正方形判定练习题及答案
幼儿园教师心得-
由莲山课件提供
/
资源全部免费
正方形的判定
一．选择题（共
8
小题）
1
．已知四边形
ABCD
是平行四边形，再从<
/p>
①
AB=BC
，
②
∠
ABC=90
°
< br>，
③
AC=BD
，
④
AC
⊥
BD
四个条件中，选
两个作为补充条件后，使得四边形
A
BCD
是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（
）
A
．选
①②
B
．选
②③
C
．选
①③
D
．选
②④
2
．下列说法中，正确的是（
）
A
．相等的角一定是对顶角
B
．四个角都相等的四边形一定是正方形
C
．平行四边形的对角线互相平分
D
．矩形的对角线一定垂直
3
．下列命题中是假命题的是（
）
A
．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B
．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C
．一组邻边相等的平行四边形是菱形
D
．一组邻边相等的矩形是正方形
<
/p>
4
．已知四边形
ABCD
是平行四边形，下列结论中不正确的有（
）
①
当
AB=BC
时，它是菱形；
②
当
AC
⊥
BD
时，它是菱形；
③
当∠
AB
C=90
°
时，它是矩形；
④
当
AC=BD
时，它
是
正方形．
A
．
1
组
B
．
2
组
C
．
3
组
< br>D
．
4
组
5
．四边形
ABCD
的对角线
AC=BD
，
AC
⊥
BD
，分别过
A
、
B
、
C
、
D
作对角线的平行线，所成的四边形
EFMN
是
（
）
A
．正方形
B
．菱形
C
．矩形
D
．任意四边形
6
．如果要证明平行四边形
ABCD
为正方形，那么我们需要在四边形
ABCD
是平行四边形的基
础上，进一步证明
（
）
A
．
AB=AD
且
AC
⊥
BD
B
．
AB=AD
且
AC=BD
C
．∠<
/p>
A=
∠
B
且
AC=BD
D
．
AC
和
BD
互相垂直平分
7
．下列命题中，真命题是（
）
A
．对角线相等的四边形是矩形
B
．对角线互相垂直的四边形是菱形
C
．对角线互相平分的四边形是平行四边形
D
．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
8
．如图，在
△
ABC
中，∠
ACB
=90
°
，
BC
的垂直平分线
EF
交
BC
于点
D
，交
AB
于点
E
，且
BE=BF
，添加一个条
件，仍不能证明四边形
B
ECF
为正方形的是（
）
A
．
BC=AC
B
．
CF
⊥
BF
C
．
BD=DF
D
．
AC=BF
二．填空题（共
6
小题）
9
．能使平行四边形
ABCD
为正方形的条件是
_________
（填上一个符合
题目要求的条件即可）
．
由莲山课件提供
/
资源全部免费
10
< br>．如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
C=90
°
，
DE
垂直平分
AC
，
DF
⊥
BC
，当
△
ABC
满足条件
_________
时，四边形
DECF
是正方形．
（要求：
①
不再添加任何辅助线，
②
只需填一个符合要求的条件）
11
．如图，菱形
ABCD
的对角线相交于点
O
，请你添加一个条件：
_________
，使得该菱形为正方形．
12
．如图，在四边形
ABCD
中，
AB=BC=CD=DA
，对角线
AC
与
BD
相交于点
O
，若不增加任何字母与辅助线，要
使四边形<
/p>
ABCD
是正方形，则还需增加一个条件是
_________
．
13<
/p>
．已知四边形
ABCD
中，∠
A=
∠
B=
∠
C=90
°
，若添加一个条件即可判定该四边形是
正方形，那么这个条件可以
是
_________
．
14
．要
使一个菱形成为正方形，需添加一个条件为
_________
．
三．解答题（共
< br>8
小题）
15
．已知：如图，
△
ABC
中，
∠
ABC=90
°
，
< br>BD
是∠
ABC
的平分线，
DE
⊥
AB
于点<
/p>
E
，
DF
⊥
BC
于点
F
．求证
：四
边形
DEBF
是正方形．
16
．如图，在四
边形
ABCD
中，
AB=BC
，对角线
BD
平分∠
A
BC
，
P
是
B
D
上一点，过点
P
作
< br>PM
⊥
AD
，
< br>PN
⊥
CD
，
< br>垂足分别为
M
，
N
．
（
1
< br>）求证：∠
ADB=
∠
CDB<
/p>
；
（
2
）若∠
ADC=90
°
，求证：四边形
MPND
是正方形．
17
．如图，在
Rt
△
ABC
中，∠
ACB=90
°
，过点
C<
/p>
的直线
MN
∥
A
B
，
D
为
AB
边上一点，过点
D
作
< br>DE
⊥
BC
，交直
线
MN
于
E
，垂足为
F
，连接
CD
、
BE
．
（
1
）求证：
CE=A
D
；
（
2<
/p>
）当
D
在
AB<
/p>
中点时，四边形
BECD
是什么特殊四边
形？说明你的理由；
（
3
）若
D
为
AB
中点，则当∠
A
的大小满足什么条件时，四边形<
/p>
BECD
是正方形？请说明你的理由．
18
．如
图，在
△
ABC
中，点
D
、
E
分别是边
AB
、
AC
的中点，将
△
ADE
绕点
E<
/p>
旋转
180
°
得
到
△
CFE
．
（
1
）求证：四边形
< br>ADCF
是平行四边形．
（<
/p>
2
）当
△
ABC
满足什么条件时，四边形
ADCF
是正
方形？请说明理由．
19
．如图，分别以线段
AB
的两个端点为圆心，大于
AB
的长为半径作弧，两弧交于<
/p>
M
、
N
两点，连
接
MN
，交
AB
于点
D
、
C
是直线
MN
上任意一点，连接
CA
、
CB
，过点
D<
/p>
作
DE
⊥
AC<
/p>
于点
E
，
DF<
/p>
⊥
BC
于点
F<
/p>
．
（
1
）求证：
△
AED
≌
△
BFD
；
（
2
）若
AB=2
，当
CD
的值为
_________
时，四边形
DECF
是正方形．
20
．如
图，
AB
是
CD
的垂直平分线，交
CD
于点
M
，过点
M
作
ME
⊥
A C
，
MF<
/p>
⊥
AD
，垂足分别为
E
、
F
．
（
1
）求证：∠
CAB=
∠
DAB
；
（
2
）若∠
CAD=90
°
，求证：四边形
AEMF
是正方形．
21
．
如图
，
△
ABC
中，
点
O
是边
AC
上一个动点，
过
O
作直线
MN
∥
BC
，
设
MN
交∠
ACB
的平分线于点
E
，
交
∠
ACB
的外角平分线于点
F
．
（
1
）探究：线段
OE
与
OF<
/p>
的数量关系并加以证明；
（
2
）当点
O
运动到何处时
，且
△
ABC
满足什么条件时，四边形
AECF
是正方形？
（
3
）当点
O
在边
AC
上运动时，四边形
B
CFE
_________
是菱形吗？（填
“
可能
”
或
“
不可能
”
）
22
．
已知：
如图，
△
ABC
中，
< br>点
O
是
AC
上的一动点，
过点
O
作直线
MN
∥
AC
，
设
MN
交∠
BCA<
/p>
的平分线于点
E
，
交∠
BCA
的外角∠
ACG
的平分线于点
F
，连接
AE
、
AF
．
（
1
）求证：∠
ECF=90
°
；
（
2
）当点
O
运动到何处时，四边形
AECF
是矩形？请说明理由；
（
3
）在（
2
）的条件下，
△
ABC
应该满足条件：
_________
，就能使矩形<
/p>
AECF
变为正方形．
（直接添加条件，
无需证明）
正方形的判定
参考答案与试题解析
一．选择题（共
8
小题）
1
．已知四边形
ABCD
是平行四边形，再从
①
AB=BC
< br>，
②
∠
ABC=90
°
，
③
AC=BD
，
④
AC
⊥
BD
四个条件中，选
两个作为补充条件后，使得
四边形
ABCD
是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是（
）
A
．
选
①②
B
．选
②③
C
．选
①③
D
．
选
②④
考点：
正方形的判定；平行四边形的性质．
分析：
要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．
解答：
解：
A
、
由
①
得有
一组邻边相等的平行四边形是菱形，
由
②
得有一个角是直角的平行四边形是矩形，
所以平行四边形
AB
CD
是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B
、
由
②
得有一个角是直角的平行四边形是矩形，
由
③
得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以不能得出平行四边
< br>形
ABCD
是正方形，错误，故本选项符合题意；
C
、
由
①
得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，
由
③
得对角线相等的平行四边形是矩形，
所以
平行四边形
ABCD
是正方形，正确，故本选项不符合题意；<
/p>
D
、由
②
得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由
④
得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形
ABCD
是正方形，正确，故本选项不符合题意．
故选：
B
．
点评：
本题考查了正方形的判定方法：
①<
/p>
先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；
②
先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．
③
还可以先判定四边形是平行四边形，再用
1
或
2
进行判定．
2
．下列说法中，正确的是（
）
A
．
相等的角一定是对顶角
B
．
四个角都相等的四边形一定是正方形
C
．
平行四边形的对角线互相平分
D
．
矩形的对角线一定垂直
考点：
正方形的判定；对顶角、邻补
角；平行四边形的性质；矩形的性质．
分析：
根据对顶角的定义，正方形的
判定，平行四边形的性质，矩形的性质对各选项分析判断利用排除法
求解．
解答：
解：
A
、相等的角一定是对顶角错误，例如，角平分线分成的两个角相等，但不
是对顶角，故本选
项错误；
B
、四个角都相等的四边形一定是矩形，不一定是正方形，故本选项错误；
C
、平行四边形的对角线互相平分正确，故本选项正确；<
/p>
D
、矩形的对角线一定相等，但不一定
垂直，故本选项错误．
故选：
C
．
点评：
本题考查了正方形的判定，平
行四边形的性质，矩形的性质，对顶角的定义，熟记各性质与判定方
法是解题的关键．<
/p>
3
．下列命题中是假命题的是（
）
A
．
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
B
．
一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形
C
．
一组邻边相等的平行四边形是菱形
D
．
一组邻边相等的矩形是正方形
考点：
正方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定．
专题：
证明题．
分析：
做题时首先熟悉各种四边形的判定方法，然后作答．
解答：
解：
A
、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，
（平行四边形
判定定理）
；正确．
B
、一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形，不一定是矩形，还可能是不规则四边形，错误．<
/p>
C
、一组邻边相等的平行四边形是菱形
，正确；
D
、一组邻边相等的矩形是
正方形，正确．
故选
B
．
点评：
本题主要考查各种四边形的判定，基础题要细心．
4
．已知四边形
ABCD
是平行四边形，下列结论中不正确的有（
）
①
当
AB=BC
时，它是菱形；
②
当
AC
⊥
BD
时，它是菱形；
③
当∠<
/p>
ABC=90
°
时，它是矩形；
④
当
AC=BD
时，它
是正方形．
A
．
1
组
B
．
2
组
C
．
3
组
D
．
4
组
考点：
正方形的判定；平行四边形的性质；菱形的判定；矩形的判定．
分析：
根据邻边相等的平行四边形是
菱形可判断
①
正确；根据所给条件可以证出邻边相等，可判断<
/p>
②
正
确；根据有一个角是直角的平行四边
形是矩形可判断
③
正确；根据
对角线相等的平行四边形是矩形可以判断出
④
错误．
解答：
解：
①
根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形
ABCD
是平行四边形，当
AB=BC
时，它是
菱形正确；
②
∵四边形
ABCD
是平行四边形
，
∴
BO=OD
，
∵
AC
⊥
BD
，
∴
AB
=BO
+AO
< br>，
AD
=DO
+AO
，
∴
AB=AD
，
∴四边形
ABC
D
是菱形，故
②
正确；
③
根据有一个角是直角的平行四边形是矩形可知
③
正确；
④
根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当
AC=BD
时，它是矩形，不是正方形，故
④
错误；
故不正确的有
1
个．<
/p>
故选：
A
．
2
2
2
2
2
2
点评：
此题主要考查了菱形的判定、
矩形的判定、正方形的判定，关键是熟练掌握三种特殊平行四边形的
判定定理．
5
．四边形
ABCD
的对角线
AC=BD
，
AC
⊥
BD
，分别过
A
、
B
、
C
、
D
< br>作对角线的平行线，所成的四边形
EFMN
是
（
）
A
．
正方形
B
．菱形
C
．矩形
D
．
任意四边形
考点：
正方形的判定．
分析：
根据平行线的性质和判定得出
∠
NAO=
∠
AOD=
∠
N=90
°
，
EN=NM=FM=EF
，进而判断即可．
解答：
证明：如图所示：
∵分别过
A
、
B
、
C
、
D
作对角线的平行线，
∴
AC
∥<
/p>
MN
∥
EF
，<
/p>
EN
∥
BD
∥<
/p>
MF
，
∵对角
线
AC=BD
，
AC
< br>⊥
BD
，
∴∠
NAO=
∠
AOD=
∠
N=90
°
，
EN=NM=FM=EF
，
∴四边形
EFMN
是正方形．
故选：
A
．
点评：
关键．
6
．如果要证明平行四边形
ABCD
为正
方形，那么我们需要在四边形
ABCD
是平行四边形的基础上，
进一步证明
（
）
A
．
AB=
AD
且
AC
⊥
BD
B
．
AB=AD
且
AC=BD
C
．
∠
A=
∠
B
且
AC=BD
D
．
AC
和
BD
互相垂直平分
考点：
正方形的判定．
分析：
根据正方形的判定对各个选项进行分析从而得到最后的答案．
解答：
解：
A
、根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，或者对角线互相垂直的平行四边形是菱形
，所
以不能判断平行四边形
ABCD
是
正方形；
B
、根据对角线互相垂直的
平行四边形是菱形，对角线相等的平行四边形为矩形，所以能判断四边形
ABCD
是正方
形；
C
、一组邻角相等的平行四边形是矩形，对角线相等的平行四边形也是矩形，即只能证明四边形
ABCD
是矩形，不
能判断四边形
ABCD
是正方形；
D
、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，对角线互相平分的四边形是平行四边形，
所以不能判断四边形
ABCD
是
正方形
．
故选
B
．
点评：
本题是考查正方形的判别方法
，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途经有两种：
①
先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；
②
先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角．
7
．下列命题中，真命题是（
）
A
．
对角线相等的四边形是矩形
B
．
对角线互相垂直的四边形是菱形
C
．
对角线互相平分的四边形是平行四边形
D
．
对角线互相垂直平分的四边形是正方形
考点：
正
方形的判定；平行四边形的判定；菱形的判定；矩形的判定；命题与定理．
分析：
A
、根据矩形的定义作出判断；
B
、根据菱形的性质作出判断；
C
、根据平行四边形的判定定理作出判断；
D
、根据正方形的判定定理作出判断．
解答：
解：
A
、两条对角线相等且相互平分的四边形为矩形；故本选项错误；
此题主要考查了正方形的判定以及平行线的性质和判定等
知识，熟练掌握正方形的判定定理是解题
B
、对角线互相垂直的
平行四边形是菱形；故本选项错误；
C
、对角线互相平分的四边形是平行四边形；故本选项正确；
D
、对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；故本选项错误；
故选
C
．
点评：
本题综合考查了正方形、矩形
、菱形及平行四边形的判定．解答此题时，必须理清矩形、正方形、
菱形与平行四边形间
的关系．
8
．如图，在
△
ABC
中，∠
ACB=90
°
，
BC
的垂直平分线
EF
交
< br>BC
于点
D
，交
AB
于点
E
，且
BE=BF
，添加一个条
件，仍不能证明四边形
BECF
为正方形的是（
）
A
．
BC=AC
B
．
CF
⊥
BF
C
．
BD=DF
D
．
AC=BF
考点：
正方形的判定；线段垂直平分线的性质．
分析：
根据中垂线的性质：中垂线上
的点到线段两个端点的距离相等，有
BE=EC
，
BF=FC
进而得出四边
形
BECF
是菱形；由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可．
解答：
解
：∵
EF
垂直平分
BC
，
∴
BE=EC
，
BF=CF
，
∵
BF=BE
，
<
/p>
∴
BE=EC=CF=BF
，
∴四边形
BECF
是菱
形；
当
BC=AC
< br>时，
∵∠
ACB=90
°
，
则∠
A=45
°
时，菱形
B
ECF
是正方形．
∵∠
A=45
°
，∠
ACB=9
0
°
，
∴∠
EBC=45
°
∴∠
EBF=2
∠
EBC=2
×
45
°
=90<
/p>
°
∴菱形
BE
CF
是正方形．
故选项
A
正确，但不符合题意；
当
CF
⊥
BF
时，利用正方形的判定得出，菱形
BECF
是正方形，故选项<
/p>
B
正确，但不符合题意；
当
BD=DF
时，利用正方形的判定得出，菱形
BECF
是正方形，故选项
C
正确，但不符合题意；
当
AC=BF
时，无法得出菱形
BECF
是正方形，故选项
D
错误，符合题意．
故选：
D
．
点评：
本题考查了菱形的判定和性质
及中垂线的性质、直角三角形的性质、正方形的判定等知识，熟练掌
握正方形的相关的定
理是解题关键．
二．填空题（共<
/p>
6
小题）
9<
/p>
．能使平行四边形
ABCD
为正方形的条
件是
AC=BD
且
< br>AC
⊥
BD
< br>（填上一个符合题目要求的条件即可）
．
考点：
正方形的判定；平行四边形的性质．
专题：
开放型．
分析：
对角线互相垂直的平行四边形
是菱形，对角线相等的平行四边形是矩形，矩形和菱形的结合体是正
方形．
解答：
解：可添加对角
线相等且对角线垂直或对角线相等，且一组邻边相等；或对角线垂直，有一个内角
是
90
°
．答案不唯一，此处填：
AC=BD
且
AC
⊥
BD
．
点评：
本题考查正方形的判定，需注意它是菱形和矩形的结合．
10
．<
/p>
如图，
在
Rt
△
ABC
中，
∠
C=90
°
，
DE
垂直平分
AC
，
DF
⊥
BC
，
当
△
ABC
满足条件
AC=BC
时，
四边形
DECF
是正方形．
（要求：
①
不再添加任何辅助线，
②
只需填一个符合要求的条件）
考点：
正方形的判定．
专题：
计算题；开放型．
分析：
由已知可得四边形的四个角都
为直角，因此再有四边相等即是正方形添加条件．此题可从四边形
DECF
是正方形推出．
解答：
解：设
AC=BC
，即
△
ABC
为等腰直角三角形，
∵∠
C=90
°
，
DE
垂直平分
AC
，
DF
⊥
BC
，
∴∠
C=
∠
CED=
∠
EDF=
∠
DFC=90
°
，
DF=
AC=CE
< br>，
DE=
BC=CF
，
∴
DF=CE=D
E=CF
，
∴四边形
DECF
是正方形，
故答案
为：
AC=BC
．
点评：
此题考查的知识点是正方形的
判定，
解题的关键是可从四边形
DECF
是正方形推出
△
ABC
满足的条
件．
11
．如图，菱形
ABCD
的对角线相交于点<
/p>
O
，请你添加一个条件：
AC=BD
或
AB
⊥
BC
，使得该菱形为正方形．
考点：
正方形的判定；菱形的性质．
专题：
压轴题．
分析：
根据正方形判定定理进行分析．
解答：
解：根据对角线相等的菱形是
正方形，可添加：
AC=BD
；
根据有一个角是直角的菱形是正方形，可添加的：
AB
⊥
BC
；
故添加的条件为：
AC=BD
或
AB
⊥
BC
．
点评：
本题答案不唯一，根据菱形与正方形的关系求解．
12
．如图，在四边形
ABCD
中，
AB=BC=CD=DA
，对角线
AC
与
BD
相交于点
O
，若不增加任何字母与辅助线，要
使四边形
ABCD
是正方形，则还需增
加一个条件是
AC=BD
或
AB
⊥
BC
．