连续自然数的立方和
余年寄山水
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2021年02月07日 23:22
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一层秋雨一层凉-
连续自然数立方和的公式
“图形法“
早在公元
100
年前后，毕达哥拉斯学派的继承人尼科马霍斯，在他的著作《算术入门》
中就曾经用非
常简单的方法推导过这个公式。
奇数列
1
，
3
，
5
，
7
，
9
，
11
，
13
，…有一个性质，很容易验证：
请你自上而下仔细观察这一系列等式的左端：
第
1
个等式左端，结束于第
1
个奇数；
第
2
个等式左端，结束于第
3
个奇数；<
/p>
第
3
个等式左
端，结束于第
6
个奇数；
第
4
个等式左端，结束于第
10
个奇数；
第
< br>5
个等式左端，结束于第
15
个
奇数；
……
结果发现，这些奇数的序数
1
，
3
，
6
，
10
，
15
，…原来是
“三角形数”
，它的每一项等于从
1
开始的连
续自然数的和。第
1
项是
1
，第
2
项是
1
＋
2
＝
3
，第
< br>3
项是
1
＋
2
＋
3
＝
6
，第
4
项是
1
＋
2
＋
3<
/p>
＋
4
＝
10
，第
5
项是
1
＋
2
＋
3
＋
4
＋
5
＝
15
，……第
n
项是
1
＋
2
＋
3
＋…＋
n
＝
n(n
＋
1)/2
。即，第
n
个等式左端，结束于第
n(n
＋
1)/2
个奇
数。
然后，对上面这一系列等式的左右两端，分别求和：
右端是连续自然数的立方和
1
3
＋
2
3
＋
3
3
＋…＋
n
3
。
左端是连续奇数的和。我们
知道，
求连续奇数的和，求到第几个奇数，就等于第几个奇数的平方
。现在，
求到第
n(n
＋
1)/2
个奇数，当然等于
[n(n
＋
1)/2]
2
。
这样就得到求连续自然数立方和的公式：
这种方法思路清晰论证简单。尼科马霍斯之所以能够想到这个
方法，显然跟毕达哥拉斯学派对图形数的
宠爱有关。
图形数是自
然数的形象化，自然数是众数之源，自然数真是一个取之不尽用之不竭的宝藏
。