七年级上册从自然数到有理数
冰心代表诗集-
第一章
有理数
1.1
从自然数到有理数
1
、自然数、分数、小数的意义
自然数在计数、
测量、标号和排序中有着广泛的运用，但在生活中仅
有自然数是不够的，因
分配、测量等实际需要而产生了分数及小数
.
例题：下面关于第
17
届亚洲运动会的简介中用了很多自然数，请找出这些书，并说明它们<
/p>
哪些表示技术，哪些表示排序或标号
.
第
17
届亚洲运动会于
2014
年
9
月
19
日至
10
月
4
日在韩国仁川举行
.
从
此届亚运会开始，
亚运会的规模将缩减至
35
< br>个大项，其中包括
28
个奥运项目和
7
个非奥运项目
.
2
、自然数、分数、小数的运算
伴随着实际问题的比较，
便产生了数的运算，
数的运算是人们分析、
判断和解决实际问题的
重要手段
.
3
、具有相反意义的量
在日常生活和生产时间中，我们经常会遇到具有相反意义的量
.
如盈利、零上、收入、增加
等，与之意义相反的为亏损、零下、支出、减少等
.
例题：
（
1
）如果气温上升
< br>3
℃记做
+3
℃，那么下降
5
℃记做
-5
℃，
那么下列各量分别表示什
么？①
+5
℃
；②
-6
℃；③
0
℃
（
2
）如果
-10
元表示支出
10
元，那么
+30<
/p>
元表示
.
（
3
）在
一条东西向的跑道上，小亮先向东走了
8
米，记做
+8
米，又向西走了
10
米
，此时
他的位置可记做（
）
A.+2
米
B.-2
米
C.+18
米
D.-18
米
4
、正数和负数及其相关的概念
为了表示具有相反意义的量，我们把一种意义的量规定为正，用大于零的数，如
123,36
，
等来表示，这样的数叫做正数
.
把另一种与之意义相反的量规定为负，用
大于零的数前面放上负号“
-
”来表示，如
-123
，
-36
等，这样的数叫
做负数
.
0
既不是正数也不是负数
5
、有理数的相关概念
正整数、零和负整数统称为整数，如
1,2,0
，<
/p>
-1
，
-2
等<
/p>
正分数和负分数统称为分数
整数和分数统称为有理数
6
、有理数的分类
< br>
正整数
< br>
整数
零
负整数
按有理数的定义分类：
有理数
分数<
/p>
正分数
<
/p>
负分数
<
/p>
正整数
正有
理数
正分数
按正数、负数与零的关系分类：
有理数
零
负整数
负有理数
< br>
负分数
< br>
例题：把下列各数填在相应的横线上：
-6
，
0
，
2
，
3
，
11
1
3
，
25
，
3
，
.
1
3
5
4
正整数：
；负整数：
；
正分数：
；负分数：
；
正有理数：
；负有理数：
；
有理数：
.
题型练习：
< br>例题
1
：某商店以每件
60
元的价格出售两件上衣，其中一件赚了
25%
，另一件亏了
25%
，那
么这两件上
衣卖出后是盈利还是亏损？
例题
2
：观
察
-1
，
1
1
1
1
，
-3<
/p>
，
，
-5
，
，
-7
，
，
，
，
，…依次排列
2
4
6
8
的一列数，请接着写出后面三个数，第
15
个数，第
2014
个数，第
2015
个数
.
1.1
从自然数到有理数练习
1
、下列语句中，出现自然数表示排
序的是（
）
< br>A.
她家有
1
只小花猫
B.
奥运会中某国家得
了
10
枚奖牌
C.
这是他入学以来第
3
次取得满分
D.
一个直径为
2
米的球
2
、某商店在一次交易中同时卖出两种货物，每种货物的售价均为
1200
元，若按成本计算，
一种货物盈利
20%
，另一种货物亏本
20%
，则这次交易商店（
）
A.
赔
100
元
B.
赚
100
元
C.
赚
50
元
D.
不赔不赚
3
、下列说法正确的是（
）
A.
前进与后退是具有相反意义的量
B.
亏损
20
万元是具有相反意义的量
C.
收入<
/p>
80
元与后退
100
米是具有相反意义的量
D.
向南走
500
米与向北走
10
米是具有相反意义的量
4
、李白出生于公元
701
年，
我们记作
+701
年，
那么秦始皇出生
于公元前
259
年，
可记作
（
）
A.259
年
B.-960
年
C.-259
年
D.442
年
5
、如果火箭发射点火前
5
秒记作
-
5
秒，那么火箭发射点火后
10
秒应记
为（
）
A.-10
秒
B.-5
秒
C.+5
秒
D.+10
秒
6
、下列说法中，错误的是（
）
A.
整数一定是自然数
B.
自然数一定是整数
C.
自然数一定是非负整数
D.
自然数一定是有理数
7
、与盈利
-900
元是同一意义的量为（
）
A.
亏损
-900
元
B.
盈利
900
元
C.
亏损
+900
元
D.
不能确定
8
、在数
8
,
0
,
3
,
,
0
< br>.
01
,
0
.
3
中，属于非负整数的有（
）
A.2
个
B.3
个
C.4
个
D.5
个
9
、下列具有相反意义的量的是（
）
A.
向西
走
2
米与向南走
3
米
B.
胜
2
局与负
3
局
C.
气温升高
3
< br>℃与气温为
-3
℃
D.
盈利
3
万元与支出
3
万元
10
、如果高出海平面
20
米记作
+20
米，那么
-30
米表示（
）
A.
不足
30
米
B.
低于海平面
30
米
C.
高出海平面
30
米
D.
低于海平面
20
米
11
、向
东行驶
3km
记作
+3km
，则向西行驶
2km
记作（
）
A.+2km
B.-2km C.+3km D.-3km
12
、如图，
每筐杨梅以
5
千克
为基准，超过的千克数记为整数，不足的千克数记为负数，则
这
4
筐杨梅的总质量是（
）
A.19.7
千克
B.19.9
千克
C.20.1
千克
D.20.3
千克
13
、小亮在看报纸时，收集到以下信息：
（
1
）某地的国民生产总值位列全国第五；
（
2
）某城市有
1
6
条公共汽车路线；
（
3
）小刚乘
T32
次火车去
北京；
（
4
）小风在校运动会上获得跳远比赛第一名
.
其中用到自然数排序的有
.
14
、某工厂的
45
< br>号机器每小时加工
85
个零件，其中
45
与
85
分别表示什么？
15
、将分数<
/p>
5
4
3
用除法表
示为
.
7
16
、将
0.3
化成分数为
.
17
、搬进为
10cm
，高为
30cm
的圆
柱形水桶中装满了水，小明先将桶里的水倒满
2
个底面半
径为
3cm
，
高为<
/p>
6cm
的圆柱形杯子，
再把剩下的水倒入
长、
宽、
高分别为
50cm
，
30cm
和
20cm<
/p>
的长方体容器内，
长方体容器内的水的高度大约是
cm
（
π
取
3
，
容器的厚度不计）
.
18
、若用黑白两色涂料刷出如图
1
所示的装饰图案，
其中黑色部分的面积占总面积
的比用分
数可表示
.
19
、杰
杰爷爷病了，需要挂
100
毫升的药液，杰杰守候在旁边，观察
到点滴流量是每分钟
3.5
毫升，
输液
10
分钟后，吊瓶空出部分的容积是
5
0
毫升
（如图
2
）
，利用这些数据可计算
整个吊瓶的容积是
< br>
毫升
.
20
、如图所示，将若干个正三角形、正方形和圆按一定的规律从左向右排列，那么第
2014
个图形是
.
△△□□□△○○□□□△○○□□□△○○□……
21
、写出一个与“盈利
500
元”构成相反意义的量：
.
22
、在数
3
,
1
,
2
,
,
0
中，负有理数有
个
.
2
3<
/p>
23
、观察下列各数，找出规律并填空：
1
，
2
，
-3
，
-4
，
5
，
6
，
-7
，
-8
，
，
，
，
，
…，
< br>（第
50
个）
，
…，
（第
20
17
个）
，…
.
24
、如果收入
100
元记作
+100
元，那么支出
300
元记作
元
.
25
、
汽车在一条东西走向的高速公路上行驶，
如果向东行驶
10km
记作
+10km
，
那么向西行驶
15km
记作
km.
26
、下列各组中，哪些是具有相反意义的量？哪些不
是？
（
1
）
某山脉高出海平面
800
米，某盆地低于海平面
1200
米；
（
2
）汽车前进
80
米，汽
车下降
30
米；
（
3
）向南走
400
米，向西走
1250
米；
（
4
）某工厂今年增产
30%
，去年减产
11%.
27<
/p>
、七年级派出
12
名同学参加数学竞赛，
老师以
75
分为基准，把分数超过
75
分的部分记
作整数，不足的部分记为负数
.
评分记录如下：
+15
，
+20
，
-5
，
-4
，
-3
，
+4
，
+6
，
+2
，
+3
，
+5
，
+7
，
-8.
这
12
名同学
中，最高分和最低分各是多少？
28
、把下列各数填在相应的大括号
内：
6
，
4
22
，
-2
0
，
0
，
3.
2
，
+2
，
，
-2.03
7
7
正
数
{
…
}
非负数
{
…
}
整
数
{
…
}
负分数
{
…
}
有理数
{
…
}
29
、假日公司的西湖一日游价格如下：
A
种：成人每位
160
元，儿童每位<
/p>
40
元；
B<
/p>
种：
5
人以上团体，每位
100
元
.
现在有三对夫妇
各带
1
小孩，共
9
人，参加西湖一日游，最少要多少钱？
30
、王丽父亲上个月从工作单位取
得当月工资
2400
元，按照个人所得税法规定，每月的个
人收入超过
2000
元的部分要纳税，超过
部分少于或等于
500
元的，应按照
5
%
的税率征收个
人所得税，请你解答下面问题：
（
1
）王丽的父亲上个月应
缴纳个人所得税多少元？
（
2
）如果杨洁的父亲上个月缴纳个人所得税是
25
元，
那么王丽的父亲与杨洁的父亲上个月
哪个人的工资高？杨
洁的父亲上个月工资是多少元？
31
、观察下面一组数据，探求其规
律：
（
1
）
写出第
7
、第
8
、第
9
个数；
（
2
）第
2015
个数是什么？
（
3
）如果这一组数据无限排列下去，会与哪两个数越来越接近？
1
2
3
4
5
6
，
，
< br>
，
，
，
，…
.
2
3
4
5
6
7
1.2
数轴
1
、数轴
定义：规定了原点、单位长度和正方向的直线叫做数轴
.
画法：
1
、画直线；
2
、定原点；
3
、定方向；
4
、统一单位长度
2
、有理数与数轴上的点的关系
任何一个有理数都可以用数轴上的点表示，
表示正有理数的点都在原
点右侧，
表示负有理数
的点都在原点左侧，表示
0
的点就是原点。
例题：
在数轴上画出表示下列各数的点
. <
/p>
（
1
）
2
，
-3
，
-1.5<
/p>
，
3
1
，
0
；
（
2
）
-0.2
，
0.1
，
0.4
，
0.6
；
2
（
3
）
-300
，
0
，
100
，
500
，
< br>700
；
（
4
）
-50
，
-35
，
-25
，
-20
，
-5.
3
、相反数
概念：
如果两个数只有符号不同，
那么我们称其中一个数为另一
个数的相反数，
也称这两个
数互为相反数，注意：
0
的相反数是
0
。
两个互为相反数的数在数轴上的表示：在数轴上，表示互为相反数（<
/p>
0
除外）的两个点，位
于原点的两侧，并
且到原点的距离相等。
例题：
说出下列各数的相反数：
5
，
-10
，
-3.9
，
3
2011
，
，
0.
5
2012
题型练习
题型一、利用数轴上的点表示有理数
例题
1
：写出
-3.9
和
3.5
之间的所有整数，并把它们表示在数轴上
.
题型二、求数轴上两点之间的距离
例
题
2
：在数轴上表示数
2
的点与表示数
-5
的点之间的距离是（
）
A.-7 B.7 C.-3 D.3
题型三、相反数的应用
例题
3
：在数轴上，若某两点分别表示互为相反数的两个，
< br>并且这两点间的距离是
12.8
，
则
这两点所表示的数分别是
.
题型四、利用数轴解决实际问题
例题
4
：某人从
A
地向东走
10
米，
然后折回向西走
3
米，
又折回
向东走
6
米，
问此人在点
A
地哪个方向？距离
A
地多
远？
1.3
绝对值
1
、绝对值的概念
< br>我们把一个数在数轴上对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值
.
如图所示，
在数轴上表示
-5
的点到原点的距离是
5
个单位长度，
那就是说
-5
的绝对值是
5
，
记做
5
5
；同理
3
3
；
3
3
；
5
5
.
表示
0
的点到原点的距离是
0
，所以
0
0
.
一个数
a
的绝对值表
示为
a
.
例题：
利用数轴求下列各数的绝对值；
2
5
5
2
，
0
，
5
，
，
3
2
3
2
、求绝对值的法则
一个正数的绝对值是它本身；
一个负数的绝对值是它的相反数；
0
的绝对值是
0.
互为相反数
的两个数的绝对值相等
.
求一个数的
绝对值，首先要判断这个数是正数、负数还是
0.
如果绝对值号
里面的数是非负
数，
那么这个数的绝对值就是它的本身；
如果绝对值号里面的数是负数，
那么这个数的绝对
a
(
a
0
)
值就
是它的相反数
.
用式子表示为
a
0
(
a
0
)
.
a
< br>(
a
0
)
注意：任何数的绝对值大于或等于
0.
例题：
求下列各数的绝对值
：
题型练习
题型一、与绝对值有关的计算
7
8
，
，
-6.18
，
0.
3
21
例题
1
：
（
1
）
16
2
；
（
2
）
30
15
；
（
3
）
1
2
1
3
5
题型二、由绝对值求数
例题
2
：
（
1
）求绝对值等于
5
的数；
（
2
）已知
x
28
<
/p>
0
，求
x
20
的值
.
题型三、绝对值的非负性的应用
<
/p>
例题
3
：已知
a
5
b
1
0
，求
3
a
2
b
的值
.
题型四、绝对值在实际问题中的应用
例题
4
：某企业生产瓶装食用调和油，根据质量要求，净含量（
不含包装）可以有
0.0021L
的误差，
现从中抽取
6
瓶进行检验，
超过规
定净含量的记做正数，
不足规定净含量的记做负
数，检查记录如
下：
1
+0.0018
请用绝对值的只是说明：
（
1
）哪几瓶是符合要求的？（即在允许的误差
范围内）
（
2
）哪一瓶的净含量最接近规定的净含量？
2
-0.0023
3
+0.0025
4
-0.0015
5
+0.0012
6
+0.0010
1.2
数轴练习
1
、下列选项中，表示数轴的是（
）
2
、在数轴上，原点及原点右侧的点所表示的数是（
）
A.
正数
B.
负数
C.
非负数
D.
非正数
3
、下列四个数中，在
-2
与
0
之间的数是（
）
A.1 B.-1
C.-3 D.3
4
、下列各组数中，互为相反数的是（
）
A.2
和
-2 B.-2<
/p>
和
1
2
C.-2
和
1
2
D.
1
2
和
2
5
、数轴上的点
A
到表示
-2
的点的距离是
2
，那么点
A
表示的数有（
）
A.4
个
B.3
个
C.2
个
D.1
个
6
、
-
（
-5
）
等于（
）
A.5 B.-5
C.
1
5
D.
1
5
7
、下列各组数中，互为相反数的是（
）
A.-
（
+7
）和
+
（
-7
）
B.+
（
1
2
）与
-
（
+0.5
）
C.+
（
-0.01
）与
-
（
1
100
）
8
、如图，在数轴上点
M
表示的数可能是（
）
A.1.5 B.-1.5 C.-2.4
D.2.4
9
< br>、在
2
，
-2
< br>，
8
，
6
这四个数中，互为相反数的是（
）
A.2
与
-2
B.2
与
8
C.-2
与
6
D.6
与
8
1
1
4
4
和
5
D.
1
0
、如图，数轴上有
ABCD
四个点，
其中表示互为相反数的点是（
）
A.
点
A
与点
D B.
点
A
与点
C C.
点
B
与点
D D.
点
B
与点
C
11
、如
图，在数轴上表示到原点的距离为
3
个单位长度的点是
.
12
、（
1
）一个数的
相反数是
2
，则这个数是
；
（
2
）
-3a
的相反数是
.
13
、在数轴上离原点最近的负整数是
，离原点最近的正整数是
.
14
、若数轴上表示互为相反数的两点之间的距离是
16
，则这两个数是
.
15
、
1
3
2
的相反数为
；
-3
的相反数是
.
3
16
、在数轴上与
-2
相距
6
个单位长度的点表示的数是
.
17
、在
数
轴
原
点
右
侧
，
且
与
表
示
-1
的
点
的
距
离
为
2
个
单
位
长
度
的
点
所
表
示
的
数
< br>是
.
18
、在数轴上标出表示下列各数的点：
0
，
1
19
、画
出数轴，并用数轴上的点表示下列各数：
-3
，
1
3
，
-2
，
1
，
+0.25
，
1
< br>4
4
1
3
，
0
，
，
2.
2
2
1.3
绝对值练习
1
、
2
的绝对值是（
）
3
A.
3
2
3
< br>2
B.
C.
D.
2
3
2
3
2
、下列
各数中，绝对值最大的是（
）
A.0 B.5 C.0.7 D.
< br>
3
、下列等式中正确的是（
）
A.
<
/p>
3
3
B.
13
13
C.
3
3
D.
8
8
4
、下列各数中，绝对值不等于
5
的是（
）
A.5 B.-5
C.
5
D.
1
2
1
5
5
、如果
a
a
，那么
a
必须满
足的条件是（
）
A.
a
0
B.
a
0
C.
a
0
D.
a
0
6
、已知
a
为
有理数，则下列四个数中一定为非负数的是（
）
A.
a
B.
a
C.
a
D.
a
7
、绝对值等于其本身的数是（
）
A.
正数
B.
正数或零
C.
零
D.
负数或零
8
、下列有理数中：
-5
，
0
，
3
，
2
，
-
（
-1
）
< br>，负数有（
）
A.1
个
B.2
个
C.3
个
D.4
个
9
、
-5
的绝对值是（
）
A.-5 B.5
C.
1
1
D.
5
5
1
0
、检验
4
个工件，
< br>其中超过标准质量的克数记做正数，
不足标准质量的克数记做负数，
从
轻重的角度看，下列最接近标准的工件是（
）
A.-2 B.-3
C.3 D.5
11
、
1
的绝对值的相反数是（
）
2
A.<
/p>
1
1
B.
C.2 D.-2
2
2
12
、一个数的相反
数是
1
，这个数的绝对值是
.
2
13
、绝对值小于
3
的负整数有
个
.
14
、绝对值最小的数是
，绝对值最小的负整数是
.
15
、
-2
的绝对值是
.
16
、绝对值等于
3
的数是
.
17
、已知一个数的绝对值是
4
，则这个数是
.
18
、写出下列各数的绝对值：
6
，
-8
，
-3.9
，
5
< br>，
10
，
0
< br>2
19
、计算：
3
4
< br>
；
.
4
5
20
、计算：
（
1
）
5
4
6
；
（
2
）
1
1
1
2
3
4
21
、一
天上午，
出租车司机小王在东西走向的路上运营，如果规定向东为正，向西为负，出