高三一轮复习专题数列通项公式与求和方法总结
每逢佳节胖三斤-
专题一：数列通项公式的求法详解（八种方法）
一、
观察法（
关键是找出各项与项数
n
的关系
.<
/p>
）
例
1
：
根据数列的前
4
项
，写出它的一个通项公式：
（
1
）
9
，
99
，
999
，
9999
，
…
（
2
）
1
,
2
,
3
n
1
2
4
5
9
< br>16
,
4
,
（
3
）
1
,
10
17
2
,
3
1
,<
/p>
2
2
1
2
,
（
4
）
,
,
5
2
3
3
4
,
,
4
5
n<
/p>
2
2
n
;
（
3
）
a
n
答案：
（
1
）
a
n
10
< br>
1
（
2
）
a
n
n
2
.
;
（
4
）
a
n
(
1
)
n
1
< br>n
1
n
1
n
1
二、
公式法
公式法
1
：
特殊数列
例
2
：
已知数列
{
a
n<
/p>
}
是公差为
d
的
等差数列，
数列
{
b
< br>n
}
是公比为
q
的
(
q
∈
R
且
q
≠
1)
的等比数列，
若函数
f
(
x
) = (
x
－
1)
2
，
且
a
1
=
f
(
d<
/p>
－
1)
，
a
3
=
f
(<
/p>
d
+1)
，
b<
/p>
1
=
f
(
q
+1)
，
b
3
=
f
(
q
－
1)
，
(1)
求数列
{
a
n
}
和
{
b
n
}
的通项公式；
－
－
答案：
a
n
=
a
1
+(
n
－
1)
d
= 2(
n
－
1)
；
b
n
=
b
·
q
n
1
=4
·<
/p>
(
－
2)
n
1
例
3.
<
/p>
等差数列
a
n
是递减数列，且
a
< br>2
a
3
a
4
=48
，
a
2
a
3
a
4
=12
，则数列的通项公式是（
）
(A)
a
n
2
n
12
(B)
a
n
2
n
4
(C)
a
n
2<
/p>
n
12
(D)
a
n
2<
/p>
n
10
(D)
例
4.
<
/p>
已知等比数列
a
n
的首项
a
1
1
，公比
0
q
1
，设数列
b
n
的通项为
b
n
a
n
1
a
n
2
，求数列
<
/p>
b
n
的通项<
/p>
公式
.
简析<
/p>
：由题意，
b
n
1
a
n<
/p>
2
a
n
3
，又
a
n
是等比数列，公比为
q
∴
b
n
1
a
n
2
a
n
3
q
，故数列
b
n
是等比
b
n
a
n
1
a
n
2
n
1
n
数列
，易得
b
n
q
(
q
1<
/p>
)
q
q
(
q
1
)
.
点评：当数列为等
差或等比数列时，可直接利用等差或等比数列的通项公式，
只需求首项及公差公比
.
公式法
2
：
知
s
n
利用公
式
a<
/p>
n
s
1
,
n
1
.
S
n
S
< br>n
1
,
n
2
2
例
5
：已知下列两数列
{
a
n
}
的前
< br>n
项和
s
n
的公式，求
{
a
n
}
的通项公式
.
（
1
）
S
n
n
3
n
1
.
（
2
）
s
n
n
1
答案：
（
1
）
a
n
=3
n
3
n
2
，
（
2
）
a
n
2
(
n
1
)
<
/p>
0
点评：先分
n=1
和
n
2
两种情况，然后验证能否统一
.
2
n
1
(
n
2
)
三
、
累加法
【
型如
a
n<
/p>
1
a
n
f
(
n
)
的地退关系递推关系】
简析
：
已知
a
1
a
,
a
n
1
a
n
f
(
n
)
，
其中
f(n)
可以是关于
n
的一次、
二次函数、
指数函数、
分式函数，
求通项
a
n
.
①若
f(n)
是关于
n
的一次函数，累加后
可转化为等差数列求和
;
②
若
f(n
)
是关于
n
的指数函数，累加后可转化
为
等比数列求和
;
③若
f(n)
是关于
n
的二次函数
，累加后可分组求和
;
④若
f(n)
是关于
n
的分
式函数，累加后可裂项
求和各式相加得
a
n
n
2
5
(
n
N
)
例
5
< br>：
已知数列
6
，
9
，
14
，
< br>21
，
30
，
< br>…求此数列的一个通项
.
.
答案：
n
n
例
6.
若在数列
a
n
中，
a
1
3
，
a
n
1
a
n
2
，求通项
a
n
.
答案：
a
n
=
2
1
例
7
.
已知数列
{
a
n
}
满足
a
1
3
，
< br>a
n
a
n
1
1
1
(
n
2
)
，求此数列的通项公式
.
答案：
a
n<
/p>
2
n
(
n
1
)
n
四、累积法
【
形如
a<
/p>
n
1
=
f
(n)
·
a
n
型】
（
1
）当
f(n)
为常数
，即：
a
n
1
n
1
<
/p>
q
（其中
q
是不
为
0
的常数）
，此时数列为等比数列，
a
n
=
a
1
q
.
a
n
（
2
）当
f(n)
为
n
的函数时
,
用累乘法
.
例
8
：
在
数列｛
a
n
｝中，
a
1
=1,
(n+1)
·
a
n
1
=n
·
a
n<
/p>
，求
a
n
的表达
式
.
例
9
：
已知数列
a
n<
/p>
中，
a
1
答案：
a
n
1
，前
n
项和
S
n
与
a
n
的关系是
S
n
n
(
2
n
1
)
a
n
，试求通项公式
a
n
. .
3
1
.
思考题
1
：
已知
a
n
<
/p>
1
na
n
n
1
,
a
1
1
,
求数列
{
a
n
}
< br>的通项公式
.
(
2
n
1
(
< br>2
n
1
)
分析
：原式化为
a
n
1
1
n
(
a
n
1<
/p>
),
若令
b
n<
/p>
a
n
1
,
则问题进一步转化为
b
n
1
nb
n
形式，累积得解
.
五、构造特殊数列法
构造
1
：
【
形如
a
n
1
< br>
ca
n
d
,
(
c
0
,
其中
a
1
a
)
型】
（
1
）若
c=1
时，数列
{
a
n
}
为等
差数列
;
（
2
）若
d=0
时，
数列
{
a
n
}
为等比数列
;
（
3
）若
c
1
< br>且d
0
时，数列
{
a
n
}
< br>为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造
等比数列来求
.
方法如下：
设
a
n
1
c
(
a
n
<
/p>
)
,
得
a
n
1
ca
n
(
c
1
)
< br>
,
与题设
a
< br>n
1
ca
n
d
,
比较系数得
所以：
a
n
< br>
d
,
(
c
0
)
，
c
1
d
d
d
d
为首项，以
c
为公比的等比数列
.
< br>c
(
a
n
1
)
,
即
a
n
构成以
a
1
c
1
c
1
c
1
c
< br>
1
n
例
10
：
已知数
{
a
n
}
的递推关系为
a
n
< br>
1
2
a
n
1
，
且
a
1
1
求通项
a
n
.
答案：
a
n
2
1
构造
2
：相邻项的差为特殊数列
例
11
：
在数列
a
n
中，
a
1
1
，
a
2
2
，
a
n
<
/p>
2
构造
3
：倒数为特殊数列【形如
a
n
2
1
1
< br>a
n
1
a
n
，求
a
n
.
提示：变为
a
n
2
a
n
1<
/p>
(
a
n
1
a
n
)
.
3
3
3
pa
n
1
】
ra
n
1
s
例
1
2
：
已知数列
｛
a
n
｝
中
a
1
1
且
a
n
1
六、待定系数法：
a
n
1
1
（
n
N
）
，
求数列的通项公式
.
答案
a<
/p>
n
，
a
n
1
b
n
n
例
13
：
设数列
{
c
n
}
的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的
和，若
c
1
=2
，
c
2
=4
，
c
3
=7
，
c
4
=12
，
求通项公式
c
n
n
1
解析
：设
c
n
a
(
n
<
/p>
1
)
d
bq
建立方程组，解得
.
点评
：用待定系数法解题时，常先假定通项公式或前
n
项和公式为某一多项式，一般地，若数列
{
a
< br>n
}
为等差数列：
2
n
1
则
a
n
bn
< br>
c
，
s
n
bn
cn
（
b
、
ｃ
为
常
数
），<
/p>
若
数
列
{
a
n
}
为
等
比
数
列
，
则
a
n
Aq
，
s
n
Aq
n
A
(
Aq
0
,
q
1
)
.
七、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】