函数的极值和最值(提高)知识梳理
拍一半拖-
函数的极值和最值
【考纲要求】
1.
掌握函数极值的定义。
2.
了解函数的极值点的必要条件和充分条件
.
3.
会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值
4.
会求给定闭区间上函数的最值。
【知识网络】
函数极值的定义
函数的极值
函数极值点条件
函数的极值和最值
求函数极值
函数在闭区间上的最大值和最小值
【考点梳理】
要点一、函数的极值
函数的极值的定义
一般地，设函数<
/p>
f
(
x
)
在点
x
x
0
及其附近有定义，
（
1
）若对于
x
0
附近的所有点，都有
f
(
x
)
f
(
x
0
)
< br>，则
f
(
x
0
)
是函数
f
(
x
)
的一个极大值，记作
y
极大值
f
(
x
0
)
；
（
2
）
若
对
x
0
附
近
的
所
有
点
，<
/p>
都
有
f
(
x
)
f
(
x
0
)
，
则
f
(
x
0
)
是
函
数
f
(
x<
/p>
)
的一
个
极
小
值
，
记作
y
极小值
f
(
x
0
)
.
极大值与极小值统称极值
.
在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值
.
要点诠释：
求函数极值的的基本步骤：
①确定函数的定义域；
②求导数
f
(
x
)
；
③求方程
f
(
x
)
0
的根；
④检查
f
'(
x
)
在方程根左右的值的符号，如果左正右负，
则
f(x)
在这个根处取得极大值；如果左负右
正，则
f(x)
在这个根处取得极小值
.(
最好通过列表法
)
要点二、函数的最值
1.
函数的最大值与最小值定理
若函数
y
f
(
x
)
在闭区间<
/p>
[
a
,
b
]
上连续，
则
f
(
x
)
在
[
a
,
b
]
上必有最大值和最小值；
在开区间
(
a
,
b
)
内连
续的函数
f
(
x
)
不一定有最大值与最小
值
.
如
f
(<
/p>
x
)
1
(
x
0)
.
x
要点诠释：
①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。
②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。
2.
通过导数求函数最值的的基本步骤：
若函数
y
f
(
x
)
在闭区间
[
a
,
b
]
有定义，
在开区间
(
a
,
b
)
内有导数，
则求函数
y
f
(
x
)<
/p>
在
[
a
,
b
]
上的最
大值和最
小值的步骤如下：
（
1
）求函数
f
(
x
)
在
(
a
,
b
)
内的导数
f
(
x
< br>)
；
（
2
）求方程
f
(
x
)
0
在
(
a
,<
/p>
b
)
内的根；
（
3
）求在
(
a
,
b
)
内使
f
(
x
)
0
的所有点的函数值和
f
(
x
)
在闭区间端点处的函数值
f
(
a
)
，
f
(
b
)
；
（
4
）比较上面所求的值，其中最大者为函数
y
f
(
x
)
< br>在闭区间
[
a
,
b
]
上的最大值，最小者为函数
y
f
(
x
)
在闭区间
[
a
,
b
]
上的
最小值
.
【典型例题】
类型一：利用导数解决函数的极值等问题
例
1.
已知函数
f
(
x
)
mx
3
x
3
x
,
m
R
.
若函数
f
(
x
)
在
x
1
处取得极值，试求
m
的值，并求
3
2
f
(
x
)
在点
M
(
1
,
f
(
1
))
处的
切线方程；
【解析】
f
'(
x
)
3
mx
6
< br>x
3,
m
R
.
2
因为
f
(
x
)
在
x
1
处取得极值
所以
f
'(
1)
3
m<
/p>
6
3
0
所以
m
3
。
又
f
(1)
3,
f
'(1)
12
所以
f
(
x
)
在点
M
(
1
,
f
(
1
))
处的切线方程
y
3
12(
x
1)
即
12
x
y
9
0
.
举一反三：
【变式
1
】设
a
为实数，函数
f
x
e
x
2
x
2
a
,
x
< br>R
．
(
1
)
求
f
x
的单调区间与极值；
(
2
)
< br>求证：当
a
ln
2
1
且
< br>x
0
时，
e
x
2
ax
1
．
【解析
】
（
1
）由
f
(
x
)
e
x
2
x
2
a
,
x
R
< br>知
f
(
x
)
e
x
2,
x
<
/p>
R
．
令
f
(
x
)
0
，得
x
ln
2
．于是当
x
变化时，
f
(
x
),
f
(
x
)
的变化情况如下表：
x
2
x
f
(
x
)
f
(
x
)
(
< br>
,ln
2)
－
单调递减
ln
2
0
(ln
2,
)
+
单调递增
2(1
ln
2
a
)
故
f
(
x
)
的单调
递减区间是
(
,ln
2)
，单调递增区间是
(ln
2,
)
，
f
(
x
)
在
x
ln<
/p>
2
处取得极小值，极小值为
f
(ln
2)
e
ln
2
2ln
2
2
a
2(1
ln
2
a
).
x
2
(
2
)
证明：设
g
(
x
)
< br>e
x
2
ax
1
，
x
R
<
/p>
x
于是
g
(
x
)
e
2
x
2
a
，
< br>x
R
由
(
1
)
知
当
a
ln
2
1
时，
g<
/p>
(
x
)
最小值为
g
(ln
2)
2(1
ln
2
a
)
0.
<
/p>
于是对任意
x
R
，都有
g
(
x
)
0<
/p>
，所以
g
(
x<
/p>
)
在
R
内单调递
增．
于是当
a
ln
2
1
时，对任意
x
(0,
)
，都有
g
(
x
)
< br>
g
(0)
．
< br>
而
g
(0)
< br>
0
，从而对任意
x
(0,
),
g
(
x
)
0
．
即
e
x
2
ax
1
0
，故
e
x
2<
/p>
ax
1
．
【变式
2
】
函数
f
(
x
)
的定义域为区间
（
a
，
b
）
，<
/p>
导函数
f
'(
x
)
在
（
a
，
b
）
内的图如图
所示，
则函数
f
(
x
)
在（
a
，
b
）内的极小值有（
）
x
2
x
2
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
<
/p>
【答案】由极小值的定义，只有点
B
是函
数
f
(
x
)<
/p>
的极小值点，故选
A
。
< br>
类型二：利用导数解决函数的最值问题
例
2
（
2016
东城区模拟）已知函数
f
(
x
)
x
a
ln
< br>x
，
a
R
．
(Ⅰ)若
f
(
x
)
在
x
1
处取
得极值，求
a
的值；
2
(Ⅱ)
求
f
(
x
)
在区间
[1,
)
上的最小值；<
/p>
(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若
h
(
x
)
x
f
(
x
)
，求证：当
1
x
e
时，恒有
x
2
2
4
h
< br>(
x
)
成立．
< br>
4
h
(
x
)
【解析】（Ⅰ）由
f
(
x
)
x
2
a
ln
x
，定义域为
(0,
)
，得
f
(
x
)
2
x
< br>因为函数
f
(
x
)
x
2
a
ln
x
在
x
1
处
取得极值，
所以
f
(1)
2
x
< br>经检验，满足题意，所以
'
'
'
a
．
x
a
0
，
即
2
a
0
，
解得
a
2
．
x
．
a
2
x
2
<
/p>
a
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
f
< br>(
x
)
2
x
，
定义域为
(0,
)
．
x
x
当
a
0
时，有
f
'
(
x
)
0
，<
/p>
f
(
x
)
在区间
[1,
)
上单调递增，最小值为
f
(1)
1
；
当
0
a
2
，由
f
< br>'
(
x
)
0
得
x
a
a
，且
0<
/p>
1
．
2
2
当
x
(0,
a
a
)
时，
f
'
(
x
)
< br>
0
，
f
(
x
)
单调递减，当
x
(
,
)
时，
f
'
(
x
)
0
，
f
(<
/p>
x
)
单调递增，
2
2
在区间
上
单调递增，最小值为
；
所以
当
a
2
时，
a
1
，
2
单调递减，当
x
(
当
x
(1,
a
)
时，
f
'
(
x
)
0
，
2
a
,
)
时，
f
'
(
x
)<
/p>
0
，
f
(
x
)
单调递增，<
/p>
2
所以函数
f
(
x
)
在
x
a
a
a
a
a
取得最小值
f
(
)
ln
．
2
2
2
2
2
上的最小值为
；
上的最小值为
综上当
a
2
时，
f
(
x
)
在区间
当
a
2
时，<
/p>
f
(
x
)
在区间
a
a
a
ln
．
2
2
2
（Ⅲ）由
h
(
x
)
x
2
f
(
x
)
得
h
(
x
)
2ln
x
．
当
1
<
/p>
x
e
2
时，
0
ln
x
2
，
0
h
(
x
)
4
，
欲证
x
4
h
(
x
)
，只需证
x
[4
h
(
x
)]
4<
/p>
h
(
x
)
，
4
h
(
x
)
4
x
4
2
x
2
，即
ln
x
．
x<
/p>
1
x
1
2
x
2
设
(x)
ln
x
，
x
< br>1
即证
h
(
x
)
1
2(
x
1)
(2
x
2
)
(
x
1)
2
则
(x)
．
x
(
x
1)
2
x
(
x
1)
2
'
当
1
< br>
x
e
2
时，
'
(x)
0
，所以
(x)
在区间
(1
,e
2
)
上单调递增．
所以当
1
x
e
2
时，
(x)
(1)
0
，即
ln
x
故
x
2
x
2
0
，
x
1
4
h
(
x
)
．<
/p>
4
h
(
x
)
4
h
(
x
)
恒成立．
4
h
(
x
< br>)
所以当
1
< br>x
e
2
时，
x
举一反三：
【变式】已知函数
f
(
x
)
ax
2
1
(
a
0
),
g
(
x
)
< br>
x
3
bx
.
(1)
若曲线
y
f
(
< br>x
)
与曲线
y
< br>
g
(
x
)
在它们的交点
(1,
c
)
处具有公共切线
,
求<
/p>
a
,
b
的值
;
(2)
当
a<
/p>
4
b
时
,
求函数
f
(
x
)
g
(
x
)
的单调区间
,
并求其在区间
(
,
1]
上
的最大值
.
【解析】
(1)
由
1
，
c
为公共切点可得
:
f
(
x
)
ax
2
1(
a
0)
,
则
f
(
x
)
< br>2
ax
,
k
1
2
a
,
g
(
x
)
x
3
<
/p>
bx
,
则
g
(
x
)=3
x
2
b
,
k
2
3
b
,
2
a
3
b
①
又
f
(1)
a
1
,
g
(1)
1
b
,
2
a
1
1
b
,
即
a
b
,
a
3
代入①式可得
:
.
b
3
(2)
a
2
4
b
,
1
4
设
h
(
x
)
f
(
x
)
g
(
x
)
x
3
ax
2
a
2
x
1
1
则
h
(
x
)
3
x
2
2
ax
a
2
,
令
h
(
x
)
0
,
4
a
a
解得
:
x
1
,
x<
/p>
2
; <
/p>
6
2
a
a
a
0
,
,
2
6
< br>a
a
a
a
原函数在
，
单调递增
,
在
，
<
/p>
单调递减
,
在
，
上单调递增
2
6
<
/p>
2
6
a
a
①若
1
≤
,
即
0
< br>a
≤
2
时
,
最大值为
h
(
1)
a
;
2
4
a
a
a
②若
<
/p>
1
,
即
2
a
6
时
,
最大值为
h
1
2
6
2
③若
1
≥
a
a
时
,
即
a
≥
6
时
,
最大值为
h
1
.
6
2
2
a
2
a
2
时
,
最大值为
< br>h
(1)
a
< br>
综上所述
:
当
a
0
，
;
当
a
2
,
<
/p>
时
,
最大值为
h
1
.
2
4
例
3.
（
2015
东城区一模）已知函数
错误！未找到引用源。
，
错误！未找到引用源
。
．
(1)
若
错误！未找到引用源。
在
错误！未找到引用源。
处取得极值，求
错误！未找到引用源。
的值；
(2)
若
错误！未找到引用源。
在区间
错误！未找到引用源。
上单调递增，求
错误！未找到引用
源。
的取值范围；
(3)
讨论函数
错误！未找到引用源。
的零点个数．
【解析】
(1)
因为
错误！未找到引用源。
，
由已知
错误！未找到引用源。
在
错误！未找到引用源。
处取得极值，
所以
错误！未找到引用源。
，解得
错误！未找到引用源。
．