几何体的表面积和体积求法
平平淡淡的反义词-
几何体的表面积与体积问题
之前已经学过空间几何体的相关概念，知道什么是多面体什么
是旋转体。然后它们之间的一系列转化也
已经了解，那么我们知不知道这些几何体的表面
积或者是体积怎么求，本节课主要就是学习这块的内容。
在初中
我们已经知道圆柱的体积是底面积乘以高，然后圆锥的体积需要乘以
一些其它的几何体的
表面积和体积。
1
。所以这边我们先
要了解
3
1
．
圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
侧面
展开图
侧面
积公式
S
圆柱侧
＝
2
π
rl
S
圆
锥侧
＝
π
rl
S
圆台侧
＝
π
(
r
＋
r
′)
l
圆柱
圆锥
圆台
2.
空间几何体的表面积与体积公式
名
称
几何体
柱体
(<
/p>
棱柱和圆柱
)
锥体
(
棱锥
和圆锥
)
表面积
体
积
S
表面积
＝
S
侧
＋
2
S
底
V
＝
S
底
h
1
V
< br>＝
S
底
h
3
S
表面积
＝
S
侧
＋
S
底
1
台体
(
棱台
和圆台
)
球
S
表面积
＝
S
侧
＋
S
上
＋
S
下
S
＝
4
π
R
2
1
V
＝
(
S
上
＋
S
下
3
＋
S
上
S
< br>下
)
h
4
V
＝
π
R
3
3
一些总结
1
．
辨明两个易误点
(1)
求组合体的表面积时，要注意各几何体重叠部分的处理．
(2)
底面是梯形的四棱柱侧放时，容易和四棱台混
淆，在识别时要紧扣定义，以防出错．
2.
求空间几何体体积的常用方法
<
/p>
(1)
公式法：
直接根据相关的体积公式
计算．
(2)
等积法：
根据体积计算公式，通过转换空间几何体的底面和高使得体积计算更容易，或是求出一些
体积比等．
(3)
割补法
：
把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形，转化为可计算体积的几何体
1
．如图，一个空间几何体的正
(
主
)
视图、侧
(
左
)
视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形
，如果直角三
角形的直角边长为
1
，那
么这个几何体的体积为
(
)
A
．
1
1
C.
3
1
B
．
2
1
D
．
6
1
1
1
< br>1
D
[
解析
]
由
三视图可知
，
该几何体为三棱锥
，
V
＝
Sh
＝
×
×
1
×
1
×
1
＝
，
故选
D
．
< br>
3
3
2
6
2
2.(2015·
高考陕西卷
)
一个几何体的三视图如图所示，则
该几何体的表面积为
(
)
A
．
3<
/p>
π
C
．
2
π
＋
4
D
[
解析
]
由
几何体的三视图可知
，
该几何体为半圆柱
，
直观图如图所示．
1
表面积为
2
×
2
＋
2
×
×
π
×
1
2
< br>＋π
×
1
×
2
＝
4
＋
3
π
.
2
重难点解析：
B
．
4
π
D
．
3
π
＋
4
主要的难点在于如何由三视图来转
化为原来的几何体，然后进而求解几何体的表面积和体积。其中几何体
的表面积比较难求
。
3.
教材习题改编
直角三角形三边长分别是
3
cm
、
4
cm
、
5 cm
，绕两直角边旋转一周
分别形成两个几何
体，则其侧面积分别为
________
、
________.
[
答案
]
20
π
cm
2
15
π
cm
2
<
/p>
4
．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
________
．
1
16
[<
/p>
解析
]
由三视图可知
< br>，
该几何体是一个圆柱挖去了一个圆锥
，
其体积为
π
×
2
2
×
2
－
< br>π
×
2
2
×
2
＝
π.
3
3
[
答案<
/p>
]
16
π
3
重难点解析：
3
主要
了解旋转体的结构，然后把控好求解的表面积和体积（注意单位）
学法总结：
1
、首先是要知道空间几何体的表面积和体积公式；
2
、然后熟练的知道该几何体是哪一种类型的。
空间几何体的表面积
[
典例引领
]
(1)(2016·
高考全国卷乙<
/p>
)
如图，
某几何体的三视图是三个半径相
等的圆及每个圆中两条互相垂直
28
π
的半径．若该几何体的体积是
，则它的表面积是
(
)
3
A
．
17
π
C
．
20
π
B
．
18
π
D
．
28
π
(2)(2015·
高考福建卷
)
某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于
(
)
A
．
8
＋
2
2
B
．
11
＋<
/p>
2
2
C
．
14
＋
2
2
D
．
15
1
【
解析
】
<
/p>
(1)
由三视图可得此几何体为一个球切割掉
后剩下的几何体
，
8
4
7
4
28
7
3
设球的半径为
r
，
故
×
π
r
3
＝
π<
/p>
，
所以
r
＝
2
，
表面积
S
＝
×
4
π
r
2
＋
π
r
2
＝
17
π
，
选
A.
< br>
8
3
3
8
4
(2)
由三视图知
，
该几何体是一个直四棱柱
，
上、下底面为直角梯形
，
如图所示．
直角梯形斜腰长为
1
2
＋
1
2
＝
2
，
所以底面周长为
4
＋
2
，
侧面积为
2
×
(4
＋
2)
1
＝
8
＋
2
2
，
< br>两底面的面积和为
2
×
×
1
×
(1
＋
2)
＝
3
，
所以该几何体的表面积为
8
＋
2
2
2
＋
3
＝
11
＋
2
2.
【
答案
】
(1)A
(2)B
空间几何体表面积的求法
(1)
以三视图为载体的几何体的表面积问题
，
关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及
数量关
系．
(2)
多面体的表面积是各个面
的面积之和；组合体的表面积问题注意衔接部分的处理．
(3
)
旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．
[
通关练习
]
1
．
(2017·
合肥市第一次教学
质量检测
)
在一圆柱中挖去一圆锥所得的机械部件的三视图如图
所示，则此
机械部件的表面积为
(
)
A<
/p>
．
(7
＋
2
)π
22
π
C.
7
B
．
(8
＋
2
)π
D
．
(1
＋
2
)π
＋
6
A
[
解析
]
由
题意得
，
挖去的圆锥的底面半径
r
＝
1
，
母线
l
＝
2
，
所以该机械部件的表面积
S
＝
π
×
1
2
＋
2π
×
1
×
3
＋
π
×
1
×
2
＝
(7
＋
2
)π.
2
．
(2017·
河北省衡水中学模拟
)
如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于
(
)
5
A
．
34
＋
6
5
B<
/p>
．
6
＋
6
5
＋
4
3
C
．
6
＋
6
5
＋
4
< br>13
D
．
17
＋
6
5
A
[
解析
]
由
三视图得该几何体的直观图如图
，
其中
，
ABCD
为矩形
，
< br>AD
＝
6
，
AB
＝
2
，
平面
P
AD
⊥
平
1
1
面
A
BCD
，
△
P
AD
为等腰三角形
，
且此四棱锥的高为
4
，
故该几何体的表面积等于
6
×
2
＋
2
×
×
2
< br>×
5
＋
×
2
2
1
6
×
2
5
＋
×
6
×
4
＝
34
＋
6
5.
2
空间几何体的体积
(
高频考点
)
空间几何体的
体积是每年高考的热点，多与三视图结合考查，题型多为选择题、填空题，难度较小．
高考对空间几何体的体积的考查常有以下三个命题角度：
(1)
求简单几何体的体积；
(2)
求组合体的体积；
(3)
求以三视图为背景的几何体的体积．
[
典例引领
]
(1)(2015·
高考全国卷
Ⅱ
)
一个正方体被一个平面截去一部分后，
剩余部分的三视图如图，则截去
部分体积与剩余部分体积的比值为
(
)
1
A.
8
1
C.
6
1
B
．
7
1
D
．
5
(2)(2016·
高考北京卷
)
某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
(
)
1
A
.
6
1
C
.
2
1
B
．
3
D
．
1
6
【
解析
】
<
/p>
(1)
由已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个
“
大角
”
后剩余的部
分
，
如图所示
，
1
1
1
截去部分是一个三棱锥．设正
方体的棱长为
1
，
则三棱锥的体积为<
/p>
V
1
＝
×
×
1
×
1
×
1
＝
，
3
2
6
1
1
5
V
1
6
1
剩余部分的体积
V
2
＝
1
3
－
＝
.
所以
＝
＝
.
6
6
V
2
5
5<
/p>
6
(2)
由三
视图可得该几何体的直观图为三棱锥
A
BCD
< br>，
将其放在长方体中如图所示
，其中
BD
＝
CD
＝
1
1
1
1
，
CD
⊥
BD
，
三棱锥的高为
1
，
< br>所以三棱锥的体积为
×
×
1
×
1
×
1
＝
.
故选
A.
3
2
6
【
答案
】
(1)D
(2)A
求空间几何体体积的解题策略
(1)
求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台体<
/p>
，
则可直接利用公式求解．
(2)
求组合体的体积．若所给的几何体是组合体
，
不能直接利用公式求解
，
则常用转换
法、分割法、补
形法等进行求解．
(
3)
求以三视图为背景的几何体的体积
，
应先根据三视图得到几何体的直观图
，
然后根据条件求解．<
/p>
[
题点通关
]
角度一
求简单几何体的体积
1
．
(2015·
高考全国卷
Ⅰ
)
《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有
如下问题：“今有
委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：
“在屋内墙角处堆放米
(
如图，米堆
为
一个圆锥的四分之一
)
，
米堆底部的弧
长为
8
尺，
米堆的高为
5
尺，
问米堆的体积和堆放的米各为多少？”
已知
1
斛米的体积约为
1.62
立方尺，圆周率约为
3
，估算
出堆放的米约有
(
)
7
A
．
14
斛<
/p>
C
．
36
斛
B
．
22<
/p>
斛
D
．
66
斛
π
π
16
1
1
B
[
解析
]
设
米堆的底面半径为
r
尺
，
则
r
＝
8
< br>，
所以
r
＝
，
所以米堆的体积为
V
＝
×
π·
r
2
·
5
＝
2
4
3
12
π
< br>16
320
320
×
π
×
5
≈
(
立方尺
)
．故堆放的米约有
÷
1.6
2
≈
22(
斛
)
．故选
B
．
9
9
角度二
求组合体的体积
2.(2017·<
/p>
陕西西安第一次质量检测
)
某几何体的三
视图如图所示，则该几何体的体积为
(
)
4
A.
3<
/p>
5
B
．
2
7
C.
3
D
．
3
A
[
解析
]
根
据几何体的三视图
，
得该几何体是下部为直三棱柱
，
上部为三棱锥的组合
1
1
1
4
体
，
如图所示
，
则该几何体的体积是
V
几何体
＝
V
三棱柱
＋
V
三棱锥
＝
×
2
×
1
×
1
＋
×
×
2
×
1
×
1
＝
.
2
3
2
3
角度三
求以三视图为背景的几何体的体积
3
．
(2017·
湖南省东部六校联考<
/p>
)
一个几何体的三视图如图所示，
则该几
何体的体积为
(
)
2
A
．
π
π
C.
3
π
B
．
2
π
D
．
6
1
1
D
[
解析
]
由
图可知该几何体是一个底面圆的半径为
1
，
高为
1
的半圆锥体
，
故所求体积
V
＝
×
2
3
π
π
×
1
2
×
< br>1
＝
.
6
8
类型一
球的内切问
题
使用情景：有关球的内切问题
解题模
板：第一步
首先画出球及它的内切圆柱、圆锥等几何体，它们公共的轴截面；
第二步
然后寻找几何体与几何体之间元素的关系
第三步
得出结论
.
例
1
．如图
1
所示，在棱长为
1
的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切．
< br>（
1
）求两球半径之和；
（
2
）球的半径为多少时，两球体
积之和最小
．
图
1
【答案】（
1
）
R
3
3
3
3
；（<
/p>
2
）当
R
r
时，体积之和有最小值．
4
2
9
【点
评】此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面，而两个球的球心连线也应
在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面
，得如图
2
的截面图，在图
2
中，观察
R
与
r
和棱长间
的关系即可．
【变式演练
1
】
一个倒圆锥形容器
，
它的轴截面是正三角形，
在容器内注
入水，
并放入一个半径为
r
的铁球，<
/p>
这时水面恰好和球面相切．问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？
【答案】球取出后，圆锥内水平面高为
3
15
r
．
【解析】
[
来源
:]<
/p>
10
3
3
3
又
V
水
V
圆锥
V
球
，则
x
3
r
< br>
r
，解得
< br>x
3
15
r
．
1
9
4
3
答：球取出后，圆锥内水平面高
为
3
15
r
．
【点评】先作出轴截面，
弄清楚圆锥
和球相切时的位置特征，
利
用铁球取出后，锥内下降部分
(
圆台
)
的体积
等于球的体积，列式求解．
考点：空间几何体的体积；
【变式演
练
2
】在四面体
S
ABC
中，
AB
BC
,
AB
BC
2,
SA
SC
2
，二面角
S
AC
B
的余
弦值是
3
，则该四面体外
接球的表面积是（
）
3
A
．
8
6
B
．
6
C
．
24
D
．
6
【答案】
B
【解析】
11