《函数的极值与最值》经典题(教师版)
残雪凝辉冷画屏-
《函数的极值与最值》经典题
例
1
.
已知函数
f
x
x
3
3
x
2
，求
f
(
x
)
的
极值。
解：由题意得
f
x
< br>
3
x
2
6
x
3
x
x
2
令
f
x
0
，解得
x
1
0
，
x
2
< br>2
x
变化时，
f
(<
/p>
x
)
、
f
(
x
)
的变化情况如
下表：
x
,0
＋
0
0
极大值
0,2
－
2
0
极小值
2,
＋
f
x
f
x
所以
f
(
x
)
的极大值为
f
(0)
3
2
0
，极小值为
f
(2)<
/p>
4
变式
1
.
已知函数
f
<
/p>
x
x
3
ax
(
a
2
0)
，求
f
(
x
)
的极值。
解：由题意得
f
x
3
x
6
ax
3
x
x
2
a
令
f
x
0
，解得
x
1
0
，
x
2
< br>
2
a
(
a
0)
x
变化时，
f
(<
/p>
x
)
、
f
(
x
)
的变化情况如
下表：
x
,0
＋
0
0
极大值
0,2
a
－
2
a
0
极小值
2
a
,
<
/p>
＋
f
x
f
x
所以
< br>f
(
x
)
的极大值为
f
(0)
3
0
，极小值为
f
(2
a
)
2
4
a
3
。
变式
2
.
已知函数
f
x
x
3
ax
，求
f
(
x
)
的极值。
< br>2
解：由题意得
f
x
3
x
6
ax
3
x
x
2
a
令
f
x
0
，解得
x
1
0
，
x
2
2
< br>a
①若
a
当
2
a
0
，当
x
x
2
a
或
x
0
时，<
/p>
f
(
x
)
0
,
f
(
x
)
单调递增；
0
f
(
x
)
0
,
f
(
x
)
单调递减。
1
< br>所以极大值为
f
(2
a
)
②若
a
4
a
3
，极小值为
f
(0)
0
，
f
(
x
)
在
(
0
。
)
单调递增，
0
，
f
(
x
)
3
x
2
,
所以
f
(
x
)
既无极大值，也无极小值。
③若
a
当
2
a
0
，当
< br>x
x
2
a
或
x
0
时，
f
(
x
)<
/p>
0
,
f
(
x
)
单调递增；<
/p>
0
f
(
x
)
0
,
f
(
x
)
单调递减。
4
a
3
，极大值为
f
(0)
所以极小值为
f
(2
a
)
0
。
变式
3
.
已知函数
f
x
x<
/p>
3
3
x
2
，求
f
(
x
)
在
[
解：由题意得
f
x
3
x
6
x
3
x
x
2
2
1
,
4]<
/p>
的最值。
2
令
f
x
0
，解得
x
1
0
，
x
2
< br>2
x
变化时，
f
(<
/p>
x
)
、
f
(
x
)
的变化情况如
下表：
x
,0
＋
0
0
极大值
0
0,2
－
2
0
极小值
4
2,
＋
f
x
f
x
< br>又∵
f
(
1
)
2
7
，
f
(4)
8
16
4
，最大值为
f
< br>(4)
16
。
∴
f
(
x
)
在
[
1
,
4]
的最小值为
f
< br>(2)
2
3
3
< br>变式
4
.
已知函数
f
x
< br>
ax
3
a
x
(
a
0)
，若
f
(
x
)
在
x<
/p>
的值。
1
处取
得极大值，求实数
a
3
3
解：∵
f
x
ax
3
a
x
∴
f
(
x
)
3<
/p>
ax
3
a
3
a
(
x
a
)
2
3
2
< br>2
∵
f
(
x
)
在
x
1
处取得极大值
∴
f
(1)
3
a
(1
a
2
)
0
∵
a
0
∴
a
1
或
a
1
①当
a
1
时，
f
(
< br>x
)
x
3
x
，
f
(
x
)
3(
x
1)(
x
1)
当
x
1
或
x
1
时，
f
(
x
)
0
，
f
(
x
)
单调递增；当
< br>
1
x
1
时，
f
(
x
)
<
/p>
0
,
f
(
x
)
单调递减。所以
f
(
x
)
在<
/p>
x
3
1
处取得极小值，于是
a
1
不合题意，应舍去。
2
3
②当
a<
/p>
1
时，
f
(
x
)
x
3
x
，
f
< br>
(
x
)
3
x
3
3(<
/p>
x
1)(
x<
/p>
1)
2
当
x
1
或
x
1
时，
f
(
x
)
0
,
f
(
x
)
单调递减；当
< br>1
x
1
时，
f
(
x
)
0<
/p>
，
f
(
x
)
单调递增。所以
f
(
x
)
在
x<
/p>
1
处取得极大值，于是
a
1
符合题意。
综上，实数
a
的值是<
/p>
a
1
。
例
2
.
已知函数
f
(
x
)
ln
x
a
x
(1)
若
a
1
，求
< br>f
(
x
)
的极值；
(2)
若
a
1
,
求
f
(
x
)
在
[<
/p>
,
e
]
上的最大
值；
(3)
若
f
(
x
)
在
1
,
e
上的最小值为
2
1
2
2
3
，求
a
的值
.
<
/p>
2
(4)
若
f<
/p>
(
x
)
x
在
(1,
)
上恒成立，求
a
的取值范围
.
解：
< br>(1)
当
a
< br>
1
时，
f
(
x
)
ln
x
1
x
，则
f
(
x<
/p>
)
的定义域为
(0,
)
,
f
(
x
)
1
1
x
<
/p>
1
2
2
,
令
f
(
x
)
0
得
x
1
,
x
x
x
当
0
x
1
时
,
f
(
x
)
0
,
f
(
x
< br>)
单调递减；当
x
1
时
,
f
(
x
)
0
,
f
(
x
)
单调递增
.
所
以
f
(
x
)
的极小值为
f
(1)
1
,
无极大值。
(2)
当
a
1
时，
f
(
< br>x
)
ln
x
1
x
，则
f
(
x
)
的定义域为
(0,
)
,
f
< br>(
x
)
1
1
x
1
2
2
，
x
x
x
1
2
于是，当
x
在
[
,
e
]
上变化时，
f
'(
x
),
f
(
x
)
的变化情况如
下表：
2
1
1
x
(
,1)
(
1,
e
2
)
1
e
2
2
2
f
'(
x
)
↘
2
0
极小值
1
↗
f
(
x
)
2
ln
2
2
1
2
e
由上表可得，当
x
e
时函数
f
(
x
)
取
得最大值
2
(3)
< br>f
(
x
)
1
.
2
e
x
a
，
x
1
,
e
2
x
3
①若
a
<
/p>
1
,
则
x
a
0
即
f
(
x
)
0
在
1
,
e
上恒成立，
此时
f
(
x
)
在
1
,
e
上是增函数
∴
f
(
x
)
min
f
(1)
a
3
3
∴
a
(
舍去
)
2
2
②若
a
e
,
则
x
a
0
即
f
(
x
)<
/p>
0
在
1
,
e
上恒成立，
此时
f
(
x
)
在
1
,
e
上是减函数
∴
f
(
x
)
min
f
(
e
)
1
< br>
a
3
e
∴
a
(
舍去
)
e
2
2
③若
e
a
1
,
令
f
(
x
)
0
，得
x
a
当
a
x
e
时，
f
(
x
)
0
∴
f
(
x
)
在
< br>
a
,
e
上为增函数
< br>当
1
x
a
时，
f
(
x
)<
/p>
0
∴
f
(
x
)
在
1
,
a
上为减函数
∴
f
(
x
)
min
f
(
a
< br>)
ln(
< br>a
)
1
综上，
a
的值是
< br>
e
(
4
)
∵
f
(
x
)
x
∴
ln
x
3
2
3
∴
a
e
2
a
x
2
又
x
0
∴
a
x
ln
x
x
3
x
2
令
g
(
x
)
x
ln
x
x
，则
h
< br>(
x
)
g
(
x
)
1
ln<
/p>
x
3
x
1
1
6
x
2
∴
h
(
x
)
6
x
x
x<
/p>
∵
x
(1,<
/p>
)
∴<
/p>
h
(
x
)
0
∴
h
(
x
)
在
(1,
)
上是减函数
∴
h
(
x
)
h
(1)
2
< br>0
即
g
(
x
)
0
∴
g
(
x
)
在
(1,
)
上也是减
函数
,
∴
g
(
x
)
g<
/p>
(1)
1<
/p>
∴当
a
1
时
,
f
(
x
)
x
在
(1,
)
上恒成立
.
例
3
．已知函数
f<
/p>
(
x
)
ln
x
ax
(
a
R
)
(
Ⅰ
)
求函
数
f
(
x
)<
/p>
的单调区间；
(
Ⅱ
)
当<
/p>
a
2
2
时，求函数
f
(
x<
/p>
)
在
1
,
e
上的最值
.
3
(
Ⅲ
)
当
a
0
时，求函数
f
(
x
)
在
1
,2
上的最小值
.
(
Ⅳ
)
若函数
f
(
x
)
有两个零点，求实
数
a
的取值范围；
4