等差、等比数列以及数列求和专题(汇编)
白骨精写给孙悟空的信-
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§
6.2
等差数列
一．课程目标
1.
理解等差数列的概念；
2.
掌握等差数列的通项公式与前
n
项和公式；
3.
能在具
体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问
题；
4.
了解等差数列与一次函数的关系
.
二．知识梳理
1.
定义
如果一
个数列从第
2
项起，
每一项与它的前一
项的差等于同一个常数，
那么这个数列就
叫做等差数列，这个常
数叫做等差数列的公差，公差通常用字母
d
表示
.
数学语言表达式：
a
n<
/p>
＋
1
－
a
n
＝
d
(
n
∈
N
*
，
d
为常数
)
，或
a
n
－
< br>a
n
－
1
＝
d
(
n
≥
2
，
d
为常数
).
2.
通项公式
若等差数列
{
a
n
}
的首项是
a
1
，公差是
d
，则其通项公式为
a
n
＝
a
1
＋
(
n
－
1)
d
.
3.
前
n<
/p>
项和公式
等差数列的前
n
项和公式：
S
n
na
1
< br>d
为公差，
a
n
为第
n
项
).
3.
等差数列的常用性质
已知数列
{
a
n<
/p>
}
是等差数列，
S
n
是
{
a
n
}
的前
n
项和
.
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n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
d
其中
n
∈
N
*
，
a
1
为首项，
2
2
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(1)
通项公式的推广：
a
n
a
m
(
n
m
)
d
(
n<
/p>
,
m
N
*)
(2)
若
m
＋
n
＝
p
＋
q
(
m
，
n
，
p
，
q
∈
< br>N
*
)
，则有
< br>a
m
a
n
a
p
a
q
。特别的，当
m
n
2
p
时，
a
m
a
n
2
a
p
(3)
等差数列
{
a
n
}
的单调性：
当
d
＞
0
时，
{
a
n
}
是递增数列；
当
d
＜
0
时，
< br>{
a
n
}
是递减数列；
当
d
＝
0
时，
{
a
< br>n
}
是常数列
.
(4)
若
{
a
n
}
是等差数列，公差为
< br>d
，则
a
k
，
a
k
＋
m
，
a
k
＋<
/p>
2
m
，
…(
k
，
m
∈
N
*
)
是公差为
md
的等
差数列
.
(5)
若
{
a
n
},
{
b
n
}
是等差数列，则
{
pa
n
q
b
n
}
仍是等差数列
< br>.
4.
与等差数列各项和相关的性质
<
/p>
（
1
）若
{
a
n
}
是等差数列
，
则
{
公差的
S
n
其首项与
{
a
n
}
的首项相同，
公差为
{
a
n
}
的
}
也是等差数列，
n
1
。
2
（
2
）数列
S
m
,
S
2
m
S
m
,
S
3
m
S
2
m<
/p>
…
也是等差数列
.
（
3
）关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。
a
.
若项数为
2
n
，则
S
偶
S
奇
nd
,
S
奇
a
n
。
S
偶
a
n
<
/p>
1
S
奇
n
。
S
偶
n
1
b
.
若项数为
2
n
< br>1
，则
S
偶
n
(
n
1
)
a
n<
/p>
，
S
奇
na
n
，
S
偶
S
奇
a
n
,
< br>（
4
）若两个等差数列
{
a
n
},
{
b
n
}
的前
n
项和分别为
S
n
,
T
n
，则
a
n
S
2
n
1
< br>
b
n
T
2
n
1
5
.
等差数列的前
n
项和公式与函数的关
系：
（
1
）
S
d
2
d
S
n
＝
An
2
＋
Bn
(
A
，
B
为常数
).
n
(
a
1
)
n
，数列
{
a
n
}
是等差数列
⇔
2
2
（
2
）在等差数列
{
a
n
}
中，
a
1
＞
0
，
d
＜
0
，则
S
n
存在最大值；若
a
1
＜
0
，
d
＞
0
，则
S
n
存在最小
值
.
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三．考点梳理
1.
等差数列的概念及运算
例
1.(2016·
全国Ⅰ卷
< br>)
已知等差数列
{
a
n
}
前
9
项的和为
27
，
a
10
＝
8
，则
a
100
＝
(
)
A.100
例
2.
设等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
S
3
＝
6
，
S
4
＝
12
，则
S
6
＝
________.
练习
1.(2015·
全国Ⅰ卷
)
已知
{
a
n
}
是公差为
1
的等差数列，
S
n
为
{
a
n
}
的前
n
项和
.
若
S
8
＝
4
S
4
，
< br>则
a
10
等于
< br>(
)
17
A.
2
2.
等差数列的性质
例
1.(2015·
全国Ⅱ卷
)
设
S
n
是等
差数列
{
a
n
}
的前
n
项和，若
a
1
＋
a
3
＋
a
5
＝<
/p>
3
，则
S
5
＝
(
)
A.5
精品文档
B.7
C.9
D.11
19
B.
2
C.10
D.12
B.99
C.98
D.97
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例
2.
设等差数列
{
a
< br>n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
< br>S
3
＝
9
，
S
6
＝
3
6
，则
a
7
＋
a
8
＋
a
9
等于
(
)
A.63
例
3.
若一个等差数列前
< br>3
项的和为
34
，最后
3
项的和为
146
，且
所有项的和为
390
，则这个
数列的项
数为
(
)
A.13
例
4.(
2015·
广东卷
)
在等差数列
{
a
n
}
中，若
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＋
a
6
＋
a
7
＝
25
，则
a
2
＋
a
8
＝
__
______.
例
5.(2016·
武汉调研
)
已知数列
{
a
n
}
是等差数列，
a
1
＋
a
7
＝－
8
，
a
2
＝
2
，则数列
{
< br>a
n
}
的公差
< br>d
等于
(
)
A.
－
1
B.
－
2
S
n
2
n
－
3
例
6.
设等差数列
{
a<
/p>
n
}
，
{
b
n
}
的前
n
项和分别为
S
n
，
T
n
，若对任意
自然数
n
都有
＝
，则
T
n
4
n
－
3
a
9<
/p>
a
3
＋
的值为<
/p>
________.
b
5
＋
b
7
b
< br>8
＋
b
4
3.
等差数列与函数
例
1.
等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，已知
a
1
＝
13
，
S
3
＝
S
11
，当
S
n
最大时，
n
的值是
(
)
A.5
精品文档
B.6
C.7
D.8
C.
－
3
D.
－
4
B.12
C.11
D.10
B.45
C.36
D.27
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a
6
9
例
2.
设
等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，
a
1
>0
且
＝
，
则当
S
n
取最大值时，
n
的值为
(
)
a
5<
/p>
11
A.9
例
3.
已知等差数列
{
a
n
}
满足
a
1
＋
a
2<
/p>
＋
a
3
＋
…
＋
a
101
＝
0
，则有
(
)
A.
a
1
＋
a
101
＞
0
B.<
/p>
a
2
＋
a
100
＜
0
C.<
/p>
a
3
＋
a
99
＝
0
D.
a<
/p>
51
＝
51
例
4.<
/p>
已知正项等差数列
{
a
< br>n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
< br>S
12
＝
24
< br>，则
a
6
·
a
7
的最大值为
(
)
A.36
例
5.
设
{
S
n
}
是公差为
d
（
d
0
）
的无穷等差数列
{
a
n
}
的前
n<
/p>
项和，
则下列命题错误的是
（
）
B.6
C.4
D.2
B.10
C.11
D.12
A.
若
d<0
，则数列
{
S
n
}
< br>有最大项
B.
若数列
{
S
n
}
有最大项，则
d<0
C.
若数列
{
S
n
}
为递增数列，则对任意
n
N
*
，均有
S
n
>0
D.
若对任意
n
N
*
，均有
S
n
>0<
/p>
，则数列
{
S
n
}
为递增数列
例
6.<
/p>
设等差数列
{
a
n
}
满足
a
2
＝
7
，
a
4
＝
3
，
S
n
是数列
{
a
n
}
的前
n
项和，
则使得
S
n
>0
成立的最大
精
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< br>的自然数
n
是
(
)
A
．
9
B
．
10
C
．
11
D
．
12
方法总结：求等差数列前
n
项和的最值，常用的方法：
(1)
利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；
(2)
利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；
(3)
将等差数列的前
n
项和
S
n
＝
An
2
＋
Bn
(
A
，
B
为常数
)
看作二次函数，根据二次函数
的性质
求最值
.
§
6.3
等比数列
一．课程目标
1.
< br>理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前
n
项
和公式；
2.
能在具体的问题情境中
识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题；
3.
了解等比数列与指数函数的关系
.
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二．知识梳理
1.
等比数列的概念
(1)
如果一个数列从第
2
项
起，每一项与它的前一项的比等于同一个非零常数，那么这个数
列叫做等比数列，这个常
数叫做等比数列的公比，公比通常用字母
q
(
< br>q
≠0)
表示
.
a
n
＋
1
< br>a
n
数学语言表达式：
＝
q
(
n
≥2
，
q
为非零常数
)
，或
＝
q
(
n
∈
N
*
，
q
为非零常数
). <
/p>
a
n
a
n
－
1
(2)
如果三个
数
a
，
G
，<
/p>
b
成等比数列，那么
G
< br>叫做
a
与
b
的等比中项，其中
G
＝
±
ab
.
2.
等比数列的通项公式及前
n
项和公式
(1)
若等比数列
{
a
n
}
的首
项为
a
1
，公比是
q
，则其通项公式为
a
n
＝
a
1
q
n
1
；
< br>－
通项公式的推广：
a
n
＝
a
m
q
n
m
.
－
a
1
（
1
< br>－
q
n
）
a
1
－
a
n
q
(2)
等比数列的前
n
项和公式：当
q
＝
1
时，
S
n
＝
na
1
；当
q
≠1
时，
S
n
＝
＝
.
1
－
q
1
－
q
3.
等比数列的性质
已知
{
a
n
}
是
等比数列，
S
n
是数列
{
a
n
}
的前
n
项和
.
< br>(1)
若
k
＋
< br>l
＝
m
＋
n
(
k
，
l
，
m
，
n
∈
N
*
)
，则有
a
k
·
a
l
＝
a
m
·
a
n
< br>.
(2)
数列
{
c
a
n
< br>}(
c
0
),
{
a
n
},
{
a
n
b
n
}
（<
/p>
{
b
n
}
是等比数列），
{
a
n
}
，
{
2<
/p>
1
}
等也是等比数列。
< br>a
n
(3)
相隔等距离的项组成
的数列仍是等比数列，即
a
k
，
a
k
＋
m
，
a
k
＋
2
m
，
…
仍是等比数列，公比
为
q
m
.
(4)
当
q
≠
－
1
，或
q
＝－
1
且
n
为奇数时，
S
n
，
S
2
n
－
S
n
，
S
3
n
－
< br>S
2
n
仍成等比数列，其公比为
q
n
.
(5
)
等比数列
{
a
n
}
的单调性：
< br>当
q
＞
1
，
a
1
＞
0
或
0
＜
q
＜
1
，
a
1
＜
0
时，数列
{
a
n
}
是递增数列；
当
q
＞
1
，
a
1
＜
0
或
0
＜
q
< br>＜
1
，
a
1
＞
0
时，数列
{
a
n
}
是递减数列；
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当
q
＝
1
时，数列
{
a
n
}
是
常数列
.
(6)
当
< br>n
是偶数时，
S
偶
S
奇
< br>q
;
当
n
为奇数时，
S
奇
a
1
S
偶
q
三．考点梳理
1.
等比数列的概念及运算
例
1.
在单调递减的等比数列
< br>{
a
n
}
中，若
a
3
1
，
a
2
a
4
5
，则
a
1
＝
(
)
2
D.2
2
A.2
B.4
C.
2
例
2.
公比不为
1
的等比数列
{
a
< br>n
}
满足
a
5
a
6
a
4
a
7
<
/p>
18
，若
a
1<
/p>
a
m
9
，则
m
的值为
(
)
A.8
例
3.(2015·
全国Ⅰ卷
)
在数列
{
a
n
}
中，
a
1
＝
2
，
a
n
＋
1
＝
2
a
n
，<
/p>
S
n
为
{
a
n
}
的前
n
项和
.
若
S
n
＝
126
，则
n
＝
_______
_.
2.
等比数列的性质
例
1.(2016·
全国Ⅰ卷
)
设等比数列满足
a
1
＋
a
3
＝
10
，
a
2
＋
a
4
＝
5
，则
a
1
a<
/p>
2
…
a
n
的最大值为
________.
精品文档
B.9
C.10
D.11
精品文档
S
6
S
9
例
2.
设等比数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，若
＝
3
，则
＝
(
)
S
3
S<
/p>
6
A.2
例
3.(2015·
全国Ⅱ卷
)
已知等比数列
{<
/p>
a
n
}
满足
a
1
＝
3
，
a
1
＋
a
3
＋
a
< br>5
＝
21
，则
< br>a
3
＋
a
5
＋
a
7
＝
(
)
A.21
例
4.
设各项都是正数的等比数列
{
a
n
}
，
S
n
为前
n
项和，
且
S
10
＝
10
，
S
30
＝
70
，
那么
S
40
等于
(
)
A.150
C.150
或－
200
例
5.
在正
项等比数列
{
a
n
}
中，已知
a
1
< br>a
2
a
3
＝
4
，
a
4
a
5
a
6
＝
12
，
a
n
－
1
a
n
a
n
＋
1
＝
324
，则
n
等于
(
)
A.12
2
2
2
例
6.
数列
{
a
n
}
中，已知对
任意
n
∈
N
*
，
a
1
＋
a
2
＋
a
3
＋
…
＋
a
n
＝
3
< br>n
－
1
，则
a
2
1
＋
a
2
＋
a
3<
/p>
＋
…
＋
a
n
等
7
B.
3
8
C.
3
D.3
B.42
C.63
D.84
B.
－
200
D.400
或－
50
B.13
C.14
D.15
于
(
)
1
A.(3
n
－
1)
2
B.
(9
n
－
1)
C.9
n
－
1
2
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1
D.
(3
n
－
1)
4
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例
7.
在等
比数列
{
a
n
}
中，
a
2
＝
1
，则其前
3
项的和
S
3
的取值范围是
________.
o
g
例
8.<
/p>
已知数列
{
a
n
}
满足
log
3
a
n
＋
1<
/p>
＝
log
3
a<
/p>
n
＋
1
(
n
∈
N
*
)
，
且
a
2
＋
a
4
＋
a
6
＝
9
，
则
l
的值
是
(
)
1
1
A
．－<
/p>
5
B
．－
C
．
5
D
．
5
5
1
3
(
a
5
a
7
a
9
)
< br>2
例
9.
在各项均为正数的等比
数列
{
a
n
}
中，
a
3
<
/p>
2
1
,
a
5
2
1
，则
a
3
2
a
< br>2
a
6
a
3
a
7
=
（
）
A.8
B
．
6
C
．
4
5
例
10.
若等比数列
{
a
n
}
的前
n
项均为正数，且
a
10
a
11
a
9
a
12
2
< br>e
，则
D
．
8
4
2
ln
a
1
ln
a
2
< br>ln
a
20
< br>_________.
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§
6.3
数列求和
一．课程目标：
< br>1.
熟练掌握等差、等比数列的前
n
项和公式；
2.
掌握非等差数列
、非等比数列求和的几种常见方法
.
二．知识梳理
1.
< br>求数列的前
n
项和的方法
(1)
公式法
①等差数列的前
n
项和公式
n
（
a
1
＋
a
n
）
n
（
n
－
1
）
S
n
＝
＝
na
1
＋
d
.
2
2
②等比
数列的前
n
项和公式
(
ⅰ
)
当
q
＝
1
时，
S
n
＝
na
1
；
a
1<
/p>
（
1
－
q
n
）
a
1
－
a
n
q
(
ⅱ
)
当
q
≠1
时，
S
n
＝
＝
.
1
－
q
1
－
q
(2)
分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解
< br>.
(3)
裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项
.
(4)
倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广
< br>.
(5)
错位相减法
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主要用于一个等差数列与一个等比
数列对应项相乘所得的数列的求和，
即等比数列求和
公式的推导
过程的推广
.
2.
常见的裂项公式
(1)
1
1
1
n
(
n
1
)
n
n
1<
/p>
1
1
1
1
＝
(
)
(
2
n
1
)(
2
< br>n
1
)
2
2
n
1
2
n
1
1
n
n
1
n
1
n
< br>
(2)
(3)
三．
考点梳理
1.
求数列的通项公式。
例
1.
已知数列
{a
n
}
满足
a
1
1
,
a
n
1
1
1
2
，
其中
n
∈
N
*
．
设
b
n
，
求证：
数列
{
b<
/p>
n
}
4
a
n
2
a
n
1
是等差数列，并求出
{
a
n
}
的通
项公式；
例
2.<
/p>
已知数列
{a
n
}
满足
a
1
=
3
a
n
1
3
，
a
n+1
=
，
n
∈
N
+
．求证：数列
{
﹣
2}
是等比数列，
< br>4
a
n
1
a
n
7
并
且求出数列
{a
n
}
< br>的通项公式；
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例
3.
已知数列
{
a
n
}
的
前
n
项和为
S
n
，
a
1
<
/p>
3
1
，
S
n
S
n
1
a
n
1
（
n
∈
N
*
且
n≥2
），数列
< br>4
2
{
b
n
}
满足：
b
1
37
，且
3
b
n
b
n
1
n
1
（
n
∈
N
*
且
n≥2
）．
4
（Ⅰ）求数列
{
a
n
}
的通项公式
；
（Ⅱ）求证：数列
{
b
n
a
< br>n
}
为等比数列；
例
4.
在数
列
{
a
n
}<
/p>
中，已知
a
1
1
,
a
2
3
,
a
n
2
2
a
n
< br>1
2
a
n
．证明数列
{
a
< br>n
1
a
n
}
是等比数
列，并求数列
{
a
n
}
的通项公式；
2
n
1
a
n
2
n
例
5.
数列
{
a
n
}
满足
a
1
2
，
a
n
1
（
n
N<
/p>
*
）
。
设
b
n
，
求数列
{
b
n
}
的
1
a
n
n
(
n
)
a
n
2
2
通项公式。
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例
6.<
/p>
数列
{
a
n
}
满足
a
1
2
,
a
1
a
2
a
3
12
，且
a
n
2
a
n
1
a
n<
/p>
2
0
(
n
Î
N*)
。
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式
;
(2)
令
b
n
=
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4
n
1
+
2
a
n
，
求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
.
a
n
a
n
1