2020年九年级数学中考复习专题训练：《四边形综合 》
冬至几月几日-
2020
年中考复习专题训练：《四边形综合
》
1
．已知：正方形
ABCD
，等腰直角三角板
的直角顶点落在正方形的顶点
D
处，使三角板绕点
D
旋转．
（
1
）当三角板旋转到图
1
的位置时，猜想
CE
与
AF
的数量关系，并加以证明；
（
2
）在（
1
）的条件下，若
DE
：
AE
：
CE
＝
1
：
：
2
，求∠
AED
的度数；
（<
/p>
3
）若
BC
＝<
/p>
4
，点
M
是边<
/p>
AB
的中点，连结
DM
< br>，
DM
与
AC
< br>交于点
O
，当三角板的边
DF<
/p>
与
边
DM
重合时
（如图
2
），若
OF
< br>＝
2
．
如图，
在平面直角坐标系中，
矩形
OABC<
/p>
边
OA
，
OC<
/p>
分别在
x
轴，
y
的正半轴上，
且
OA
< br>＝
8
，
，求
DN
的长．
OC
＝
6
，
连接
< br>AC
，
点
D
为
AC
中点，
点
< br>E
从点
C
出发以每秒
1
个单位长度运动到点
O
停止，
设运动时间为
t
秒（
0
＜
t
＜
6
），连接
DE
，作
DF
⊥
DE
交
OA
于点
F
，连接
EF
．
（
1
）当
t
的值为
时，四边形
DEOF
是矩形；
（
2
）用含
t
的代数式表示
线段
OF
的长度，并说明理由；
（
3
）当△
OEF
面积为
时，请直接写出直线
DE
的解析式．
3<
/p>
．
如图，
已知△
ABC
中，
AC
＝
BC
，
∠
ACB
< br>＝
90
°，
将△
ABC
绕点
B
逆时针方向旋转
得到△
PBQ
，
旋转角为
α，且
45
°＜α＜
90<
/p>
°．
（
1
）连接
AP
，
CQ
，则
＝
；
（
2
）若
QD
⊥
BC<
/p>
，垂足为点
D
，∠
BQD
＝
15
°，
< br>QD
与
PB
交于点
E
，∠
BEQ
的平分线
EF
交
AB
的延长
线于点
F
．
①求旋转角
α
的大小；
②求∠
F
的度数；
③求证：
EQ
+
EB
＝
EF
．
4
．思维探索：
在正方形
ABCD
中，
AB
＝
4
，∠
EAF
的两边分别交射线
CB
，
< br>DC
于点
E
，
< br>F
，∠
EAF
＝
45
°．
（
1
）如图
1
，当点
E
，
F
分别在线段
BC
，
CD
上时，△
CEF
的周长是
；
（
2
）如图
2
，当点
E
，
F
分别在
CB
，
DC
的延长线上，
CF
＝
2
时，求△
CEF
的周长；
拓展提升：如图
3
，在
Rt
△
ABC
中，∠
ACB
＝
90
°，
CA
＝
CB
，过点
B
作
BD
⊥<
/p>
BC
，连接
AD
，
在
BC
的延长线上取一点
E
，使∠
EDA
＝
30
°，连接
AE
，
当
BD
＝
2
，
∠
EAD
＝
45
°时，请直
接写出线段
CE
的长度．
5
．
如图
1
，
平面内有
一点
P
到△
ABC
的三个顶点的距离分别为
PA
、
P
B
、
PC
，
若
有
PA
2
＝
P
B
2
+
PC
2
，
则称点
P
为
△
ABC
关于点
A
的勾股点．
（
1
）如图
2
，在
4
×
5
的网格中，每个小正方形的边长均为
1
，点
A
、
B
、
C
、
< br>D
、
E
、
M
、
N
均在小正方形的顶点上，则点
E
是△
ABC
关于点
的勾股点；在点
M
、
N
、
D
三点中
只有点
是△
ABC
< br>关于点
B
的勾股点．
（
2
）如图
3
，
E
是矩形
ABCD<
/p>
内一点，且点
C
是△
ABE
关于点
A
的勾股点．
①求证：
CE
＝<
/p>
CD
；
②若<
/p>
DA
＝
DE
，∠
AEC
＝
135
°，求∠
ADE
的度数．
（
3
）如图
3
，矩形
ABCD
中，
A
B
＝
5
，
BC
＝
8
，
E
是矩形
ABCD
内一点，且点
C
是△
ABE
关于
点
A
的勾股点．
①当
AD
＝
DE<
/p>
时，求
AE
的长；
②直接写出
AE
+
BE
的最小值．
6
．已知点
F
是平行四边形
< br>ABCD
的边
CD
的中点，
BD
是对角线，
AG
∥
BD
交
CB
的延长线于
G
，
连接
DG
交
AB
于点
E
．
（
< br>1
）如图
1
，求证：
BF
＝
GE
；
（
2
）如图
2
，当四边形
AGBD
是
矩形时，请你确定四边形
BEDF
的形状并说明；
7
．（
1
）【发现证明】
如图
1
，在正方形
ABCD
中，点
E
，
F
分别是
BC
，
CD
边上的动点，且∠
EAF
＝
4
5
°，求证：
EF
＝
< br>DF
+
BE
．
< br>
小明发现，当把△
ABE
绕点
A
顺时针旋转
90
°至△
ADG
，使
AB
与
AD
重合时能够证明，请
你给出证明过程．
（
2
）
【类比引申】①如图
2
，在正方形
ABCD
中，如果点
E
，
F
分别是
CB<
/p>
，
DC
延长线上的
动点，且∠
EAF
＝
45
°，则（
1
）中的结论还成立吗？请写出证明过程
．
②如图
3
，如果点
E
，
F
分别是
BC
，
CD
< br>延长线上的动点，且∠
EAF
＝
45
°，则
EF
，
BE
，
DF
之间的数量关系是
（不要求证明）
（
< br>3
）【联想拓展】如图
1
，若正
方形
ABCD
的边长为
6
，
AE
＝
3
，求
AF
的长．
8
．四边
形
ABCD
中，
E
为边
BC
上一点，
F
为边
CD
上一点，且∠
AE
F
＝
90
°．
（
1
）如图
1
，若
ABCD
为正方形，
E
为
BC
中点，求证：
（
2
）若
ABCD
为平行四边形，∠
AFE
＝∠
ADC
，
①如图
2
，若∠
AFE
＝
60
°，求
的值．
＝
．
②如图
3
，若
AB
＝
BC
，
EC
＝
2
CF
，直接写出
cos
∠
AFE
值为
．
9
．（<
/p>
1
）问题：如图
1
，在
Rt
△
ABC
< br>中，∠
BAC
＝
90
°，
AB
＝
AC
，
D
为
BC
边上一点（不与点
B
，
C
重合），连接
AD
，过点
A
作
AE
⊥
AD
，并满足
AE
＝
AD
，连接
CE
．则线
段
BD
和线段
CE
的数量关系是
，位置关系是
．
（
2
）探索：如图
2
，当
D
点为
BC
边上一点（不与点
B
，
C
重合），
Rt
△
ABC
与<
/p>
Rt
△
ADE
均
为等腰直角三角形，∠
BAC
＝∠
DA
E
＝
90
°，
AB
＝
AC
，
AD
＝
AE
．试探索线段
BD
2
、
CD
2
、
DE
2
之间满足的等量关系，并证明你的结论；
（
3
）
拓展：
如图
3
，
在四边形
ABC
D
中，
∠
ABC
＝∠
ACB
＝∠
ADC
＝
45
°，
若
BD
＝
3
，
CD
＝
1
，
< br>请直接写出线段
AD
的长．
10
．已知：在△
ABC
< br>中，∠
C
＝
90
°，
BC
＝
AC
．
（
1
< br>）如图
1
，若点
D
、
E
分别在
BC
、
AC
边上，且
CD
＝
CE
，连接
AD
、
BE
，点
O
、
M
、
N
分别
是
AB
、
AD
、
BE
的中点
．求证：△
OMN
是等腰直
⻆
三角形；
（
2
）
将图
1
中△
CDE
绕着点
C
顺时
针旋转
90
°如图
2
< br>，
O
、
M
、
N
分别为
AB
、
AD
、
BE
中点，
则（
1
）中的结论是否成<
/p>
⽴
，并说明理由；
（
3
）
如图
3
，
将图
1
中△
CDE
绕着点
C
< br>顺时针旋转，
记旋转
⻆
为
α
（
0
＜α＜
360
°）
，
O
、
M
、
N
分别为
AB
、
AD
、
BE
中点，当
M
N
＝
，请求出四边形
ABED
的
⾯
积．
11
．
如图
，
在等边△
ABC
中，
AB
＝
6
cm
，
动点
P
从点
A
出发以
1
cm
/
s
的速度沿
AB
匀速运动．
动
点
Q
同时从点
C
出发以同样的速度沿
BC
的延长线方向匀速运动，
当点
P
到达点
B
时，
点
P
、
Q
< br>同时停止运动．
设运动时间为
t
（
s
）
．
过点
P
作
PE
⊥<
/p>
AC
于
E
，
连接
PQ
交
AC<
/p>
边于
D
．
以
CQ
、
CE
为边作
平行四边形
CQFE
．
（
1
）当
t
为何值时，△
BPQ
为直角三角形；
< br>
（
2
）是否存在某一时刻
t
，使点
F
在∠<
/p>
ABC
的平分线上？若存在，求出
t
的值，若不存
在，请说明理由；
（
3
）求
DE
的长．
12
．如图
1
，在矩形
ABCD
中，
AD
＝
4
，
CD
＝
2
，点
M
从点
A
出发向点
D
移动，速度为每秒
1
个
单位长度，点
N
从点
C
出发向点
D
移动，速度为每秒
2
个单位长度．两点同时出发，
且其中的任何一点到达终点后，
另一点的移动同时停止．
（
1
）若两点的运动时间为
t
，当
t
为何值时，△
AMB
～△<
/p>
DNA
？
（<
/p>
2
）在（
1
）的
情况下，猜想
AN
与
BM
的位置关系并证明你的结论．
（
< br>3
）
①如图
2
< br>，
当
AB
＝
CD
＝
2
时，
其他条件不变，
若
（
2
）
中的结论仍成立，
则
t
＝
．
②当
＝<
/p>
n
（
n
＞
1
）
，
AB
＝
2
时，
其他条件不变
，
若
（
2
）<
/p>
中的结论仍成立，
则
t
< br>＝
（用
含
n
的代数式表示）．
13<
/p>
．如图
1
，平面内有一点
P
到△
ABC
的三个顶点的距
离分别为
PA
、
PB
< br>、
PC
，若有
PA
2
+
PB
2
＝
PC
2
，则称点
P
为△
ABC
关于点
C
的勾股点．
（
1
）
如图
2<
/p>
，
在
4
×
3
的方格纸中，
每个小正方形的边长均为
1
，
△
ABC
的顶点在格点上，
请找出所有的格点
P
，使点
P
为△
AB
C
关于点
A
的勾股点．
（
2
）如图
3
，△
ABC
为等腰直角三角
形，
P
是斜边
BC
延长线上一点，连接
AP
，以
AP
为
直角边作等腰直角三角形
APD
（点
A
、
P
、
D
顺时针排列）∠
PAD
＝
90
°，连接
DC
，
DB
，求
证：点
P
为△
BDC
关于点
D
的勾股点．
（
3
）如图
4
，点
E
是矩形
ABCD
外一点，且点
C
是△
ABE
关于点
A
的勾股
点，若
AD
＝
8
，
CE
＝
5
，
AD
＝
DE
，求
AE
的长．
14<
/p>
．如图，在平面直角坐标系中，
AB
∥<
/p>
OC
，
A
（
0
，﹣
4
），
B
（
a
，
b
），
C
（
c
，
0
），并且
a
，
c
满足
c
＝
+
+10
．一动点
P
从点
A
出发，在线段
AB
上以每秒
< br>2
个单位长度
的速度向点
B
运动；
动点
Q
从点
O
出发在线段
OC
上以每秒
1
个单位长度的速度向点
C
运
动，点
P
，
Q
分别从点
A
，
O
同时出发，当点
P
运动到点
B
时，点
Q
随之停止运动，设运
动时间为
t
（秒）．
（
1
）求
B
，
C
两点的坐标；
（
2
）当
t
为何值时，
四边形
PQCB
是平行四边形？
（
3
）
点
D
为线段
OC
的中点，
当
t
为何值时，
△
OPD
是等腰三角形？直接写出
t
的所有值．
15
．如图，已知线段
MC
＝
4
，
P
是
MC
上的一动点，
B
是
MC
的中点，以
BC
为边作正方形
ABCD
，点
B
关于射
线
AP
的对称点为
E
< br>，连接
BE
、
AE
，直线
DE
交
AP
于点
F
．
（
1
）如图
1
，当点
P
在线段
MB
上，且∠
PAB
＝
25
°，求∠
AFD
的度数；
（
2
）小明在解题时
发现：当点
P
在线段
MB
上时，线段
AD
，
DF
，
EF
之间满足
D
F
2
+
EF
2
＝
2
AD
2<
/p>
，那么你认为当点
P
在线段
BC
上时（如图
2
），他的
结论是否还成立？若成立，请
证明，若不成立，请说明理由．
（
3
）
点
Q
在
BC
上，
且
BQ
＝
2
，
当点
P
从点
M
运动到点
Q
时，<
/p>
直接写出点
F
所经过的路径
长．
16
．在
菱形
ABCD
中，
E
< br>为对角线
BD
上一点，点
F
，
G
在直线
BC<
/p>
上，且
BE
＝
E
G
，∠
AEF
＝∠
BEG
．
（
1
）如图①，当∠
ABC
＝
120
°时，点
F
在线段
CB
的延长线上，线段
AB
，
BE
，
BF
之间的
数量关系是
AB
＝
BF
+
BE
（无需证明）；
（
2
）如图②，当∠
ABC
＝
90
°，点
F
在线段
BC
上时，线段
AB
，
BE
，
BF
之间有怎样的数
量关系？写出你的猜想，并给予证明；
（
3
）如图③，当∠
ABC
＝
140
°，点<
/p>
F
在线段
CB
的
延长线上时，直接写出线段
AB
，
BE
，
BF
之间又有怎样的数量关系？
17
．实践探究，解决问题：
如图
1
，△
ABC<
/p>
中，
AD
为
BC
边上的中线，则
S
△
< br>ABD
＝
S
△
< br>ACD
．
< br>（
1
）在图
2
< br>中，
E
、
F
分别为矩形
ABCD
的边
AD
，
BC
的中点，且
AB
＝
4
，
A
D
＝
8
，则
S
阴影
＝
（
2
）在图
3
中，
E
、<
/p>
F
分别为任意四边形
ABCD
的边
AD
、
BC
的中点，则
S
阴影
和<
/p>
S
四边形
ABCD
之间满足的关系式为
；
（
3
）在图
4
中，
E<
/p>
、
G
、
F
、
H
分别为任意四边形
ABCD
的边
AD
、
AB
、
BC
、
CD
的中点，并且
图中阴影部分的面积为
16
，求图中四个小三角形的面积和
S
（即
S
1
+
S
2
+
S
3
+
S
4
的值）
18
．【探索】
（
1
）已知：如图①所示，在
Rt
△
ABC
中，∠
ACB
＝
90
°，点
F
、
O
分别是
AC
、
BC
的中点，
D
为线段
AB
上一动点
（不与
A
、
B
重合），延长
DO
到
E
，且
OE
＝
OD
，连结
CE
．求证：
OF<
/p>
＝
（
CE
+
AD
）．
【应用】
（
2
）在（
1
）条件下，若
AC
＝
5
，
AB
＝
13
，请在图②中作出
点
D
的位置使四边形的
EDAC
周长最小（写出做法，并保留作图痕迹，不需证明），并直接写出四边形的
EDAC
周长最
小值．
【思考】
（
3
）如图③所示，在正方形
ABCD
和
正方形
BEFG
中，点
F
、
B
、
C
< br>在同一条直线上，
M
是
线段
DF
的中点，
AM
的延长线交
BF
的延长线于点
N
，探究线段
EM
与
M
N
有怎样的关系？
请证明你的结论．
19
．在直角梯形
ABCD
中，
AB
∥
CD
，
AB
⊥
BC
，
AB
＝
8
，
BC
＝
16
，
CD
＝
24
．现有两动点
E
、
F
分
别从
C
、
A
两点同时出发，点
E
以
每秒
3
个单位的速度沿线段
CD
向终点
D
移动，点
F
以
每秒
1
个单
位的速度沿线段
AB
向终点
B
移动，线段
AC
、
EF
相交于点
G
，过点
G
作
GH
∥
CD
，交
AD
于点
< br>H
，射线
FH
交
CD
的延长线于点
P
．设动点
E
、
F
移动的
时间为
t
（单位：
秒）．
（
1
）当
t
为何值时，四边形
ADEF
为平行四边形？请写出解答过程；
（
2
）当
0
＜
t
＜
8
时，△
E
FP
的面积是否总为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明
理由；
（
3
）当
t
为何值时，△
EFP
为等腰三角形？请写出解答过程．
20
．平面直角坐标系中有正方形<
/p>
AOBC
，
O
为
坐标原点，点
A
、
B
< br>分别在
y
轴、
x
轴正半轴上，
点
P
、
E
、
F
分别为边
BC
、
AC
、
OB
上的点，
EF
⊥
OP
于
M
．<
/p>
（
1
）如图<
/p>
1
，若点
E
与点
A
重合，点
A
坐标为（
0
，
8
），
OF
＝
3
，求
P
点坐标；
< br>（
2
）如图
2
< br>，若点
M
为线段
OP
的中点，连接
AB
交
EF
于点
N
，求证：
MN
＝
EF
；
（
3
）如图
3
，若点
E
与点
A
重合，且
P
为边
BC
的中点，作∠
MCB
的角
平分线交射线
AM
于点
Q
，连接
OQ
、
BQ
，求
的值．
参考答案
1
．解：（
1
）
CE
＝
AF
，
在正方形
ABCD
和等腰直角三角形
CEF
中，
FD
＝
DE
，
CD
＝
CA
，∠
ADC
＝∠
EDF
＝
90
°，
∴∠
ADF
＝∠
CDE
，
∴△<
/p>
ADF
≌△
CDE
（
SAS
），
∴
CE
＝
AF
；
（
2
）设
DE
＝
k
，
∵
DE
：
AE
：
CE
＝
1
：
∴
AE<
/p>
＝
∴
EF
＝
：
2
，
k
，
CE
＝
AF
＝
2
k
，
k
，
∵
AE
2
+
EF
2
＝
6
k
2
+2
k
2
＝
8
k
2
，
AF
2
＝
< br>8
k
2
，
即
AE
2
+
EF
2
＝
A
F
2
，
∴△
AEF
为直角三角形，
∴∠
AEF
＝
90
°，
∴∠
AED
＝∠
AEF
+
DE
F
＝
90
°
+
45
°＝
135
°；
< br>
（
3
）∵
M
是
AB
的中点，
∴
MA
＝
< br>AB
＝
AD
，
< br>
∵
AB
∥
CD
，
∴△
MAO
∽△
DCO
，
∴
＝
＝
< br>＝
，
在
Rt
△
DAM
中，
< br>AD
＝
4
，
AM
＝
2
，
∴
DM
＝
2
∴
DO
＝
∵
OF
＝
∴
DF
＝
，
，
，
，
∵∠
DF
N
＝∠
DCO
＝
45
°，∠
FDN
＝∠
CDO
，
∴△
DFN
∽△
DCO
，
∴
＝
，即
＝
，
∴
DN
＝
．
2
．解：（
1
）当
DE
⊥
OC
时，四边形
DEOF
是矩形；
< br>∵
DE
⊥
OC
< br>，
∴
DE
∥
OA
，
∵点
D
为
AC
中点，
∴
CD
＝
AD
，
∴
CE
＝
OE
＝
OC
＝
3
，
∴
t
＝<
/p>
3
，
∴当
t
的值为
3
s
时，四边形
DEOF
是矩形，
故答案为：
3
；
（
2
）如图所示：作
DM
⊥
OA
于
M
，
DN
⊥<
/p>
OC
于
N
，
∵四边形
OABC
是矩形，
∴
OA
< br>⊥
OC
，
∴四边形
DMON
是矩形，
∴∠
MDN
＝
90
°，
DM
∥
O
C
，
DN
∥
O
A
，
∴
＝<
/p>
，
＝
，
∵点
D
为
OB
的中点，
∴
M
、
N
分别是
OA<
/p>
、
AB
的中点，
∴
DM
＝
OC
＝
3
，
DN<
/p>
＝
OA
＝
4
，
∵∠
EDF<
/p>
＝
90
°，
<
/p>
∴∠
FDM
＝∠
EDN
，
又∵∠
DMF
＝∠
DNE
＝
90
°，
∴△
DMF
∽△
DNE
，
∴
＝
＝
，
∴
FM
＝
EN
，
∵
CN
＝
OC
＝
3
，
CE
＝
t
，
∴
EN
＝
3
﹣
t
，
∴
FM
＝
EN
＝
﹣
t
，
∴
OF
＝
4
﹣
FM
＝
+
t
；
（
3
）∵
OA
＝
8
，
OC
＝
6
，
∴
A
（
8
，
0
），
C
（
0
，
6
），
<
/p>
∵点
D
为
AC<
/p>
中点，
∴
D<
/p>
（
4
，
3
），
∵
CE
＝
t
，
∴
OE
＝
6
﹣
t
，
< br>∵
OF
＝
+
t
，
∴△
OEF
面积＝
OE
•
OF
＝
（
6
< br>﹣
t
）（
+
t
）＝
解得：
t
< br>＝
2
或
，
当
t
＝
2
时，点
E
（
0
，
4
），
<
/p>
∴直线
DE
的解析式为
< br>y
＝﹣
x
+4
< br>；
当
t
＝
时，点
E
（
0
，
），
，
．
，
∴直线
D
E
的解析式为
y
＝﹣
< br>x
+
综上所述，直线
DE
的解析式为
y
＝﹣
x
+4
或
y
＝﹣
x
+
3
．解：（
1
）∵
A
C
＝
BC
，∠
ACB
＝
90
°，
∴
AB
＝
BC
，∠
ABC
＝
< br>45
°＝∠
BAC
∵将△
ABC
绕点
B
逆时针方向旋转得到△
PBQ
，
∴∠
ABC
＝∠
PBQ
＝
45
°，<
/p>
AB
＝
BP
，<
/p>
BC
＝
BQ
，<
/p>
∴∠
ABP
＝
∠
CBQ
，
∴△
ABP
∽△
CBQ
，
∴
＝
，
；
＝
，
故答案
为：
（
2
）①∵
QD
⊥
BC
，
∴∠
QDB
＝
90
°，且∠
BQD
＝
15
°，
∴∠
CBQ
＝
75
°，
∴旋转角
α
为<
/p>
75
°；
②∵
∠
DBE
＝∠
CBQ
< br>﹣∠
PBQ
＝
75
°﹣
45
°＝
30
°，
∴∠
DEB
＝
60
°，∠
AB
P
＝
75
°，
∴∠
BEQ
＝
120
°，
∵
EF
平分∠
BEQ
，
∴∠
BEF
＝
60
°，
∵∠
ABP
＝∠
F
+
∠
BEF
，
∴∠
F
＝
75
°﹣
60
°＝
15
°；
③如图，在
EF
上截取
EH
＝
EB
，连接
BH
，
∵
EB
< br>＝
EH
，∠
BEF
＝
60
°，
∴△
BEH
是等边三角形，
∴
BE
＝
BH
＝
EH
，∠
B
HE
＝
60
°，
∴∠
BHF
＝∠
< br>BEQ
＝
120
°，且∠
F
＝∠
BQD
＝
15
°，
BE
＝<
/p>
BH
，
∴△<
/p>
BHF
≌△
BEQ
（
AAS
）
∴
EQ
＝
HF
，
∴
EQ
+
EB
＝
HF
+
EH
＝
EF
．
4
．解：思维探索：
（
1
）如图
1
，将△
ADF
绕点
A
顺时针旋转
90
°得到△
ABG
，
∴
GB
＝
DF
，
AF
＝
AG
，∠
BAG
＝∠
DAF
，
∵四边形
ABCD
为正方
形，
∴∠
BAD
＝
90
°，
∵∠
EAF
＝
45
°，
∴∠
BAE
+
∠
DAF
＝
45
°，
∴∠
BAG
+
∠
BAE
＝
45
°＝∠
EA
F
，
在△
A
GE
和△
AFE
中
∴△
AGE
≌△
AFE
（
SAS
），
∴
GE
＝
EF
，
∵
GE
＝
GB
+
BE
＝
BE
+
DF
，
∴
EF
＝
BE
+
DF
，
∴△
CEF
的周长＝
CE
+
CF
+
EF
＝
CE
+
BE
+
DF
+
CF
＝
BC
+
CD
＝
8
，
故答案为：
8<
/p>
；
（
2
）如，
2
，把△
AB
E
绕点
A
逆时针旋转
< br>90
°到
AD
，交
CD
于点
G
，
同（
1
）可证得△
AEF
≌△
AGF
，
∴
EF
＝<
/p>
GF
，且
DG
＝
BE
，
∴<
/p>
EF
＝
DF
﹣<
/p>
DG
＝
DF
﹣<
/p>
BE
，
∴△<
/p>
CEF
的周长＝
CE
+
CF
+
EF
＝
CE
+
CF
+
DF
﹣
BE
＝
BC
+
DF
+
CF
＝
4+4+2+2
＝
12
；
拓展提升：如图
3
< br>，过
A
作
AG
< br>⊥
BD
交
BD
< br>的延长线于
G
，
∵
BD
⊥
BC
，∠
ACB
＝
90
°，
∴∠
ACB
＝∠
CBG
＝∠
G
＝
90
°，
∴四边形
ACBG
是矩形，
∵
AC
＝
BC
，
∴矩形
ACBG
是正方形，
∴
AC
＝
AG
，
∠
CAG
＝
90
°，
在
BG
上截取
GF
＝
CE
，
∴△
AEC
≌△
AGF
（
SAS
），
∴
AE
＝
AF
，∠
EAC
＝∠
FAG
，<
/p>
∵∠
EAD
＝
∠
BAC
＝∠
GAB
< br>＝
45
°，
< br>∴∠
DAF
＝∠
DAE
＝
45
°，
∵
AD
＝
AD
，
∴△
ADE
≌△
ADF
（
SAS
），
∴∠
A
DF
＝∠
ADE
＝
30
°，
∴∠
< br>BDE
＝
60
°，
∵∠
DBE
＝
90
°，
BD
＝
2
，
∴
DE
＝
DF
＝
4
，
BE
＝
2
，
﹣
x
，
设
CE
＝
x
，则
GF
＝
CE
＝
x
，
BC
＝
BG
＝
2
∴
DG
＝
2+2
﹣
x
，
∴
DG
﹣
FG
＝
DF
，
即
2+2
∴
x
＝
∴
CE
＝
﹣
x
﹣
x
＝
4
，
﹣
1
，
﹣
1
．
5
．解：（
1
）如图
2
中，
∵
CE
2
＝
1<
/p>
2
+2
2
＝
5
，
EA
2
＝
1
2
+3
2
＝
10
，
EB
2
＝
EC
2
＝
5
，
∴
EA
2
< br>＝
EC
2
+
EB
2
，
∴点
E
是△
ABC
< br>关于点
A
的勾股点，
∵
MB
2
＝
4
2
+4
2
＝
32
，
NA
2
＝
2
2
< br>+5
2
＝
29
< br>，
MC
2
＝
4
，
∴点
M
不是△
ABC
关于点
B
的勾股点，
∵
NB
2
＝
3
2
+4
2
＝
25
，
NA
2
＝
2
2
+4
2
＝
20
，
< br>NC
2
＝
1
2
+2
2
＝
5
，
∴
N
B
2
＝
NA
2
+
NC
2
，<
/p>
∴点
N
是△<
/p>
ABC
关于点
B
的勾股点，
∵
DB
< br>2
＝
4
2
+2
2
＝
20
，
DA
2
＝
2
2
+3
2
＝
13
，
DC
2
＝
2
2
+2<
/p>
2
＝
8
，
∴点
D
不是△
ABC
关于点
B
的
勾股点，
故答案为：
A
；
N
．
（
2
）①证
明：如图
3
中，
∵点
C
是△
ABE
关于点
A
的勾股点，
∴
CA
2
＝
CB
2
< br>+
CE
2
，
∵四边形
ABCD
是矩形，
∴
AB
＝
CD
，
AD
＝
BC
，∠
ADC
＝<
/p>
90
°，
∴<
/p>
CA
2
＝
AD<
/p>
2
+
CD
2
＝
CB
2
+
CD
2
，
∴
CB
2
+
CE
2
＝
CB
2
+
CD
2
，
∴
CE
＝
CD
．
②设∠
CED
＝α，则∠
CDE
＝∠
CED
＝α，
∴∠
ADE
＝∠
ADC
﹣∠
CDE
＝
90
°﹣α，
∵∠
AEC
＝
135
°，
∴∠
AED
＝∠
AEC
﹣
∠
CED
＝
135
°﹣α，
∵
DA
＝
DE
，
< br>∴∠
DAE
＝∠
DEA
＝
135
°﹣α，
<
/p>
∵∠
DAE
+
∠
DEA
+
∠
A
DE
＝
180
°，
∴
2
（
135
°﹣α）
+
（
< br>90
°﹣α）＝
180
°，
解得：α＝
60
°，
∴∠
ADE
＝
90
°﹣
60
< br>°＝
30
°．
（
3
）①如
图
3
中，过点
E
作
MN
⊥
AB
于点
M
，交
DC
于点
N
，
∵矩形
ABCD
中，
AB
＝
5
，
BC
＝
8
，
∴
AD
＝
BC
＝
8
，
CD
＝
AB
＝
5
，
∵点<
/p>
C
是△
ABE
关
于点
A
的勾股点，
< br>∴
CE
＝
CD
< br>＝
5
，
∵∠
AME
＝∠
MND
＝∠
ADN
＝
90
°，
∴四边形
AMN
D
是矩形，
∴
MN
＝
AD
＝
8
，
AM
＝
DN
，
设
A
M
＝
DN
＝
x
，则
CN
＝
C
D
﹣
DN
＝
5
﹣
x
，
∵
Rt
△
DEN<
/p>
中，
EN
2
+<
/p>
DN
2
＝
DE<
/p>
2
；
Rt
△
CEN
中，
EN
2
+
CN
2
＝<
/p>
CE
2
，
∴
DE
2
﹣
DN
2
＝
CE
2
﹣
CN
2
，
∴
8
2
﹣
x
2
< br>＝
5
2
﹣（
5
﹣
x
）
2
，
解得：
x
＝
∴
EN
＝
＝
＝
，
＝
＝
．
＝
，
AM
＝
DN
＝
，
∴
ME
＝
MN
﹣
EN
＝
8
﹣
∴
Rt
△
AME
中，
AE
＝
②在
CB
上截取
CH
＝
，连接
EH
∴
＝
＝
＝
，
∵∠
ECH
＝∠
BCE
，
∴△
ECH
∽△
BCE
，
∴
＝
＝
，
∴
EH
＝
BE
，
∴
AE<
/p>
+
BE
＝
AE<
/p>
+
EH
，
∴当点
A
、
E
、
H
在同一直线上时，
AE
+
BE
＝
AH
取得最小值，
∵
BH
＝
BC
﹣
CH
＝
8
﹣
∴
AH
＝
＝
．
＝
，
＝
，
∴
AE
+
BE
的最小
值为
6
．解：（
1
）在
▱
ABCD
中，
AD
∥
BG
，
AD
＝
BC
，
∵
< br>AG
∥
BD
，
< br>
∴四边形
AGBD
是平行四边
形，
∴
ED
＝
GE
，
AD
＝
BG
∴
B
是
CG
的中点，
∵
F
是
C
D
的中点，
∴
BF
是△
CGD
的中位线，
∴
BF
＝
＝
GE
．
（
2
）当四边形
AGBD<
/p>
是矩形时，
∴
BE
＝
ED
＝
AE
，
∵四边形
ABCD
是平行四边形，
∴
AB
＝
CD
，
AB
∥
CD
，
∵
F
是
CD
的中点，
∴
FD
＝
BE
，
FD
∥
BE
，
∴四边形
BEDF
是平行四边形，
∵
BE
＝
ED
，
∴
▱
BEDF
是菱形．
7
．（
1
）【发现证明】
证明：把△
ABE
绕点
A
顺时针旋转
90
°至△
ADG
，如图
1
，
∴∠
BAE
＝∠
DAG
，
AE
＝
AG
，
∵∠
EAF
＝
45
°，
∴∠
BAE
+
∠
FAD
＝
45
°，
∴∠
DAG
+
∠
FAD
＝
45
°，
∴∠
EAF
＝∠
FAG
，
∵
AF
＝
AF
，
∴△
EAF
≌△
GAF
（
SAS
），
< br>∴
EF
＝
FG
< br>＝
DF
+
DG
< br>，
∴
EF
＝
DF
+
BE
；
（
2
）【类比引申】
①不成立，结论：
E
F
＝
DF
﹣
B
E
；
证明：如图
2
，将△
ABE
绕点
A
顺时针旋转
90
°至△<
/p>
ADM
，
<
/p>
∴∠
EAB
＝∠
MAD
，
AE
＝
AM
，∠
EAM
＝
< br>90
°，
BE
＝
DM
，
∴∠
FAM
＝
45
°＝∠
EAF
，
∵
AF
＝
AF
，
∴△
EAF
≌△
MAF
（
SAS
）
，