数列求和方法(很实用,比较全面)
诺基亚5210-
专题二：数列求和的基本方法
一、利用等差等比公式求和
1.
等差数列求和公式：
S
n
< br>
=
2.<
/p>
等比数列求和公式：
S
n
练习：
1
.
已知数列
{log
2
(
a
n
1)},
n
N
< br>
为等差数列，且
a
1
3,
a
3
9
。
（
1
）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
（
2
）求
1
1
1
。
<
/p>
a
2
a
1
a
3
a
2
a
n
1
a
n
二、分组求和法
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个
等差数列﹑等比数列或常见数列（如可裂项的数列）
，然后分别求和，再将其合
并即可。
练习：
2.
在数列
{
a
n
}
中，
a
1
< br>
2,
a
n
1
4
a
n
3
n<
/p>
1
,
n
N
。
（
1
）求证数列
{
a
n
n
}
是等比数列；
（
2
）求数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n<
/p>
。
3.
已知等差数列前
n
项和为
S
n
，且
a
3
< br>5,
S
15
< br>225
。
（
< br>1
）求数列
{
a
n
}
的通项公式；
（
2
）
设
b
n
2
n
2
n
，
求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
。
< br>
三、裂项求和法
< br>这是分解和组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每一项分
解，然后从新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的，一般先分解通项公式，常见
分解如下：
（
1)
a<
/p>
a
n
1
1
1
1
1
1
1
(
)
,
a
n
n
(
n
<
/p>
1)
n
n
1
n
(
n
k
)
k
n
n
k
< br>（
2
）
a
n
1
4
n
2
1
1
1
1
1
(
)
2
n
< br>
1
2
n
1
2
2
n
1<
/p>
2
n
1
（
3)
a
n
1
1
1
n
1
< br>
n
,
a
n
(
n
k
n
)
n
1
n
n
k
n
< br>k
a
n
例
2.
在数列
{
a
n
}
中，
1
2
n
2
，
又
b
n
，
求
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
< br>。
n
1
n
1
n
1
a
n
a
n
1
练习：
4.
已知等差
数列
{
a
n
}
满足：
a
3
7,
a
5
<
/p>
a
7
26
，
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
。
（
1
）求
a
n
及
S
n
；
（
2
）令
b
n
< br>
四、错位相减法
这种方法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所
用到的方法，
主要用于求数列
{
a
n
b
n
}
的前
n
项和，其中<
/p>
{
a
n
},{<
/p>
b
n
}
分别是等
差数列和等比数列。
例
3.
求
S
n
2
2
< br>2
2
3
2
3
n
2
n
。
练习：
5.
已知点
(
a
n
1
,
a
n<
/p>
2
n
)
在直线
y
（
1
）若
b
n
2
(
n
N
)
< br>，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
。
2
a
n
1
x
上，其中
n=1,2,3,...
。
2
a
n
(
n
N
)
，求证：数列<
/p>
{
b
n
}
是等差数列；
n
2
（
2
）（
2
）若
a
1
< br>
1
，求数列
{
a
n
}
的前
< br>n
项和
S
n
。
6.
设数列
{
a
n
}
满足
a
1
3
a
2
3
a
3
3
2
n
< br>1
a
n
n
,
n
N
。
3
（
1
）求数列
{<
/p>
a
n
}
的通项公
式；
（
2
< br>）设
b
n
n
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
。
a
n
7.
等差数列
{
a
n
}
的
各项均为正数，
a
1
3
，前
n
项和为
S
n
，
{
< br>b
n
}
为等比数列，
b
1
2
，且
b
2
S
< br>2
32
，
b
3
S
3
120
。
（
1
）求
a
n
与
b
n
；
（
2
）求数列
{
a
n
b
n
}
的前
n
项和
T
n
。