二元函数的极值最值
塔里木河简谱-
4
、二元函数的极值、最值
1
0
极值定义
P208
f
x
、<
/p>
y
f
x
f
x
、
y
f
x
0
、
y
0
f
x
0
、
y
0
为极大值
0
0
0
0
、
y
f
x
f
x
、
y
在
x
0
、
y
< br>0
、
y
为极小值
f
x
、
y
0
<
/p>
有极限值
f
x
、
y
0
x
0
0
y
0
< br>0
驻点
极值点，需判别
< br>
x
0
、
y
0
A
、
f
xy
<
/p>
x
0
、
y
0
B
、
f
yy
x
0
< br>、
y
0
C
设
f
x
x
B
2
AC
0
0
f
x
、
y
非极值
不定
A <
0
< 0
> 0
=0
A > 0
极大值
极小值
例
1
、
求
z
x
3
y
3
3
x
y
< br>的极值
< br>3
x
2
3
y
，
f
y
6
x
，
3
y
2
3
x
，
f
xx
解：
f
x
< br>
3
，
f
y
y
6
y
f
xy
0
f
x
y
0
3
x
2
3
y
0
令
2
y
4
y
0
f
0
y
< br>
1
3
y
3
x
0
y
得驻点
0
,
0
，
1
,
1
2
在
< br>
0
,
0
，
B
2
AC
0<
/p>
,
0
3
0
9
0
∴
f
0
,
0
非极值
1
,
1
，
B
< br>2
AC
1
,
1
3
<
/p>
36
0
2
∴
1
,
1
为
极值点
又
A
1
,
1
< br>6
0
∴
f
1
,
1
1
为极小值
例
2
、求
z<
/p>
x
2
y
5
x
y
在闭区域
D
：
x
0
，
y
< br>0
，
x
y
4
的最大，最小值。
x
y
10
3
x
2
y
，
f
y
x
2
5
< br>x
2
y
解：
f
x
x
<
/p>
xy
10<
/p>
3
x
2
y
0
令
2
（在
D
内）
x
5
x
2
y
0
y
< br>
5
2
5
4
5
5
5
5
625
在
D
的内部函数只有一个驻点
,
，
< br>f
,
2
4
2
4
64
<
/p>
在边界
x<
/p>
0
，
f
0
在
y
0
，
f
0
在
x
< br>
y
4
，
z
x
2
4
x
5
x
4
x
x
2
4
x
4
x
2
x
3
<
/p>
dz
8
8
4
8
x
3
x
2
0
得：
x
，即
x
<
/p>
，
y
为驻点<
/p>
3
dx
3
3
8
4
256
625
256
比较
，
，
z
z
z
0
z
,
< br>
3
3
27
64
27
625
，最小值
z
0
< br>64
在实际问题中要求最大，最小值往往带有附加条件，即对函数
的自变量除了限制在函数的定义域内外，还有其他的附加条件，这
些条件由函数
的各自变量之间的一些方程来表示。
得最大
值
z
例
3<
/p>
、
求原点到曲线
x
,
y
0
的最大
距离
此题即在条件
x
,
y
0
下求
z
x
2
y
2
的最小值问题
2
0
条件极值、拉格朗日乘数法
在实际问题中可根据题意来确定最值而不需判别
求在条件
x<
/p>
,
y
0
下
,
z
f
x
,
y
的极值
令
< br>F
f
x
,
y
x
,<
/p>
y
称
f
x
,
y
为目标函数
,
为拉格朗日常数
0
F<
/p>
x
0
解得的
x
,
y
为可能的极值点
F
y
F
0
例
1
、求曲面
4z
3
x
2
2x
y
3y
2
到平
面
x
y
<
/p>
4z
1
的最短
距离
解法一、曲面上任一点（
x
，
y
，
z
）到平面的距离
d
∴
设
F
<
/p>
x
y
4z
1
18
1
x
y
4z
1
2
< br>
3x
2
2xy
3y
2
4z
2
F
x
x
<
/p>
y
4z
1
6x
2y
0
F
x
y
< br>
4z
1
6y
2x
0
1
y
x
<
/p>
y
4
得：
F<
/p>
z
4
x
y
4z
1
4
< br>
0
1
z
2
2
F
3x<
/p>
2xy
3y
4z
0<
/p>
16
∵
驻点唯一
∴
d
mi
n
2
8<
/p>
解法二、曲面在任一点的切平面法矢量
n
6x
2y,6y
2x
,
4
1,1,
4
平面
x+
y-4z=1
的法矢量
n
1
6x
2y
6y
2x
4
当
n
∥
n
1
时，即
1
1
4
1
1
得：
x
y
,
z
16
4
1
1
1
∵
在
(
,
,
)
点处切平面平行已知平面
4
4
16
2
1
1
1
∴
点
(
,
,
)
到平面距离最短，
d
min
8
4
4
16
例
2
、
在曲面
z
2
x
2
y
2
位于第一卦限部分上求一点，
使该点的切
平
面与三个坐标面围成的四面体的体积最小。
∵
曲面位于第一卦限部分上任一点
（
x
，
y
，<
/p>
z
）处的平面方程为：
2xX
2yY
Z
4
z
X
Y
Z
4
z
即
1
，
∴
四面体体积
V
4
z
4
z
4<
/p>
z
24xy
2
x
2y
3
故令
F
3ln
4
z
lnx
lny
λ
x
2
y
2
z
2
1
F
< br>
2
x
0
x
x
1
F
y
2
y
0
< br>由
y
3
F
0
z
4
< br>z
2
2
F
x
y
z
2
0
得：
x
y
z
1
2
2
∵
驻点唯一
2
2
<
/p>
∴
2
,
2
,1
为所求点。
例
3
、
在第一象限内，
过椭圆曲线
3x
2
2x
y
3y
2
1
上任一点作椭圆
的切线，求诸切线与坐标轴所围成的
三角形面积的最小值。
解：在第一象限内曲线上任一点（
x
，
y
）处的切线
方程为：
Y
y
3x
y
X
x
x
3y
Y
< br>
x
3y
X
3x
y
y
x
3y
x
3x
y
切线与两坐标轴的截距分别为
x
x
< br>3y
y,
3x
y
y
3x
< br>
y
x
x
3y
1
x
3y
3x
y<
/p>
1
1
1
S
x
y
y
x
2
x
<
/p>
3y
3x
y<
/p>
2
3x
y
x
3y
若要使
S
最小，只要<
/p>
x
3
y
3
x
y
最大
故设
F
x
< br>
3y
3x
y
λ
3x
2
2xy
3y
2
1
F
x
6x
10y
6
λ
x
2
λ
y
0
由
F
y
< br>10x
6y
2
λ
x
6
λ
y
0
F
<
/p>
3x
2
2xy
3y
2
<
/p>
1
0
λ
得：
x
y
< br>
∵
驻点唯一
∴
s
m
in
1
2
2
1
4
例
4
、
P212
例
5.32
5.33