数学导数极值与最值
建设银行校园招聘-
导数极值与最值
e
x
3
1
．若
f
x
，则
f
3
( )
<
/p>
x
A.
【答案】
B
【解析】
1
2
1
4
B.
C.
D.
9
3
9
9
试题分析：
e
x
3
x
e
x
3
x
xe
x
3
e
x
3
e
x
3
2
f
< br>
x
f
x
f
3
x
x
2
x
2
9
考点：函数求导数<
/p>
点评：函数
h
x
<
/p>
g
x
的导数
h<
/p>
x
2
．
如果
f
x
f
< br>
x
g
x
f
x
g
x
g
2
x
f
(
< br>x
)
ax
3
bx
2
c
(
a
0)
导函数图像的顶点坐标为
(1,<
/p>
3)
，那么曲线
y
f
(
x
)
上任一点的切线的倾斜角
的取值范围是（
）
2
5
5
,
]
B
．
[0,
]
[
,
)
3
6
2
6
2
5
2
C
．
[0,
)
[
,
]
< br>
D
．
[0,
]
[
,
< br>)
2
3
6
2
3
A
．
[
【答案】
D
【解析】
试题分析：
f
(
x
)
ax
3
bx
2
c
(
a
0)
的
导数为
f
'
(
x
)
3
ax
2
2
bx<
/p>
，因为其图像
的顶点坐标为
(1,
3)
，所以
f
'
(
x
)
3
ax
2
2
bx
图象开口向上，
最小值为
-
3
，即
2
tan
3
，任一点的切线的倾斜角
的取值范围是
[0,
]
[
,
)
，选
D
。
2
3
考点
：本题主要考查导数的几何意义，直线的倾斜角，二次函数的图象和性质，正切函
数的性
质。
点评：小综合题，曲线在某点的导数，就是过该点的切线
的斜率。
3
．已知
，则
= ( )
A. 3 B.
4 C.3.5 D. 4.5
【答案】
C
【解析】
试题分析：如图，由定积分
的几何意义，
选
C
。
< br>
等于图中阴影部分的面积
3.5
，故
试卷第
1
页，总
16
页
考点：本题主要考查定积分的计算，定积分的几何意义。
点评：简单题，数形结合，利用定积分的几何意义。
4
．设
f
(
x
)
是函数
f
(
x
)
的导函数，
y
f
(
x
)
的图象如图所示，则
y
f<
/p>
(
x
)
的图象最
有可能的是（
）
【答案】
C
【解析】
试题分析：
由
y
f
(
x
)
的图象知：
x
<0
或
< br>x
>2
时，
f
< br>
(
x
)
>0
；
当
0
<
x
<2
时，
f
(
x
)<
/p>
<0.
所以
y
f
(
x
)
在
-
,0
和
2,+
内单调递增，在
0,2
内单调递减，所以选
C
。
考点：利用导数研究函数的单调性。
点评：
此题我们可以根据函数的单调性判断函数的图像，
做此题的关键是根据
y
f<
/p>
(
x
)
的图像求出<
/p>
f
(
x
)
>0
和
f
(
x
)
<0
的解集。
考查了学生识图，用图的能力。属于中档题。
5
．曲线
f
(
x
)
x
ln
x
在点
(1,0)
处的切线方程为（
）
A.
y
x
1
B.
y
x
1
C.
y
ex
e
D.
y
ex
e
【答案】
B.
【解析】
试卷第
2
页，总
16
页
< br>
试题分析：曲线
f
(
x
)
x
ln
x
在点
(1,
0)
处的切线斜率，即函数在
x=1
处的导数。而
f
'
(
x
)
ln
x
1
，
f
'
(1)
1
，
所以由直线方程的点斜式得曲线
f
(
x
)
< br>
x
ln
x
在点
(1,0)
处
的切线方程为<
/p>
y
x
1
，故选
B
。
考点：本题主要考查导数的几何意义，直线方程的点斜式。
<
/p>
点评：基础题，注意理解曲线
f
(
x
)
x
ln
x
在点
(1,0)<
/p>
处的切线斜率，即函数在
x=1
处
的导数。
6
．函数
y
x
-
6
x
的极大值为（
）
A
．
4
2
B.
3
2
C.
-3
2
D.
-4
2
【答案】
A
【解析】
试题分析：
y
3
x
-
6
，令
y
3
x
-
6
=0
得：
x
2
，由
y<
/p>
3
x
-
6
>0
得：
'
2
'
2
'
2
3
x
2
或
x
-
2
；由
y
'
3
x
2
-
6
<0
得：
-
2
x
2
,
所以
f(x)
在
-
,-
2
和
2
,
单调递增，在
-
2<
/p>
,
2
上单调递减，所以
< br>x=-
2
时，
f(x)
由极大值，极大
值为
4
2
。<
/p>
考点：利用导数求函数的极值。
点评：本题考查函数的极值的求法，解题的关键是看出函数在哪一个点取得极值，代入
求出结果，是一个基础题型。
7
．曲线
y
ax
3
2
在点
x
1
处切线的倾斜角为
45
，那
么
a
的值为
(
)
A
．
<
/p>
1
B
．
1
【答案】
C
【解析】
试题分析：因为
y
ax
3
2
，所以
y
3
ax
，
f
-
1
3
a
。因为在点
x
1
处切线的
'
2
< br>'
1
C
．
3
1
D
．
3<
/p>
倾斜角为
45
，所以
3
a
1
,
即
a
<
/p>
1
。
3
考点：导数的几何意义。
点评：导数的几何意义就是：这一点的导数就是这一点切线的斜率。我们一定要灵活应
用这一条。
8
．函数<
/p>
f
(
x
)
ax
bx
cx
d
图象如图，则函数
y
ax
2
间为（
）
3
< br>2
2
c
bx
的单调递增区
3
3
试卷第
3
页，总
16
页
y
0
－
2
3
x
A
、
(
,
2
]
B
、
[
3
,
)
C
、
[
2
,
3
]
D
、
[
,
)
【答案】
D
【解析】
试题分析：
因为题目中给出函数
f
(
x<
/p>
)
ax
bx
cx
d
的图像，
那么结合图像可知，
3
2
1
2
2
b
3
2
3
a
2<
/p>
f
'(
x
)
3
ax
2
bx
c
-2
和
3
是导数为零的两个根，即
，得到
a,b,c
c
6
3
2
c
bx
< br>
ax
2
ax
6
，再结合函数的单调性可知
3
3
1<
/p>
1
a>0
，那么结合二次函数的性质可知
,
对称轴
x=
,
故得到结论
[
,
)
，选
D.
< br>
2
2
的关系式，那么可知函数
y
ax
2<
/p>
考点：本题主要是考查函数极值点和单调性与函数的导数之间的
关系．属基础题．
点评：
解决该试题
的关键是根据图像得到极大值点和极小值点的坐标，
从而得到
-
2
和
3
是导数为零的两个根，然后得到
a,bc
的关系式进而求解结论。
<
/p>
9
．已知某生产厂家的年利润
y
（单位：万元）与年产量
x
（单位：万件）的函
数关系式
为
y
1
3
x
81
x
23
4
，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为
(
)
3
A.
13
万件
B.
11
万件
C.
9
万件
D.
7
万件
【答案】
C
【解析】
2
试题分析：令导数
y′=
-x
+81<
/p>
＞
0
，解得
0<
/p>
＜
x
＜
9
；
2
令导数
y′=
-x
+81
＜
0
，解得
x
＞
9
，
所以函
数
y=-
1
3
x
+81x-234
在区间（
0
，
9
）上是增函数，
3
在区间（
9
，+∞）上是减函数，所以在
x=9
处取极大值，也是最大值，
故选
C
考点：本题主要考查了导数在实际问题中的应用，属基础题．
点评：解决该试题的关键是由题意先对函数
y
< br>进行求导，解出极值点，然后再根据函数
的定义域，把极值点和区间端点值代入已
知函数，比较函数值的大小，求出最大值即最
大年利润的年产量．
10
．
函数
y
=
x
-
3
x
-
9
x
(
-
2
<
x
<
2
)
有（
）
3
2
A.
极大值
5
，极
小值－
27 B.
极大值
5
，极小值－
11
C.
极大值
5
，无极小
值
D.
极小值－
< br>27
，无极大值
【答案】
C
【解析】
试题分析：
y
3
x
6
x
9
，令
y
0
，有
x<
/p>
1
，或
x
3,
又因为<
/p>
2
x
2
，所
试卷第
4
页，总
16
页<
/p>
2
以函数在
2,
1<
/p>
上单调递增，在
(
1,
2)
上单调递减，所以在<
/p>
x
1
处有极大值
5
，
无极
小值
.
考点：本小题主要考查利用导
数求函数的极值，考查学生的运算求解能力
.
点评：利用导数求解单调性进而求极值和最值，千万不要忘记函数本身的定义域
.
11
．
已
知函数
f
(
x
)
的导函数为
f
(
x
)
，
且满足
f
(
x
)
2
xf
(1)
ln
x
，
则
f
<
/p>
(
1
)
（
）
A
．
e
B
．
e
C
．
1
D
．
1
【答案】
D
【解析】
试题分析：
题中的条件
f
(
x
)
2
xf
(1)
ln
x
乍一看不知如何下手，
但只要明确了
f
(
1
)
是一个常数，问题就很容易解决了。对
f
(
x
)
进行求导：
f
(
x
)
=
2
f
'
(1)
'
1
，所以
x
1
f
(1)
2
f
'
(1)
，
f
(1)
-1.
1
考点：本题考查导数的基本概念及求导公式。
点评：
在做本题时，
遇到的主要问题是①想不到对函数
f
(
x
)
进行求导；
②
f
(
1
)
的导数
不知道是什么。实
际上
f
(
1
)
是一个常数，常数的导数是
0.
12
．设函数
y
f
(
x
)
可导，
y
f
(
x
)
的图象如图
1
所示，则导函数
y
< br>
f
(
x
)
的图像
可能为（
）
y
O
图
1
'
'
y
y
y
y
x
O
A
x
O
B
x
O
C
x
O
D
x
【答案】
A
【解析】根据导函数的图像可知，原函数在
y
轴左侧先减后增，
在
y
轴右侧先减后增再
减再增，那么符
合题意的只有选项
A
。
13
．
f
x
是
f
(
x
)
的导函数，
f
x
的图象如右图所示，则
f
(
x
)
的图象只可
能是
A
B C D
【答案】
D
【解析】解：因为根据导数的几何意义可知，原函数递增，并且导数值由小的正数变为
大
的正数，再变小，因此原函数的图像可能是
D.
14
．如图是导函数
y
<
/p>
f
(
x
)
的图象，那么函数
y
f
(
x
)
在
下面哪个区间是减函数
试卷第
5
页，总
16
页
/
( )
A.
(
x
1
,
x
3
)
B.
(
x
2
,
x
4
)
C.
(
x
4
,
x
6
)
D.
(
x
5
,
x
6
)
【答案】
B
【解析】解：因为导数的正负反应了函数的增减区间，因此可知图像上满足题意的有
(
x
2
,
x
4
)
，选
B
15
．
曲线
y
x
2
和曲线
y
2
x
围成的图形面积是（
）
A.
1
3
B.
2
3
C.
1
D.
4
3
【答案】
A
【解析】
解：
因为定积分的几何意义可
知，
曲线
y
x
2
和曲线
y
2
x
围成的图形面积是
为
1
< br>0
(
x
x
2
)dx
1
3
，选
A
2
16
．
.
若
f
(
x
)
2
xf
'(1)
x
，则<
/p>
f
'(0)
等于（
）
A.
4
B.
2
C.
0
D.
2
【
答
案
】
A
【
解
析
】
.
f
(
x
)
< br>2
f
x
2
x
2
,
x
[
1
,
1
],
17
．设
f
(
x
)
，则
f
(
x
)
dx
（
）
1
2
x
,
x
[
1
,
< br>2
],
A.
7
5
4
3
B.
C.
D.
6
5
4
6
1
3
1
1
2
2
2
1
7
f
(
x
< br>)
dx
x
dx
(2
x
)
dx
x
|
(2
x
x
)
|<
/p>
1
.
1
1
1
1
3
< br>2
3
2
6
2
1
2
2
【
答
案
】
A <
/p>
【
解
析
】
18
．函数
y
x
ln
x
的单调减区间是
(
)
A.
,
1
B.
0
,
1
C.
1<
/p>
,
D.
0
,
2
【答案】
B
【解析】
解：
因为
y'
1
1
x
1
故函数
y
x
ln
x
的
(
x
0)
y
'
0
0<
/p>
x
1
，
x
x
试卷第
6
页，总
16
页
单调减区间是
0
,
1
，选
B
19
．下
图中
,
阴影部分的面积是
(
)
y
x<
/p>
4
4
－
2
A
、
16
B
、
18
C
、
20
D
、
22
【答案】
B
【解析】解：因为影部分的面积是
S
y
2
2
x<
/p>
[
2
8
2x
(x
4)]dx
18
，
选
B
20
．
已知直线
y
kx
是曲线
y
ln
< br>x
的切线，则
k
的值为（
）
A.
1
1
2
2
B.
C.
D.
e
e
e
e
【答案】
A
【
解
析
】
解
：
因
为
直
线
y
kx
是
曲
线
y
ln
x
的
切<
/p>
线
，
因
此
y
'
|
x
x
0
1
1
1
k
x
0
,
y
0
<
/p>
ln
k
1
k
选
A
x
0
k
e
21
．以下四图，都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像，其中一定不正确的序号
是
（
）
A
．①、②
B
．①、③
C
．③、④
D
．①、④
【答案】
C
【解析】解：因为根据导数的正负与函数单调性的关系可以判定，能符合条件的只有
B,
D
，而
A,C
不符合，故选
C.
22
．
已
知
函
数
y
f
(
x
)
的
图
象
在
点
（
1<
/p>
，
f
(
1
)
）
处
的
切
线
方
程
是
x
2
y
1
0
,
则
f
(<
/p>
1
)
2
f
(
1
)
的值是（
）
A
．
1
B
．
1
2<
/p>
C
．
3
D
．
2
2
【答案】
D
【
解
析
】
解
：
因
为
函
数
y
f
(
x
)
< br>的
图
象
在
点
（
1
，
f
(
1
)
）
处
的
切
线
方
程
是
试卷第
7
页，总
16
页
x
2y
1
0
则
f
(1)+2f'(1)=1+1=2
f
(
1
)
=1
，
故所求解的值为
2
，选
D
23
．已知函数
f
x
的定义域为
2,
，部分对应值如下表，
f
'
x
为
f
x
的导函
数，函数
y
f
'
x
的图象如图所示．若实数
a
满足
f
a
1
，则
a
的
取值范围是（）
x
f
x
2
1
0
4
1
1
A
．
2,0
B
．
0,1
C
．
<
/p>
2,4
D
．
[
2,
4)
【答案】
C
【解析】解：由导函数的图象得，函数
f
（
x
）在
[-2
，
< br>0]
上递减，函数值从
1
减小到
-1
，
在<
/p>
[0
，
4]
上递
增，且函数值从
-1
增大到
1
，故
f
（
a
）＜
1
⇒
-2
＜
a
＜
4
，选
C
15
x
<
/p>
9
都相切，
则
a
等于
（
）
4
25
21
7
25
7
A
．<
/p>
1
或
-
B
．
1<
/p>
或
C
．
或
-
D
．
或
7
4
4
64
4
64
24
．
若存在过点
(1,0)
的直线与曲线
y
x
和
y<
/p>
ax
2
3
【答案】
A
<
/p>
3
2
3
3
3
【解析】
解：
由<
/p>
y=x
⇒
y'=3x
，
设曲线
y=x
上任意一点
（
x
0
，
x
0
）
处的切线方程为<
/p>
y-
x
0
=3
x
0
（
x-x
0
）
，
（
1
，
0
）
代入方程得
x
0
=0<
/p>
或
x
0
=
x-9=0
，△
=(
2
3
2
15
①
当
x0=0
时，
切线方程为
y=0
，
则
ax
+
2
4
15
2
25
)
-
4a×(
-9)=0
⇒
a=
<
/p>
4
64
2
②当<
/p>
x0=3 2
时，切线方程为
y=27
4 x-27 4
，由
y=ax
+
y=
15
x-9
4
27
27
9
9
25
2<
/p>
2
x-
⇒
ax
-3x
=0
，△
=3
-4a(
)=0
⇒
a=-1<
/p>
∴
a=
或
a=-1
．
4<
/p>
4
4
4
64
3
2
故答案为选
A
25
．已知
f
(
x
)
<
/p>
2
x
6
x
m
（
m
为常数）在
［－
2
，
2
］
上有最大值
3
，那么此函数在
< br>［－
2
，
2
］上的最小值是（
）
A.
－
37
B.
－
29
C.
－
5
D.
以上都不对
【答案】
A
2
2
【解析】解：由已知，
f
′（
x
）
=6x
-12x
，有
6x
-
12x
≥
0
得
x
≥
2
或
x<
/p>
≤
0
，
因此当
x
∈
[2
，
+
∞）
，
（
-
∞，
0]
时
f
（
x
）为增函数，在
x
∈
[0
，
2]
时
f<
/p>
（
x
）为减函数，
又因为
x
∈
[-2
，
2]
，
所以得
当
x
∈
[-2
，
0]
时
f
（
x
）为增函数，在
x
∈
[0
，
2]
时
f
（
x
）为减函数，
所以
f
（
x
）
max=f
（
0
）
=m=3
，故
有
f
(
x
)<
/p>
2
x
6
x
m
试卷第
8
页，总
16
页
3
2