多元变量的最值
不可触摸-
二轮专题复习：多元变量的最值（范围）
引入
：
最值问题是中等数学中永恒的话题，也是江苏高考的热门考点。
而在最值求解中，多
元变量得最值问题因其技巧性强，难度大，方法多，
灵活多变而更具挑战，也成为了最值求
解中的难点和热点。
< br>
一、
基础训练
1
、
若正数
a
,
b
满足<
/p>
2
a
b
1
.
1
1
的最小值；
a
b
1
1
1
1
2
a
b
3
< br>
2
2
法一：
(
)(2
a
b
)
2
1
a
b
a
b
b
a
（
1
）
求
当且仅当
a
2
2
,
b
2
1
时取等号。
2
策略：
借助“
1
”的代换，构
造出积为定值，
利用基本不等式
求得和的最值。
法二：
b
1
2
a
1
1
1
1
<
/p>
a
b
a
1
2
a
1
1
令
f
(
x
)
探求
a
的范围，再求函数最值。
a
1
2
a
策略：
消
元，使二元问题
转化为函数求最值
问题。
（
2
）
求
4
a
b
ab
的最大值
.
分析：
2
2
4
a
2
b
2
ab
(2
a
b
)
4
ab
ab
1
< br>4
ab
ab
< br>
令
ab
t
，则
4
a
2
b
2
ab
<
/p>
4
t
2
t
1
f
(
t
)
又
1
2
a
b
2
2<
/p>
ab
,
ab<
/p>
2
2
,
又
a
0,
b
0.
0
ab
4
4
接下来研究二次函数
在给定定义域上的值域。
答案：
(4
a
b
ab
)
max
<
/p>
2
2
17
16
策略
：运用换元，将问题
转化为求函数最值
问题。
2
、
已知<
/p>
x
y
1
，求
3
x
2
y
的最大值
.
法一：线性规划。
策略：
赋予目标及条件相应的几何意义。
法二：三角换元，转化为三角函数求最值。
2
2
策略：
用
一个角统一两个元，达到减元的目的，仍然转化为函数就最值。
请学生通过基础训练，总结归纳多元变量求最值（范围）的策
略，并板书。
解决策略：
策略一：利用基本不等式。注意条件：
“一正二定三相等
“
换元，注意换元换范围
策略二
：化归转化为函数求最值
消元，
注意消元留范围
策略三
：数形结合，赋予条件及目标相应的几何意义
二、
例题讲解
例
1
：已知函数
f
(
x
)
log
2
(
x
2)
，若实数
m
,
n
满足
f
(
m
)
f
(
2
n
)
3<
/p>
，则
m
n
的
最小值是
__7______
．
利用基本不等式
例
2
：
（
1
）若
a
,
c
是正实数，则
u
c
2
a
的最小值是
2
a
a
2
c
1
2
.
4
(2)
若
a
,
b
,
c
是正实数，则
u
c
a
b
1
的最小值是
2
.
a
b
b
2
c
a
2
c
4
换元法
请学生观察（
1
）
，
（
2
）的关系，有何发现？最小值一样，
（
2
）中的最值就在当
a
b
时取到，
此法可在填空题中尝试。<
/p>
例
3
：
如图
,
在扇形
OAB
中，
∠
AO
B
60
，
C
为
AB
上一
个动点，
若
OC
xOA
yOB
，
则
x
4
y
的取值范围是
[1,4]
.
A
O
B
法一：三角换元
法二：线性规划
< br>例
4
：已知正数
a
,
b
,
c
< br>满足：
5
c
< br>3
a
b
4
c
a
,
c
ln
b<
/p>
a
c
ln
c
，则
____
____
．
答案：
< br>[e
，
7]
< br>解析：
条件
5c
－
3a
≤
b
≤
4c
－
a
，
< br>clnb
≥
a
＋
clnc
，
a
b
3·
＋
≥
5
，
c
c
b
的取值范围是
a
a
b
可化为
c
＋
c
< br>≤
4
，
b
c
≥
e
.
a
c
x
＋
y
≤
4
，
y
a
b
设
＝
< br>x
，
y
＝
，则题目转化为：已知
x
，
y
满足
求
c
c
x
y
≥
e
，
< br>x>0
，
y>0
，
x
3x
＋
y
≥
5
，
的取值范围．
作出
(x
，
y)
所在平面区域
(
如图
)
．求出
y
＝
e
x
的切
线的斜率
e
，设过切点
P(x
0
，
y
0
)
的切线
为
y
＝
ex
＋
m(m
≥
0)
，
y
0
ex
0
＋
m
m
则
＝
＝
e
＋
，要使它最小，须
m
＝
0.
x
0
x
0
x
0
y
∴
的最小值
P(x
0
，
y
0
< br>)
处，为
e.
此时，点
P(x
0
，
y
0
)
在
y
＝
e
x
上
< br>A
、
B
之间．
< br>
x
y
＝
4
－
x
，
当
(x
，<
/p>
y)
对应点
C
时
，
y<
/p>
＝
5
－
3x
5y
＝
20
－
5x
，
4y
＝
20
－
12x
y
＝
7x
y
y
＝
7
，
∴
的最大值在
C
x
x
y
b
处，为
7.
∴
的取值范围为
[e
，
7]
，即
< br>的取值范围是
[e
，
7]
．
x
a
课堂小结：多元变量求最值的几大策略。
三、
巩固练习
1
|a|
1. (2013·
天津卷
)
设
a
＋
b
＝
2
，
b>0
，则
＋
的最小值为
________
．
< br>
2|a|
b
3
答案：
4
1
|a|
a
＋
b
|a|
a
b
|a|
a
b
|a|
a
1
3
解析
：
＋
＝
＋
＝
< br>＋
＋
≥
＋
2
·
＝
＋
1
≥
－
＋
1
＝
，当且
2|a|
b
4|a|
b
4|a|
4|a|
b
4|a|
4|a|
b
4|a|
4
4
b
|a|
3
仅当
＝
，
a<0
，即
a
＝－
2
，
b
＝
4
时
取等号，故最小值为
.
4|a|
b
4