自然数平方和公式推导
新年好运乐陶陶-
我们把
S(n)
拆成数字排成的直角三角形：<
/p>
1
2 2
3 3 3
4 4 4 4
……
n n ……
n
这个三角形第一行数字的和为<
/p>
1
2
，第二行数字和为
< br>2
2
，……第
n
行数字和为
n
2
，
因此
S(n)
可以看作这个三角形里所有数字的和
接下来我们注意到三角形列上的数
字，左起第一列是
1,2,3,……,n，第二列是
2,3,4
,……n
这些列的数字和可以用等差数列的前
n
项和来算出，
但是它们共性不明显，
无法
加以利用
如果求的数字和是
1,2,3,……,n，1,2,3,……,n
-1
这样的，便可以像求
1+(1+2)+(1
+2+3)+(1+2+3+……n)一样算出结果，那么该怎样构造出这样的列数
字呢
注意上面
那个直角三角三角形空缺的部分，
将它补全成一个正方形的话，
是这样
的：
1 1 1 …… 1
2 2 2
…… 2
3 3 3 …… 3
4 4 4 …… 4
……
n n n ……
n
这个正方形所有的数字和为
n*(1+n)*n/2=n
3
/2+n<
/p>
2
/2
而我们补上的数字是哪些呢？
1 1 1 …… 1
(n
-1)
个的
1
2 2 …… 2
(n
-2)
个的
2
3 …… 3
(n
-3)
个的
3
………
n-1
又一个直角三角形，我们只需算出这个三角形的数字和
T(n)
，再用刚才算的正
方形数字和减去它
，便能得到要求的
S(n)
，即
S(n
)=n
3
/2+n
2
< br>/2-T(n)
。而这个三
角形的每一列数字和很好算，
第一列是
1
，
第二列是
1+2
，
第三列是
1+2+3
，
……，
最后
一列（第
n-1
列）是
1+2+3+…
…+n
-1
，根据等差数列前
n
项和公式，这个
2
三角形第
< br>n
列的数字和是
(1+n)*n/2=n
/2+n/2
，所以
T(n)
相当于
(1
2
/2+1/2)+(2<
/p>
2
/2+2/2)+(3
2
/2+3/2)……+[(n
-1)
2
/2+(n-1)/2]
将各个扩号内的第一项和第二项分别相加，得
T(n)=[1
2
+2
2
+3
2
+……+(n
-1)
2
]/2+(1+2+3+……+n
< br>-1)/2
=S(n-1)/2+(n-1)*n/4
=S(n-1)/2+n
2
/4-n/4
< br>也就是说，
S(n)=n
3
/2
+n
2
/2-T(n)
=n
3
/2+n
2
/2-S
(n-1)-n
2
/4+n/4
=n
3
/2+n
2
/4+n/4-S(n-
1)/2 ……①
< br>2
2
2
2
2
2
2
2
因
为
S(n)=1
+2
+3
+……+n
，
S(n-1)=1
+2
+3
+……+(n
-1)
可以看出，
S(n)=S(n-1)+n
2
，即
S(n-1)=S(n)-n<
/p>
2
，代入①式，得到
< br>3
2
2
S(n)=n
/2+n
/4+n/4-S(n)/2+n
/2
3S(n)/2=n
3
/2+3n
2
/4+n/4
3S(n)=n
3
+3n
2
/2+n/
2
S(n)=n
3
/3+3n
2
/6+n/6
上面这个式子就是我们熟悉
的
S(n)=n(n+1)(2n+1)/6
另外一种经典的方法