高中数学导数的应用——极值与最值专项训练题(全)
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高中数学专题训练
导数的应用——极值与最值
一、选择题
1
1
．
函数
y
＝
ax
3
＋
b
x
2
取得极大值和极小值时的
x
的值分别为
0
和
3<
/p>
，
则
(
)
A
．<
/p>
a
－
2
b
＝
0
B
．
2
a
－
b
＝
0
C
．
2
a
＋
b
＝
0
D
．
a
＋
2
b
＝
0
答案
D
解析
y
′
＝
3
ax<
/p>
2
＋
2
bx
，据题意，
1
0
、
3
是方程
3
ax
2
＋
2<
/p>
bx
＝
0
的两根
2
b
1
∴－
3
a
＝
3
，
∴
a
＋
2
b
＝
0.
2
．当函数
y
＝
x
·
2
x
取极小值时，
x
＝
(
)
1
1
A.
ln2
B
．－
ln2
C
．－
ln2
D
．
ln2
答案
B
解析
由
y<
/p>
＝
x
·
2
x
得
y
′
＝
2
x
＋
x
·
2
x
·
ln2
令
y
< br>′
＝
0
得
2
x
(1
＋
x
·
ln2)
＝
0
1
∵
2
x
＞
0
，∴
x
＝－
ln2
3
．函数
f
(
x
)
＝
x
3<
/p>
－
3
bx
＋
3
b
在
(0,1)
内有极小值，则
(
)
A
．<
/p>
0
＜
b
＜
1
B
．
b
＜
1
1
C
．
b
＞
0
D
．
< br>b
＜
2
答案
A
解析
f
(<
/p>
x
)
在
(0,1
)
内有极小值，
则
f
< br>′
(
x
)
＝
3
x
2
－
3
b
在
(0,
1)
上先负后正，
∴
f
′
(0)
＝－
3
b
＜
0
，
< br>
∴
b
＞
0
，
f
′
(
1)
＝
3
－
3
b
＞
0
，∴<
/p>
b
＜
1
综上，
b
的范围为
0
＜
b
＜
1
4
．
连续函数
f
(
x
)
的导函数为
f
′
(
x
)
，
若
(
x<
/p>
＋
1)·
f
′<
/p>
(
x
)>0
，<
/p>
则下列结论中正确的
是
(
)
A
< br>．
x
＝－
1
一定是函数
f
(
x
)
的极大值点
B
．
x
＝－
1
一定是函数
f
(
x
)
的极小值点
C
．
x
＝－
1
不是函数
f
(
x
)
的极值点
D<
/p>
．
x
＝－
1
不一定是函数
f
(
x
)
的极值点
答案
B
解析
x
><
/p>
－
1
时，
f
′
(
x
)>0 <
/p>
x
<
－
1
时，
f
′
(
x
)<0
∴连续函数
f
(
x
)
在<
/p>
(
－
∞
，－
1)
单减，在
(
－
1
，＋
∞
)<
/p>
单增，∴
x
＝－
1
为极小
值点．
x
3
2
5
．函数
y
＝
3
＋
x
－
3
x<
/p>
－
4
在
[0,2
]
上的最小值是
(
)
17
1
0
A
．－
3
B
．－
3
64
C
．－
4
D
．－
3
答案
A
解析
y
′<
/p>
＝
x
2
＋
2
x
－
3.
令
y
′
＝
x
2
＋
2
x
－
3
＝
0
，
x
＝－
3
或
x
＝
1
为极值点．
当
x
∈
[0,1]
时，
y
′
<0.
当
x
∈
[1,2]
时，
y
′
>0
，所以当
x
＝
1
时，函数取
得极小
值，也为最小值．
17
∴当
x
＝
1
时，
y
min
＝－
3
.
6
．函数<
/p>
f
(
x
)
的导函数
f
′
(
x
)
的图象，如右图所示，则
(
)
A
．
x
＝
1
是最小值点
B
．
x
＝
0
是极小值点
C
．
x
＝
2
是极小值点
D
．函数
f
(
x
)
在
(1,2)
上单增
答案
C
解析
由导数图象可知，
x
＝
0
，
< br>x
＝
2
为两极值点，
x
＝
0
为极大值点，
x
＝
2
为极小值点
，选
C.
1
7
7
．已知函数
f
(
< br>x
)
＝
2
x
3
－
x
2
－
2
x
，则<
/p>
f
(
－
a
2
)
与
f
(
－
1)
的大小关系为<
/p>
(
)
A
．
f
(
－
a
2
)
≤
f
(
－
< br>1)
B
．
f
< br>(
－
a
2
)<
f
(
－
1)
C
．
f
(
－
a
2
)<
/p>
≥
f
(
－
1)
D
．
f
(
－
a
2
)
与
f
(
－
1)
的大小关系不确定
答案
A
3
7
解析
<
/p>
由题意可得
f
′
(
x
)
＝
2<
/p>
x
2
－
2
x
－
2
.
1
7
由
f
′
(
x
)
< br>＝
2
(3
x
－
7)(
x
＋
1)
＝
0
，得
x
＝－
1
或
x
＝
3
.
7
当
x
<
－<
/p>
1
时，
f
(
x
)
为增函数；当－
1<
x
<
3
时，
f
(
x
)
为减函数．所以
f
(
< br>－
1)
是函数
f
(
x
)
在
(
－
∞
，
0]
上的最大值，又因为－
a
2
≤
0
，故
f
(
－
a
2
)
≤
f
(
< br>－
1)
．
8
．函数
f
(
x
)
＝
e
－
x
·
x
，则
(
) <
/p>
1
A
．仅有极小值
2
e
1
B
．仅有极大值
2
e
1
C
．有极小值
0
，极大值
2
e
D
．以上皆不正确
答案
B
解析
f
′<
/p>
(
x
)
＝－
e
－
x
·
x
＋
1
令
f
′
(
x
< br>)
＝
0
，得
x
＝
2
.
1
当
x
>
2
时，
f
′
(<
/p>
x
)<0
；
<
/p>
1
当
x
<
2
时，
f
′
(
x
)>0.
1
1
1
1
1
∴
x
＝
2
时取极大值，
f
(
2
)
＝
·
2
＝
.
e
2
e
二、填空题
9
．若
y
＝
a
ln
x
＋
bx
2
＋
x
在
x
＝
1
和
x
＝
2
处有极值，则
a
＝
________
，<
/p>
b
＝
________.
2
1
答案
－
3
－
6
a
解析
y<
/p>
′
＝
x
＋
2
bx
＋
1.
2
a
＋
2
b
＋
1
＝
0
a
＝－
3
由已知
a
，解得
1
＋
4
b
＋
1
＝
0
2<
/p>
b
＝－
6
1
2
x
·
e
－
x
＝
e
－
x
< br>(
－
x
＋
1
－
2
x
)
＝
e
－
x
·
.
2
x
2
x
1
1
3
10<
/p>
．已知函数
f
(
x
)
＝
x
－<
/p>
bx
2
＋
c
(
b
，
c
为常数
)
．当
x
＝
2
时，函数
f
(
x
)
取得极
3
值，若函数
f
(
x
)
只有三个零点，则实数
c
的取值范围为
________
4
答案
0<
c
<
3
1
解析
∵<
/p>
f
(
x
)
＝
3
x
3
－
bx
2
＋
c
，∴
f
′
(
x
)
＝
x
2
－
2
bx
，∵
x
＝
2
时，
f
(
x
)
取得极值，
∴
2
2
－
2
b
×
2
＝
0
，解得
b
＝
1.
∴当
x
∈
(0
,2)
时，
f
(
x
)
单调递减，当
x
∈
(
－
∞
，
0)
或
x
∈
(2
，＋
∞
)
时，
f
(
x
)
单
调递增．
若
f
(
x
)
＝
0
有<
/p>
3
个实根，
f
0
＝
c
>0
4
则
，解得
0<
c
<
1
3
2
3
f
2
< br>＝
×
2
－
2
＋
c
<0
，
3
11
．设
m
∈
R<
/p>
，若函数
y
＝
e
x
＋
2
mx<
/p>
(
x
∈
R
)
有大于零的极值点，则
m
< br>的取值范
围是
________
．
1
答案
m
<
－
2
解析
因为函数
y
＝
e
x
＋
2
mx
(
x
∈
R
)
有大于零的极值点，
所以
y
′
＝
e
x
＋
2
m
＝
0
有大于
0
的实根．令
y
1
＝
e
x
，
y
2
＝－<
/p>
2
m
，则两曲线的交点必在第一象限．由
图象
1
可得－
2
m
>1
，即
m
<
－
2
.
12
．已知函数
f
(
x
)
＝
x
3
－
px
2
－
qx
的图象与
x
轴相切于
(1,0)
，则极小值为
________
．
答案
0
解析
f
′<
/p>
(
x
)
＝
3
x
2
－
2
px
－
q
，
由题知
f
′
(1)
＝
3
－
2
p
－
< br>q
＝
0.
又
< br>f
(1)
＝
1
< br>－
p
－
q
＝
0
，
联
立方程组，解得
p
＝
2
，
q
＝－
1.
∴
f
(
x
< br>)
＝
x
3
－
2
x
2
＋
x
，
f
′
(
x
)
＝
3
x
2
－
4
x
＋
1.
由
f
′
(
< br>x
)
＝
3
x
2
－
4
x
＋
1
＝
0
，
1
解得
x
＝
1
或
x
＝
3
，
经检验知
x
＝
1
是函数的极小值点，
∴
f
(
x
)
极小值
＝
f
(1)
＝
0.
三、解答题
13
．
设函数
f
(
x
)
＝
sin
x
－
cos
x
＋
x
＋
1,0
＜
x
＜
2
π
，
求函数
f
(
x
)
的单调区间与极值．
解析
由
f
(
x
)
< br>＝
sin
x
－
< br>cos
x
＋
x
< br>＋
1,0
＜
x
< br>＜
2
π
，
知
f
′
(
x
)
＝
cos
x
＋
sin
x
＋
1
，
π
于是
f
′
(
x
)
＝
1
＋
2sin(
x
＋
4
)
．
π
2
3
π
令
f
′
(
x
)
＝
0
，从而
sin(
x
< br>＋
4
)
＝－
2
，得
x
＝
π
，或
x
＝
2
.
当
x
变
化时，
f
′
(
x
)
，
f
(<
/p>
x
)
的变化情况如下表：
3
π
3
π
3
π
x
π
(0
，<
/p>
π
)
(
π
，
2
)
(
2
2
，
2
π
)
0
0
f
′
(
x
)
＋
－
＋
3
f
(
x
)
单调递增
π
＋
2
单调递减
单调递增
2
π
3
π
因此，
由上表知
f
(
x
)
的单
调递增区间是
(0
，
π
)
与
(
2
，
2
π
)
，
单调递减区间是
(
π
，
3
π
3
π
3
π
)
，极小值为
f
(
2
2
)
＝
2
，极大值为
f
(
π
)
＝
π
＋
2.
14
．设函数
f
(
x
)
＝
6
x
3
＋
3(
a
＋
2)
x
2
＋
2
ax
.
(1)
若
f
(
x
)
的两
个极值点为
x
1
，
x
2
，且
x
1
x
2
＝
1
，求实数
a
的值；
(2)
是否存在实数
a
，使得
f
(
x
)
是
(
－∞，＋∞
)
上的单调函数？若存在，求出
a
的值；若不存在，说明理由．
解析
f
′<
/p>
(
x
)
＝
18
x
2
＋
6(
a
＋
2)
x
＋
2
a
.
2
a
(1)
由已知有
f
′
(
x
1
)
＝
f
′
(
x
< br>2
)
＝
0
，从而
x
1
x
2
＝
18
＝
1
，所以
a
＝
9
；
(2)
由于
Δ
＝
36(
a
＋
2)
2
－
4
×
18
×
2
a
＝
36(
a
2
＋
4)>
0
，
所以不存在实数
a
，使得
f
(
x
)
是
(
－
∞
，＋
∞
)
上的单调函数．
15
．已知定义在
R
上的函数
f
(
x
)
＝<
/p>
x
2
(
ax
－
3)
，其中
a<
/p>
为常数．
(1)
若
x
＝
1
是
函数
f
(
x
)
的一个极值点，求
a
的值；
(2)
若函数
f
(
x
)
在区间
(
－
1,0)
上是增
函数，求
a
的取值范围．
解析
(1)
f
(
x
)
＝<
/p>
ax
3
－
3
x
2
，
f
′
(
x
)
＝
3
ax
2
－
6
x
＝
3
x
(
ax
－
2)
．
∵
x
＝
1
是<
/p>
f
(
x
)
的一个极值点，∴
f
′
(1)
＝
0
，∴
a
＝
2.