圆锥的侧面积、全面积
常德小吃-
圆中的计算问
题
【知识梳理】
（一）弧长和扇形的面积
1.
弧长的计算公式
如果弧长为
l
，圆心角度数为
n
，
圆的半径为
r
，那么，弧长的计算公式为：
．
2.
扇形的面积公式
如果设圆心角是
n
°的扇形面积为
S
，圆的半径为
r
，那么扇形面积为
说明：
⑴对于弧长公式和扇形面积公
式，无须死记硬背，应在明确其“来历”的基础上理解掌握．
⑵在应用弧长公式
或扇形面积公式
进行计算时，要注意公式中的
的意义，
表
示
1
°的圆心角的倍数，因此不带单位．
⑶扇形的另一个面积公式
（二）圆锥的侧面积和全面积
与三角
形的面积公式有些类似．
形式基本一样，
可以
< br>联系起来记忆．
如图，我们把圆锥底面圆周上任意一点
与圆锥顶点的连线叫做圆锥的
母线
．连结顶点与底面圆心的线<
/p>
段叫做圆锥的
高
．
如图，沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到一
个扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周
长，而扇形的半径等于圆锥的母线的长．
圆锥的侧
面积就是弧长为圆锥底面的周长
、
半径为圆锥的一条母线的长的扇形面积，
而圆锥的全面积
就是它的侧面积与它的底面积的和．
说明
：
⑴研究圆锥的侧面积和全面积，必须先将其展开．圆锥的侧面展开图是扇形，这个扇形
的半径
是圆锥的母线长，弧长是圆锥底面圆的周长．
⑵若设圆锥的母线长为
，底面半径为
，则圆锥的
侧面积就是其展开图——扇形的面积，
；圆锥的全面积是侧面积与底面积的和，是
长，还可以求得扇形的圆心角．
【典型例题】
[
来源:Z§xx§]
．另外，知道扇形的半径和弧
例
1.
如图，一块长为
8
的正方形木板
ABCD
，
在水平桌面上绕点
A
按逆时针方向旋转到
ADEF
的位置，
则顶点
C
从开始到结束所经过的路径长为（
）
A. 16
；
B.
16
；
C. 8
；
D. 4
分析：
在旋转过程中，
AC
的长度保
持不变，所以顶点
C
从开始到结束所经过的路径长是以
A
为圆心，
AC
长为半
径的
90
°的弧长，因为
AC
＝
8
，所以，
，故选
D
．
例
2.
如图，⊙
A
、⊙
B
、⊙
C
、⊙
D
互相外离，它们的半径都是
1
，顺
次连结四个圆心得到四边形
ABCD
，
则图中四边形内的四个扇形面积之和为（
）
A.
2
；
B.
；
C.
；
D.
分析：
根据题中的条件无法求出四个
扇形的圆心角的度数，因而从整体考虑，可以发现四个扇形的圆
心角分别是四边形的四个
内角，所以四个扇形的圆心角的度数之和为
360
°，故选
B
．
例
3.
如图，如果圆锥的底面圆的半
径是
8
，母线长是
15
，那么这个圆锥侧面展开图的扇形的圆心角的
度数是
．
[
来源<
/p>
:
学科网
]
分析：
由圆锥的底面圆的半径是
8
，可以求出底面圆的周长，也就是扇形
C
AB
的弧长，再利用弧长公
式
即可求扇
形的圆心角的度数．
解：
∵圆锥底面
圆的半径是
8
，
∴
∵母线长为
15
∵
∴
∴圆心角的度数为
192
°．
例
4.
如图，一把
< br>纸扇完全打开后，外侧两竹条
AB
和
AC
的夹角为
120
°，
AB
长为
25cm
，贴
纸部分的宽
BD
为
17cm
，则贴纸部分的面积为
_______
．
（结果保留
π
）
分析：
扇形面积公式有两个，一是<
/p>
，另一个是
，贴纸部分的面积实际是由两个扇
形的面积相减所得．
由解意很容易列出关于所求贴纸部分的面积：
< br>
π
（
cm
）
．
[
来源
:]
＝
187
2
例
5.
如图
1
，在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图
2<
/p>
所示的一个圆锥模型．设
圆的
半径为
r
，扇形半径为
R
，则圆的半径与扇形半径之间的关系为
A.
R
＝
2r
B. R
＝
r
C.
R
＝
3r
D. R
＝
4r
分析：
注意题中的“底面圆的半径”
与“扇形的半径”是两个不同的概念．要找到圆的半径与扇形半
径之间的关系，需要得到
一个等量关系，由圆锥的有关概念，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，可
得
2
π
r
＝
π
R
∴
R
＝
4r
∴答案选
D
例
6.
如图所示，半径是
10cm
的圆纸片，
剪去一个圆心角是
120
°的扇形（图中阴影部分）
，用剩下部
分围成一圆锥，求圆锥的高和底面圆的半径．
< br>
分析：
首先，根据题意画出
圆锥体的示意图，从图中可知，要
求圆锥的底面圆的半径需求出其所在圆
的周长，而底面圆的周长为左图中剩下扇
形的弧长，这样转化到求弧长的问题；
关于圆
锥的高，
只要由底
面半径与圆锥
的母线
长构造直角三角形即可．
解：
如答图中的甲、乙图，∵
n
＝
360
°－
120
°＝
240
°，
R
＝
10cm
，如图（甲）所示，
（
cm
）
如图乙中连结
O
′
P
，则
O
′
P
⊥
CD
，设⊙
O
′半径为
r
< br>，
∵
，
∴
，∴
r
＝
（
cm
）
∴
O
′
P
＝
（
cm
）
例
7.
已知矩形
ABCD
中，
AB
＝
1cm
，
BC
＝
2cm
，以
B
为圆心，<
/p>
BC
长为半径作
延长线于
E
，求阴影部分面积．
圆弧
交
AD
于
F
，
交
B
A
的