求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法
流浪犬-
求二元一次方程与多元一次方程组的自然数解的方法，与此相关或涉及整数分拆的数论问题．
补充说明：对于
不定方程的解法，本讲主要利用同余的性质来求解，对于同余性质读者可参考《思维
导引
详解》五年级
[
第
15
讲
余数问题
].
解不定方程的
4
个步骤：①判断是否有解；②化简方程；③求特解；④求通解．
本讲讲解顺序：③
包括
1
、
2
< br>、
3
题
④
②
①
包括
4
、
5
题
③
包括<
/p>
6
、
7
题，其中
③④步
骤中加入百鸡问题．
复杂不定方程：⑧、⑨、⑩依次为三元不定方程、较复杂不定方程、复杂不定方程．
整数分拆问题：
11
、
12
、
13
、
14
、
15
．
1
．在两位数中，能被其各位数字之和整除，而且除得的商恰好是
4
的数有多少个
?
【分析与解】
设这个两位数为
ab
，则数字和为
a
b
，这个数可以表达为
10
a
b
，有
10
a
b
< br>
a
b
4
即
10
a
b
4<
/p>
a
4
b
，亦即
b
2
a
．
注意到
a
和
b
都是
0
到
9
的整数，且
a
不能为
0
，因此
a
只能为
1
、
2
、
3
或
4
，相应地
b
的取值为
2
、
4
、
6
、
8
．
综上
分析，满足题目条件的两位数共有
4
个，它们是
12
、
24
、
36
和
48
．
2
．设
A
和
B
都是自然数，并且满足
A
B
17
,
那
么
A+B
等于多少
?
11
3
33
【分析与解】
将等式两边通分，有
3A+llB=17,
显然有
B=l<
/p>
，
A=2
时满足，此时
< br>A+B=2+1=3
．
3
．
甲级铅笔
7
分钱一支，
乙级铅笔
3
分钱一支．
张明
用
5
角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少
< br>
支
?
【分析与解】
设购买甲级铅笔
x
< br>支，乙级铅笔
y
支．
有
7
x
+3
y
=50
，这个不定方程的解法有多种，在这里我们推荐下面这种利用余数的性质来求解的
方法
：
将系数与常数对
3
取模
(
系数
7
，
3
中，
3
最小
)
：
得
x
=2(mod 3)
，所以
x
可以取
2
，此时
y
取
12
；
x
还可以取
2+3
=5
，此时
y
取
5
；
< br>x
2
x
5
即
、
,
对应
x
y
为
14
、
10
y
12
y
5
所以张明用
5
角钱恰
好可以买这两种不同的铅笔共
14
支或
10
支．
4
．
有纸币
6
0
张，
其中
1
分、
l
角、
1
元和
10
元各有若干张．
问这些纸币的
总面值是否能够恰好是
100
元
?
【分析与解】
设
1
分、
1
角、
1
元和
10
元纸币分别有
a
张、
b
张、
c
张和
d
张，
列方程如下：
a
b
c
d
60
1
由
<
/p>
a
10
b
100
c
1000
d
10
000
2
(2)(1)
得
9
b
99
< br>c
999
d
< br>
9940
③
注意到③式左边是
9
的倍数，而右边不是
9
的倍数，因此无整数解，即这些
纸币的总面值不能恰好为
100
元．
5.
将
一根长为
374
厘米的合金铝管截成若干根
36
厘米和
24
厘米两种型号的短
管，加工损耗忽略不
计．问：剩余部分的管子最少是多少厘米
?
【分析与解】
24
厘米与
36
厘米
都是
12
的倍数，所以截成若干根这两种型号的短管，截去的总
长度
必是
12
的倍数，但
374
被
12
除余
2
，所以截完以后必有剩余．剩余管料长不小于
2
厘米．
另一方面，374=27×12+4×12+2，而
36÷12
=3
，24÷12=2，有
3×9+2×
2=31
．即可截成
9
根
36
厘米
的短管与
2
根
24
厘米的短管，剩余
< br>2
厘米．
因此剩余部分的管子最少是
2
厘米．
< br>
6
．某单位的职工到郊外植树，其中有男职工，也有女职工，并且有寺的职工各带一个孩子参加．男职
工每人种
13
棵树，女职工每人种
10
棵树，每个孩子种
6
棵
树，他们一共种了
216
棵树．那么其中有多
< br>少名男职工
?
【分析与解】
设男职工
x
人，孩子
y
人，则女职工
3
y
-
x
人
(
注意，为何设孩子数为
y
人，而不是设女
职工为
y
人
)
，
那么有
13
x
10
3
y
x
<
/p>
6
y
=216
，化简为
3
x
36
y
=216
，即
x
12
y
=72
．
有
<
/p>
x
12
x
24
x
36
x
48
x
60
.
y
5
y
4
y
3<
/p>
y
2
y
1
但是，女职工人数为
3
y
x
必
须是自然数，所以只有
那么男职工数只能为
< br>12
名
x
12
时，
3
y
x
3
满足．
y
5
7
．一居民要装修房屋，买来长
0.7
米和
O.8
米的两种木条各若干根．如果从这些木条中取出一些接
起来，可以得到许多种长度的木条
，例如：
O.7+O.7=1.4
米，
0.7+0.8=1.5
米．那么在
3.6
米、
3.8
米、
3.4
米、
3.9
米、
3.7<
/p>
米这
5
种长度中，哪种是不可能通过这些
木条的恰当拼接而实现的
?
【分析与解】
设
0.7
米，
0.8
米两种木条分别
x
，
y
根，则
0.7
< br>x
+0.8
y
=3.4
3.6
，…
即
7
x
+8<
/p>
y
=34
，
36
，
37
，
38
，
39
将系数，常数对
7
取模，有
y
≡
6
，
l
，
2
，
3
，
4(mod 7)
，于是
y
最小分别取
6,1,
2
，
3
，
4
．
但是当
y
取
6
时，8×6=4
8
超过
34
，
x
无法取值．
所以
< br>3.4
米是不可能通过这些木条的恰当拼接而实现的．
8.
小
萌在邮局寄了
3
种信，
平信每封
8
分，
航空信每封
1
角，
挂号信每封角，
她共用了
1
元
2
角
2
分．
那
么小萌寄的这
3
种信的总和最少是多少封
?
【分析与解】显然，为了使
3
种信的总和最少，那么小萌应该尽量寄最贵的挂号信，然后是航空信，最
后才是平信．但是挂号信、航空信的邮费都是整数角不会产生几分．
所以，
2
分，
10
n
+2
< br>分应该为平信的邮费，
n
最小取
3
，才是
8
的倍数，所以平信至少要寄
4
封，
此时剩下的邮费为
122-32=90
，所以再寄
4
< br>封挂号信，航空信
1
封即可．
于是，小萌寄的这
3
种信的总和最少是
4+1+4=9
封．
9.
有三堆砝码，
第一堆中每个砝码重
3
克，
第二堆中每个砝码重
5
克，
第三堆中每个砝码重
7
克．
现
在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为
130
克．那么共需要多少个砝码
?
其中
3
克、
5
克和
7
克
的砝码各有几个
?
【分析与解】
为了使选取的砝码最少，应尽可能的取
7
克的砝码．130÷7：
18
…
…
4
，所以
3
克、
5
克的砝码应组合为
4
克，或
4+7
k
克重．<
/p>