位置关系，并说明
理由．
.
.
9
．如图，在等腰
Rt
△
ABC
中，∠
ACB=90°
，
D
为
BC
的中点，
DE
⊥
AB
，垂足为
E
，过点
B
作
BF
∥
AC
交
DE
的延长线于点
F
，连接
CF
．
（
1
）证明：
△
BDF
是等腰直角三角形．
（
2
）猜想线段
AD
与
CF<
/p>
之间的关系并证明．
10
．
如图
，
等腰直角三角形
ABC
中，
AC=BC
，
将
△
ABC
绕斜边
AB
的中点
O
旋转至
△
DEF
的位置，
DF
交
AB
于点
P
，
DE
交
BC
于点
Q
．请猜想
OQ
与
OP
有怎样的数量关系？并证
明你的结论．
11
．<
/p>
（
1
）
如图甲，
直角三角形
ABC
中，
∠
C=90°
，
分别以
AB
，
AC
，
BC
为边作正方形
ABEF
< br>，
ACMN
，
BCGH
，面积分别设为
S
，
P
，
Q
，则
S<
/p>
，
P
，
Q
满足怎样的等量关系？（直接写出
结果，不需证明）
< br>
（
2
）
如图乙，
直角三角形
ABC
中，
∠
C=90°
，
分
别以
AB
，
AC
，
BC
为边作等边三角形
ABE
，
ACM
，
BCH
，面积分别设为
S
，
< br>P
，
Q
，则
S
，
P
，
Q
满足怎样的等量关系？并证明；
（
3
）
如图丙，
锐角三角形
ABC
中，
分别以
AC
，
BC
为边作任意
平行四边形
ACMN
，
BCGH
，
面积分别设为
P
，
Q
，
NM
和<
/p>
HG
的延长线相交于点
D
，连接
CD
，在
AB
外侧作平行四边形
ABEF
，使得
BE
，
AF
平行且等于
CD
，面积设为
S
，则
S
，
P
，
Q
满足怎样的等量关系？并
证明．
.
.
12
．如图所示，四边形
ABCD
为正方形，
△
BEF
为
等腰直角三角形（∠
BFE=90°
，点
B
、
E
、
F
按逆时针顺序）
，
P
< br>为
DE
的中点，连接
PC
、
PF
．
（
1
）
如图
（
1
）
，
E
点在边
BC
上，
则线段
PC
、
PF
的数量关系为
________
，
位置关系为
_________
（不需要证明）<
/p>
．
（
2
）如图（
2
）
，将<
/p>
△
BEF
绕
B<
/p>
点顺时针旋转
α°
（
0
＜
α
＜
45
）
，则线段
PC
< br>、
PF
有何数量关
系和位置关系
？请写出你的结论并证明．
（
3
）如图（
3
）
，<
/p>
E
点旋转到图中的位置，其它条件不变，完成图（
3
）
，则线段
PC
、
PF
有
何数量关系和位
置关系？直接写出你的结论，不需要证明．
13
．（富宁县）将两个全等的直角
三角形
ABC
和
DBE
如图①方式摆放，其中
∠
A
CB=
∠
DEB=90°
，
∠
A=
∠
D=30°
，
点
E
落在
AB
上，
DE
所在直
线交
AC
所在直线于点
F
．
（
1
< br>）求证：
AF+EF=DE
；
（
2
）若将图①中的直角三角形
ABC
绕点
B
顺时针
方向旋转，且∠
ABD=30°
，其它条件不
< br>变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出你在（
1
）中猜想的结论是否仍然成立；
（
3
）若将图①中的直角三角形
DBE
绕点
B
顺时针方向旋转，且∠
ABD=65
°
，其它条件不
变，如图③，你认为（
1
）中猜想的结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请
写出
AF
、
EF
< br>与
DE
之间的关系，并说明理由．
.
.
14
．
（
营口）如图
1
，
△
ABC
为等腰直角三角形，∠
ACB=90°
，
F
是
AC
边上的一个动点
（点
F
与
A
、
C
不重合）<
/p>
，以
CF
为一边在等腰直角三角形外作正
方形
CDEF
，连接
BF
、
AD
．
（
1
）①猜想图
1
中线段
BF
、
AD
的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；
②将图
1
中的正方形
CDEF
，绕着点
C
按顺时针（或逆时针）方向
旋转任意角度
α
，得到如
图
2
、图
3
的情形．图
2
中
BF
交
AC
于点
H
，交
AD
于点
O
，请你
判断①中得到的结论是
否仍然成立，并选取图
2
证明你的判断．
（
2
）将原题中的等腰直角三角形
ABC
改为直角
三角形
ABC
，∠
ACB=90°
，正方形
CDEF
改为矩形
CDEF
，如图
4
，且
AC=4
，
BC=3
，
CD=
，
CF=1
< br>，
BF
交
AC
< br>于点
H
，交
AD
于点
O
，连接
BD
、
AF
，求
BD
+AF
的值．
2
2
15<
/p>
．
（石家庄）在图
1
到图
3
中，点
O
< br>是正方形
ABCD
对角线
AC<
/p>
的中点，
△
MPN
为直角
三角形，∠
MPN=90°
．
正方形
ABCD
保持不动，
△
MPN
沿射线
AC
向右
平移，平移过程中
P
点始终在射线
AC
上，且保持
PM
垂直于直线
AB
于点
E
，
PN
垂直于直线
BC
于点
F
．
（
1
）如图
1
，当点
P
与点
O
重合
时，
OE
与
OF
的数量关系为
_________
；
（
2
）如图
2
，当
P<
/p>
在线段
OC
上时，猜想
< br>OE
与
OF
有怎样的数量关系与
位置关系？并对你
的猜想结果给予证明；
（
3
）如图
3
，当点
P
在
AC
< br>的延长线上时，
OE
与
OF
的数量关系为
_________
；位置
关系为
_________
．
.
.
16
．己知：正方形
ABCD
．
（
1
）如图①，点
E
、点
F
分别在边
AB
和
A
D
上，且
AE=AF
．此时，线段
BE
、
DF
的数量
关系和位置关系分别是什么？请直接写出结论．
（
2
）如图②，等腰直角三角形
FAE
绕直角顶点
A
顺时针旋转∠
α
，当
0°
＜
α
＜
90°
时
，连接
BE
、
DF
，此时（
1
）中的结论是否成立，如果成立，请证明；如果
不成立，请说明理由．
（
3
）如图③，等腰直角三角形
FAE
绕直角顶点<
/p>
A
顺时针旋转∠
α
，当
90°
＜
α
＜
180°
时，连
接
BD
、
DE
、
EF
、
FB
，得到四边形<
/p>
BDEF
，则顺次连接四边形
BDEF<
/p>
各边中点所组成的四
边形是什么特殊四边形？请直接写出结论．<
/p>
17
．
（葫
芦岛）已知：
△
ABC
和
△
ADE
都是等腰直角三角形，∠
< br>ABC=
∠
ADE=90°
，点
M
是
CE
的中
点，连接
BM
．
（
1
）如图①，点
D
在
AB
上，连接
DM
，并延长
DM
交
BC
于点
N
，可探究得出
< br>BD
与
BM
的数量关系为
_________
；
（
2
）如图②，点
D
不在
AB
上，
（
1
）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，
说明理由．
< br>
.
.
18
．
（南通）
如图
1
，
O
为正方形
ABCD
的中心，
分别延长<
/p>
OA
、
OD
到点
F
、
E
，
使
OF=2OA
，
OE=2OD
，连接
EF
．将
△
EOF
绕点
O
逆时针旋转
α
角得到
△
E
1
OF
1
（如图
2
）
．
（
1
）探究
AE
1
与
BF
1
的数量关系，并给予证明；
（
2
）当
α=30°
时，求证：
△
AOE
< br>1
为直角三角形．
19
．勾股定理是几何中的一个重要
定理．在我国古算书《周髀算经》中就有
“
若勾三，股四，
则弦五
”
的记载．如图
1
是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系
验证勾股定理．图
2
是由图
1
放入矩形内得到的，∠
BAC=90°
，
AB=3
，
AC=4
，点
D
，
E
< br>，
F
，
G
，
H
，
I
都
在矩形
KLMJ
的边上，则矩形
KLM
J
的面积为多少？
20
．
如图，
等腰
直角三角形
ABC
中，
∠
BAC=90°
，
D
、
E
分别为
AB
、<
/p>
AC
边上的点，
AD=AE
，
AF
⊥
BE
交
BC
于点
F
，过点
F
作
FG
⊥
CD
交
BE
的延长线于点
G
，交
AC
于点
M
．
<
/p>
（
1
）求证：
△
EGM
为等腰三角形；
（
2
）判断线段
BG
、
AF
与
FG
的数量关系并证明你的结论．
.