(完整)MS01三视图还原之俯视图拔高法
项天琪-
三视图还原之俯视图拔高法
秒杀秘籍：盖房子模型——俯视图拔高
一个例题模型的三视图核心——俯视图，代表着地基，三视图可以从俯视图开始，采用画弧、连线、拔高。
画弧：这个是根据工程制图的重要定理，就是俯视图和左视图可以
通过
90
°
弧线连接，找到相对应点；
连线：这就是确定各个位置，即主视图和俯视图的重垂线连接
，主视图与左视图的水平线连接定位；
拔高：各点定位找好后
，在俯视图上能拔高的直接立起来，俯视图转化成斜二测图形，并形成直观图。
画弧
连线
拔高
墙角体
的俯视图拔高法：
先画弧将俯视图与左视图连接，
并将俯视图的三点用数字标记出来；
接着将主视图和
俯视图连接，发现数字
1
和
2
所在的这条重垂线可以拔高，在不知道
确切能拔高的点之前，标记上问好，而数字
3
所在的中垂线看主
视图，明显没有高度，不能拔高，标记上
Χ
；最后判别
1
和
2
，通过弧线可知
2
和
3
这条线
可以拔高，故在
2
位置标记上〇，而<
/p>
1
所在的弧线是不能拔高，故标记上
Χ<
/p>
。最后画出直观的墙角体。
鳖臑：
所谓鳖臑就是四个面均为直角三角形的三棱锥
,
这个几何体在各类考试中出现的频率最高
,
感觉
没有鳖臑就制作不出一桌满汉全席似的
.
下面看它
的俯视图拔高法画出直观图；
画弧
+
连线
拔高
<
/p>
阳马：
90
年代全国卷考过一道试题
:
四棱锥的四个侧面最多有几个直角三角形
?
嘿嘿
,
这就是考阳马那
!
阳马就是底面为矩形而四个侧面都是直角三角形的四棱锥。
壍堵：
正方体
(
长方体
)
沿着其对角面
一分为二
<
/p>
就得到两个
壍堵
.
例
1
：
（
201
8
•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：
cm
)
，则该几何体的体积（单位：
cm
3
)
是
(
< br>
)
A
．
2
B
．
4
C
．
6
D
．
8
解：根据三视图：
1234
四点均需拔高，
该几何体为底面为直角梯形的四棱柱．如图所示：故该几何体的体积为：
V
1
2
(1
2)
g
2
< br>g
2
6
．故选：
C
．
例
2
：（
2018
•北京）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为
(
)
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
4
解：画
弧，标记俯视图
1
、
2
、
3
、
4
后，作三条中垂线，易知
3
、
4<
/p>
对应的主视图无法拔高，标记
Χ
，
1
、
2
标记？
在通过弧线发现
1
可以拔高，
2
无法拔高，故直观图为一四棱锥，中垂线为
1
对应拔高位置，记为
PA
，
< br>2
、
3
、
4
分别为
B
、
C
、
D
，
四
棱锥的三视图对应的直观图为：
PA
底面
ABCD
，
AC
< br>
5
，
CD
5
，
PC
3
，
PD
2
2
，
可得
三角形
PCD
不是直角三角形．
所以侧
面中有
3
个直角三角形，
分别为：
PAB
，
PBC
，
PAD
．
故选：
C
．
例
3
：（
2015
•安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是
(
)
A
．
1
3
B
．
2
3
C
．
< br>1
2
2
D
．
2
2
解：根据几何体的三视图，画弧并连线，标记俯视图水平面的
1
、
2
、
3
、
4
四个点，易
知
1
和
3
点的
主视图不支
持拔高，
2
和
4
则根据弧线来判断，
2
不
可以，最终
4
为可以拔高的点；该几何体是底面为等腰直角三角
形的三
棱锥；
该几何体的表面积为<
/p>
S
S
S
1
3
2
1
表面积
PAC
2
S
PAB
ABC
2
2
1
2
4
(
2)
< br>
2
2
1
2
3
．
故选：
B
．
例
4
：（<
/p>
2015
•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面
积是
(
)
A
．
2
5
B
．
4
5
< br>C
．
2
2
5
D
．
5
解：根据三视图，标记俯视图的
1
、
2
、
3
三点，显然主
视图不支持
1
和
2
的拔高，而
3
很明显是可以拔高的，可
判断直观图为：
OA
面
ABC
，
AC
AB
，
E
为
BC
中点，
EA
2
，
EC
EB
1
，
OA
1
，
可得
AE
BC
，
BC
OA
，由直线与平面垂直的判定定理得：
BC
面
AEO
，
AC
5
，
OE
5
S
1
ABC
2
2
2
2
< br>，
S
1
5
OAC
S
OAB
2
5
1
2
．
S
1
BCO
2
2
5
5
．故该三棱锥的表面积是
< br>2
2
5
，故选：
C
．
去底座拔高法：
主视图和左视图都有
的矩形部分叫做底座，故可以在三视图还原时不予考虑，最后加上去这个底
座，也就是一
个长方体部分，需要注意的是矩形必须为实线。
例
5
：（
2017
•新课标
Ⅰ）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，
正方形的边长为
2
，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各
个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为
(
)
A
．
10
B
．
12
C
．
14
D
．
16
解：由三视图，标记俯视图
1
、
2
、
3
，忽略底部的正方形部分，则拔高的是
3
号点，可画出直观图，该立体图中
只有两个相同的梯形的面，
S
1
梯形
2
2
2
4
6
，
这些梯形的面积之和为
6
2
12
，故选：
B
．
俯视图有<
/p>
虚线
时，
定是挖去的部分，
先按照无虚线还原后，
再将虚线部分和拔高点相连的那部分三棱锥去除即可。
例
6
：（<
/p>
2017
•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积
为
(
)
A
．
60
B
．
30
C
．
20
D
．
10
解：由三视图，标记俯视图
1
、
2
、
3
、
4
，易知
1
、
3
、
4
不可拔高，
2
点可以拔高，又由于
1
、
2
、
3
位于虚线三角
形区域，
故
1
、
2
、
3
形成的三棱锥被挖去，
该几何体为三棱锥，
该三棱锥的体积
1
3
1
2
5
3
4
10
．
故选：
D
．
例
7
：（
2016
•北京）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为
(
)
1
A
．
6
B
．
1
1
3
C
．
2
D
．
1
解：
由已知中的三视图可得：
俯视图中只有
1
可以拔高，
但
1
、
2
、
4
位于虚线三角形内，
故要挖去这部分三棱锥，
< br>该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，
棱锥的底面面积
S
1
1
1
1
2
1
1
2
，
高为
1
，
故棱锥的体积
V
3
Sh
6
，
故选：
A
．
正四面体：
最
正
的四面体
,
就是
6
条棱长都相等的三棱锥
,
我们有个习惯
,
绝
大多数看到正四面体的时
候
,
都是要把
它放进正方体中去思考
,
三视图也不例外。
歪台
1
．（
20
17
•北京）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
(
)
第
1
题
第
2
题
第
3
题
A
．
3
2
B
．
2
3
C
．
2
2
D
．
2
2
．
（
2016<
/p>
•天津）
将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，
得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，
则该几何体的侧（左
)
视图为
(
)
A
．
B
．
C
．
D
．
3
．（
2016
•新课标Ⅲ）如图，网格纸上
小正方形的边长为
1
，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该
多面体的
表面积为
(
)
A
．
18
36
5
B
．
54
18
5
C
．
90
D
．
81
<
/p>
4
．（
2015
•福建）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于
(
)
A
．
8
2
2
B
．
11
2
2
C
．
14
2
2
D
．
15
<
/p>
5
．（
2015
•北京）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为
(
)
A
．
1
B
．
2
C
．
3
D
．
2
第
4
题
第
5
题
第
6
题
6
．
（
2015
•新课标Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部
分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部
分体积的比值为
(<
/p>
)
A
．
1
8
B
．
1
7
C
．
1
6
< br>D
．
1
5
7
．（
2014
< br>•新课标Ⅰ）如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体
是
(
)
A
．三棱锥
B
．三棱柱
C
．四棱锥
D
．四棱柱
第
7
题
第
8
题
第
9
题
8
．（
20
14
•重庆）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
(
)
A
．
12
B
．
18
C
．
24
D
．
30
<
/p>
9
．（
2014
•新课标Ⅰ）如图，网格纸上小正方形的边长为
1
，粗实线画出
的是某多面体的三视图，则该多面体的
各条棱中，最长的棱的长度为
(
)
A
．
6
2
B
．
6
C
．
4
2
D
．
4
10
．（
2013
•广东）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是
(
)
A
．
1
6
B
．
1
3
C
．
2
< br>3
D
．
1
第
10
题
第
11
题
第
12
题
11
．（
2
012
•浙江）已知某三棱锥的三视图（单位：
cm
)
如图所示，则该三棱锥的体积是
(
)
< br>A
．
1
cm
3
B
．
2
cm
3
C
．
3
cm
3<
/p>
D
．
6
cm
3
12
．（
2012
•新课标）如图，网格纸上小正
方形的边长为
1
，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体
的体
积为
(
)
A
．
6
B
．
9
C
．
12
D
．
18