在雨中行走速度与淋雨量的关系
湖南二本学校-
在雨中被淋雨量与行进速度的关系探究
鲁妙然
提要：
本文通过建立模型，
简要分析了在雨中被淋雨量与行进速度的关系，
< br>希望对生活有所
帮助。
关键词：小尺度，雨滴流密度面积分，对时间函数
正文：
1.
引言
生
活中我们经常遇到这样的情况：
外面在下雨，
我们没带伞但又必
须冒雨经过一段路程，
这就让我产生了一个疑问：
在雨中究竟是
跑步淋到的雨少还是走路淋到的雨少？对于同一段
路程，
跑步花
的时间短，
但单位时间内淋的雨量可能更多。
本文试对该问题做
一个相对具体
的分析。
2.
建立流密度场模型
首先我们要建立一个模型，实际生活中由于风受地形，温度，
气压影响较大，
情况很复
杂，所以本文只讨论在一块较为平坦的区域，
行进路线为直线，且区域内没有剧烈气温、气
压变化的情况，并且降雨量
同一时刻在所选区域内处处相同。一般冒雨出行距离不会太远，
大约在几百米左右，
这个距离小于小尺度天气系统最低尺度，
所以可认为在该区域内不同
地
点同一时刻风向一致
（当然若正好处在天气系统边界上就可能
会不一致，
但所选区域尺度极
小，所以恰好处在天气系统边界上
概率不大）
。
我们定义“雨滴流密度
”
：即在空间中某点附近单位时间内通过垂直于该处雨滴运动方
向
的
面
积<
/p>
微
元
的
某
一
指
定
尺
寸
的
雨
滴
数
目
与
面
积
的
比
值
，
用
字
母
j<
/p>
表
示
，
有
nds
j
v
n
v
，其中
v
是在该处附近雨滴的速度，
n
< br>是该处附近雨滴的数密度。
（这个定
ds
义参照电流密度）
。需注意的是同一位置同一时刻的
n
是雨滴直径的函数，及不同大小的雨
滴数密度是不同的，
下面的分析中我们只讨论某一确定大小雨滴
（认为尺寸与之差异微小的
的雨滴看作尺寸与之相同）
的情况，
因
为不同大小的雨滴对该问题的情况是相同的。
所有尺
寸雨滴的总
淋雨点数
N
乘以每个水滴的含水量求和（
N
V
(
V
)
）即得
总淋雨量。后面
的讨论中主要是对水滴的水平速度做分析，
而不
同尺寸雨滴水平分速度差异并不大，
因为一
般的雨滴直径最大不
超过
5mm
，所以均认为等于水平风速，所以只需讨论一种尺寸
的雨滴
行为，就可以代表全部了。下文中讨论的均是同一尺寸雨滴的情况，所以之后的讨
论中，
n
仅是空间与时间的函数。当雨足够大时可认为
j
在空间和时间上是连续的。
3.
流密度场的面积分与化简
当人静止时，雨滴流密度对人
体包络面内表面
（法向量只向内）的面积分，
即是某时刻
附近单位时间内落到人身上的雨点数，
需注意的是雨点不可能从人体表
面内部落向外部，
所
以上述积分中<
/p>
j
ds
小于零的部分要舍去（归零）
，即不是对整个包络面积分，而是对雨滴从
外落向内的那部分面做积
分，令这部分面为
A
，
A
1
,
A
2
< br>,
A
3
为其在三个坐标平面上的
投影。
则总积分写作：
j
ds
j
x
dydz
j
y
dzdx
j
z
dxdy
nv<
/p>
x
dydz
nv
y
dzdx
nv
z
dxdy
A
A
A
< br>A
A
1
2
3
其中
n
,
v
,
v
,
v<
/p>
均是
x,y,z,t
的函数，当你在雨中
行进时（不失一般性，令行进方向即
x
方
x
y
z
向，所以速度为
u
，向
x
轴正向为正）
，
v
x
变为
v
x
u
，相应的积分面
A
1
也变
化成使
(
v
x
u
)
dydz
恒正的积分面了。则积分变为：
j
ds
n
(
v
x
u
)
dydz
n
v
y
dzdx
nv
z
dxdy
A
A
A
A
1
2
3
在人体这个尺度上，某一时刻人体表面处
u
,
< br>n
,
v
,
v
,
v
均是定值，
（不随
x,y,z
变）
，
x
y
z
故可提到积
分号外，也可看出这种情况下的
A
1
，
A
2
，
A
3
均是连续的，且就是人体在三个
坐标平面
上的投影面。所以上述积分进一步化为：
< br>
j
ds
< br>
n
[(
v
x
u
)
S1
+
v
y
S
2
+
v
z
S3
]
A
其中
S1,S2,S3
表人体在三个坐标平
面上的投影面积，大小（令
|
S1
|,
|
S2
|,|
S3
|=S1,S2,S3
）
确
定
但
符
号
由
其
前
面
的
速
度
分
量
< br>而
定
，
保
证
二
者
乘
积
为
正
（
如
若
(
v
u
)
<0
，
则
x
S1
=-|
S1|=
-S1
）而
u
,n
,
v
,
v
,
v
均是指这一时刻，人所在位置附
近某点
u,n
,
v
< br>,
v
,
v
的
x
y
z
x
y
z
值（由前述，认为其附近所有点<
/p>
u
,n,
v
,
v
,
v
值相同
）
。所以积分又可写作：
x
y
z
j
ds
n
[|
(
v
x
u
)
|
S1
+|
v
y
|S2
+|
v
z
|S3]
< br>A
4.
流量对时间积分
L
令
j
ds
=
I
，设所研究路程长
L
，
则经这段路程耗时
t
0
，其中
u
是人行进的平均
u
A
速度。
则经过这段路淋的总雨滴量：
t
0
t
0
N
=
Idt
=
0
0
0
n
[(
v
u
)
S1
+
v
< br>S2
+
v
S3
< br>]
dt
（
*
）
x
y
z
或
t
0
t
0
N
=
Idt
=
0
n
< br>[|
(
v
u
)
|
S1
+|
v
|S2 +|
v
|S3]
dt
（
**
）
<
/p>
y
x
z
一切的问
题归结为研究
N
与
u
< br>的关系。
5.
模型中各变量分析
到现在为止，
还没用到建立模型时限定的条件。
当没
有这些限定条件时，
u,n
,
v
,
v
,
v
x
y
z
会随着不同时刻
和人所在的位置发生改变。
这是最一般的情况，
但这样一来将使
积分变的无
法计算（因为不知道具体环境，
n,
v
,
v
,
v
与
x
，
y
，
z
，<
/p>
t
的函数关系是未知的，也就将
x
y
z
导致不同的结果）
。
所以必须对模型做一些限制才能继续讨论。现在模型限制
下，我们做进一步讨论。
首先，在限制之下，在同一高度处，
n
仅是时间
t
的函数，与地点无关，且由于下落到
人体高度后雨滴的竖直速度基本恒定，所以在人体高
度范围内，
n
也不随
z
做变化，所以
n
仅是
t
的函数。
再来考虑
v
,
v
,
v<
/p>
，
一般可认为雨滴横向速度等于风的横向速度，
< br>因为风速仅是时间
x
y
z
函数（所研究尺度内）
，所以
v
,
v
也仅是时间函数。而对于一般的不是很剧烈的的
天气系
x
y
统竖直方向的风速是很小的
（远小于水平方向）
，所以可认为雨滴竖直方向受重力和空气阻
力平衡，所以保持匀速，所以
v
是个常数（对于给定尺寸的雨滴
）
，由生活经验来看，即使
z
不是常数
，也仅与时间有关。而对于
u
，可以由人控制，为讨论方便，也
为本文结果更加有
可操作性，我们令
u
在运动过程中保持不变。
在如上限制下只要能获得
n
，
v
,
v
,
v
，利用计算机软件计算
（
**
）积分即可得某一
x
y
z
u
对应的
N
的大小，再将所有尺寸雨滴的
N
乘以每个水滴的含水量求和（
即得总淋雨量。
为直观说明，我们可以作图如下：
t
0
N
V
(
V
)
）
积分变形做：
数。
则有图：
0
[|
n
(
v
u
)
S1|
+|
n
v
S2|
+|
n
v
S
3|]
dt
.
< br>n
，
v
,
v
,
v
均是
t
的函
x
x
y
z
y
z