导数在求极值和最值中的应用
秋瑾诗词-
简易逻辑
教
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2014.
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数学
上课时间
级
阶
基础（）
提高（
）
强化（
）
课时计划
第（
）次课
共（
）次课
段
教
学
目
标
教
学
难
点
导数在求极值和最值中的应用
教
学
过
程
知识要点
一、
函数的极值
函数
f
(
x
)
在点
x
0
附近有定义，如果对
x
0
附近的所有点都有
f
(
x
)
<
/p>
f
(
x
0
),
则称
f
(
x
0
)
1
简易逻辑
是函数的一个极大值，
记作
y
极大值<
/p>
=
f
(
x
0
)
；
如果对
x
0
附近的所有点都有
f
(
x
)
f
(
x
0
),
则
称
f
(
x
0
)
是函数的一个极小值，
记作
y
极小值
=
f
(
x
0
).
极大值与极小值统称为极
值，
称
x
0
为
极值点．
二、
求函数的极值的三个基本步骤
1)
求导数
f
'(
x
)
；
2)
求方
程
f
'(
x
)
0
的所有实数根；
< br>
3)
检验
< br>f
'(
x
)
在方程
f
'(
x
< br>)
0
的根左右的符号，
如果是左正右负
（左负右正）
，
则
f
(
x
< br>)
在这个根处取得极大（小）值．
三、
求函数最值
1)
求函数
f
(
x
)
在区
间
(
a
,
b<
/p>
)
上的极值；
2)
将极值与区间端点函数值
f
(
a
),
f
(
b
)
比较，其中最大的一个就是最大值，最小的
一个就是最小值．
例题精讲
【例
1
】
<
/p>
若函数
f
(
x<
/p>
)
＝
x
3
－
6
bx
＋
3
b
在
(0,1)
内有极小值，则实数
b
的取值范围是（
）
A
．
(0,1)
B
．
(
－
∞
，
1)
1
D
．
(0
，
)
2
C
．
(0
，＋
∞)
【例
2
】
<
/p>
直线
y
＝
a
与函数
f
x
x
3
3
x
的图象有相异的
三个公共点，则
a
的取值范围是
___
_____
．
2
简易逻辑
【例
3
】
<
/p>
函数
f
(
x
)
＝
ax
3
－
3
x
＋
1
对于
x
∈
[
－
1,1]
总有
f
x
≥
0
成立，则
a
的取值为
(
)
A
．
[2
，＋
∞)
C
．
{4}
π
1
0
，
上的值域为
(
)
【例
4
】
<
/p>
函数
f
x
e
x
sin
x
cos
x
在区间
2
2
1
1
< br>
1
1
A
．
，
e
2
B
．
，
e
2
C
．
1
，
e
2
D
．
1
，
e
2
2
2
< br>2
2
B
．
[4<
/p>
，＋
∞)
D
．
[2,4]
【例
5
】
<
/p>
设函数
f
(
x<
/p>
)
2
x
1
1(
x
0)
，则
f
(
x
)
（
）
x
C
．是增函数
D
．是减函数
A
．有最大值
B
．有最小值
)
内
有
定
义
．
对
于
给
定
的
正
< br>数
K
，
定
义
函
数
【例
6
】
设
函<
/p>
数
y
f
(
x
)
在
(
，
f
(
x
)
< br>f
(
x
)
≤
K
f
K
(
x
)
，
K
f
(
x
)
K
< br>)
，恒有
f
K
< br>(
x
)
f
(
x
)
，
则（
）
取函数
f
(
x
)
2
x
e
x
，若对任意的<
/p>
x
(
，
A
．
K
的最大值为
2
B
．
K
的最小值为
2
C
．
K
的最大值为
1
D
．
K
的最小值为
1
【例
7
】
下列说法正确的是（
）
A
．函数
在闭区间上的极大值一定比极小值大
B
．函数在闭区间上的最大值一定是极大值
C
．满足
f
(
x
)
0
的点可能不是函数的极值点
b
)
上一定存在最值
D
< br>．函数
f
(
x
< br>)
在区间
(
a
< br>，
【例
8
】
<
/p>
已知函数
f
(
x
)
e
x
a
ln
x
的定义域是
D
，关于函数
f
(
x
)
给出下列命题：
①
对于任意
a
0
,
< br>
，函数
f
(
< br>x
)
是
D
上的减函数；
3
简易逻辑
②
对于任
意
a
,
0
，函数
f
(
x
)
存在最小值；
③
存在
a
<
/p>
0
,
，使得对于任意的
x
D
，都有
f
(
x
)
0
成立；
④
存在
a
<
/p>
,
0
，使得函数
f
(
x
)
有两个零点．
其中正确命题的序号是
_____
．
（写出所有正确命题的序号）
．
x
2
a
【例
9
】
若函数
f
x
在
x
＝
1
处取极值，则
a
＝
________
．
x
1
【例
10
】
已知函数
f
x
=
x
ln
x
．
(1)
求
f
x
的最小值；
(
2)
讨论关于
x
的方程
f
x
m
0
(
m
∈
R)
的
解的个数．
【例
11
】
已知
a
≥
0<
/p>
，函数
f
(
x<
/p>
)
(
x
2
2
ax
)
e
x
，当
x
为何值时，
f
(
x
)
取得最小值？
【例
12
】
设
a
R
，函数
f
(
x
)
ax
3
3
x
2
．
（
1
）若
x
2
< br>是函数
y
f
< br>(
x
)
的极值点，求
a
的值；
x
[0
，
2]
在
x
0
处取得最大值，求
a
的取值范围．
（
2
）若函数
g
< br>(
x
)
f
(
x
)
f
(
x
)
，
2]
时的最大值为
1
，求
a
的值．
（
3
）若函数
g
(
x
)
f
(
x
)
f
(
x
)
在
x
[0
，
x
[
e
，
0)
．
【例
13
】
已知
f
(
x<
/p>
)
ax
ln(
x
)
，
（
1
）当
a
1
时，讨论
f
(
x
)
的单调性、极值；
4
简易逻辑
（
2
）是否存在实数
a
，使
f
(
x
< br>)
的最小值是
3
，如果存在，求
出
a
的值；若不存在，
请说明理由．<
/p>
【例
14
】
设
x
3
是函数
f
(
x
)
(
x
2
ax
b
)e
3
x
(
x
< br>R
)
的一个极值点．
（
1
）求
a
与
b
的关系式（用
a
表示
b
）
，并求<
/p>
f
(
x
)
的单调区间；
25
2
<
/p>
[0
，
4]
使得
f
(
1
)
g
(
2
)
1
成立，
（
2
）
设
a
< br>0
，
g
(
x
)
a
2
e
x
．
若存在
1
，
4
求
a
的取值范围．
e
)
，且
f
(
x
)
有极值．
【例
15
】
已知函数
f
(
x
)
ax
ln
x
，
x<
/p>
(1
，
（
1
）求实数
a
的取
值范围；
（
2
）求函数
f
(
x
)
的值域；
e
< br>)
，
x
0
(1
，
e
)
，使得
g
(
x
0
)
<
/p>
f
(
x
1
)
成
（
3
）函数
g
(
x
)
x
3
x
2
，证明：
x
1
< br>
(1
，
立．
< br>
5
简易逻辑
【例
16
】
已知函数
f
x
ln
x
ax
1<
/p>
a
1
a
R
．
x
1
（
1
）
当
a
≤
时，讨论
f
x
的单调性；
2
< br>（
2
）
设
g
x
x
2
2
bx
4
．当
a
1
时，若对任意
x
1
<
/p>
0
，
2
，存在
x
2
1
，
2
，
4
使
f
x
1
≥
g
x
2
，求
实数
b
取值范围．
【例
17
】
设函数
f
x
ln
x<
/p>
ln
2
x
ax
a
0
（
1
）当
a
< br>1
时，求
f
< br>x
的单调区间；
（
2
）若
f
x
在
< br>
0
，
1
上的最大值为
【例
18
】
设曲线
y
e
x
(
x
≥
0)
在点
M
(
t
，
e
t
)
处的切线
l
与
x
轴，
y
轴所围成的三角形的面积
为
< br>S
(
t
)
，
（
1
）
求切线
l
的方程；
（
< br>2
）求
S
(
t
)
的最大值．
1
，求
a
的值．
<
/p>
2
3
【例
19<
/p>
】
已知函数
f
(
x
)
x
3
mx
2
n
，
1
m
2
，
2
6