数列求和方法总结
石家庄水上公园-
数列的求和
一、教学目标：
< br>1
．熟练掌握等差数列与等比数列的求和公式；
2
．能运用倒序相加、错位相减
、拆项相消等重要的数学方法进行求和运算；
3
．熟记一些常用的数列的和的公式．
二、教学重点：
特殊数列求和的方法．
三、教学过程：
（一）主要知识：
1
．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。
（
1
）等差数列的求和公式：
S
n
n
(
a
1
a
n
)
n
(
< br>n
1
)
na
1
d
2
2
na
1
(
q
1
)
<
/p>
n
（
2
）等比数
列的求和公式
S
n
< br>
a
1
(
1
q
)
（
切记：公比含字母时一定要讨论）
(
q
1
)
<
/p>
1
q
2
．公式法：
k
2
1
2
2
2
3
2
k
1
n
< br>
n
2
n
(
n
1
)(2
n
1)
6
2
k
k
1
n
3
1
2
3
<
/p>
3
3
3
n
(
n
1)
n
< br>
2
3
3
．错位相减法：比如
a
n
等差
,
b
n
等比
,
求
a
< br>1
b
1
a
2
b
2
a
n
b
n
的和
.
4
．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之
差、正负相消剩下首尾若干项。
常见拆项公式：
1
1
1
1
< br>1
1
1
(
)
；
n
(<
/p>
n
1
)
n
n
1
n
(
n
2)
2
n
n
< br>
2
1
1
1
1
(
)
n
n
!
(<
/p>
n
1
)!
n
!
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
2
2
n
1
2
n
1
5
．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。<
/p>
6
．合并求和法：如求
100
2
99
2
98
2
97
2
< br>
2
2
1
2
的和。
7
．倒序相加法：
8
．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等
（二）主要方法：
1
．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；
2
．求和过程中注意分类讨论思想的运用；
3
．转化思想的运用；
（三）例题分析：
例
1
．求和：①
S
n
1
11
111
11
1
n
个
②<
/p>
S
n
(
x
)
2
(
x
2
1
x
1
2
1
2
n
)
(<
/p>
x
)
x
2
x
n
③求数列
1
，
3+4
，
5+6+7
，
7+8+9+10
，…前
n
项和
S
n
< br>
思路分析：通过分组，直接用公式求和。
1
1
10
10
2
10
k
解：①
< br>a
k
11
k
个
1
k
(
10
1
)
9
1
1
S
n
[(
10
1
)
(
10
2
1
)
(
10
n
1
)]
[(
10
10
2
1
0
n
)
n<
/p>
]
9
9
1
10
(
10
n
1
)
10
n
1
9
n
10
[
n
]
9
9
81
②
S
n
(
x
2
1
1
1
4
2
n
2
)
(
< br>x
2
)
(
x
2
)
2
4
2
n
x
x
x
1
1
1
< br>
)
2
n
x
2
x
4
x
2
n
(
x
2
x
4
< br>
x
2
n
)
(
x
2
(
x
2
n
1
)
x
2
(
x
2
n
< br>1
)
(
x
2
n
1
)
(
x
2
n
<
/p>
2
1
)
（
1
）当
x
1
时，
S
n
2
n
2
n
2
2
2
n<
/p>
2
x
1
x
1
x
(
x
1
)
（
2
）当
< br>x
1
时
,
S
n
4
n
③
a
k
(
2
k
1
)
2
k
< br>
(
2
k
1
)
[(
2
k<
/p>
1
)
(
k
1
)]
k
[(
2
k
1
)
(
3
k
2
)]
5
2
3
k
k
2
2
2
S
n
a
1
a
2
< br>
a
n
5
2
3
5
n
(
n
1
)(
2
n
1
)
3
n
(
n
1
)
(
1
2
2
n
2
)<
/p>
(
1
2
n
)
2
2
2
6
2
2
1
n
(
n
<
/p>
1
)(
5
n
2
)
6
总结：运用等比数列前
n
项和公式时，要注意公比
q
1<
/p>
或
q
1
讨论。
2
．错位相减法求和
例
2
．已知数列
1
,
3
a
,
5
a
2
,
,
(
2
n
1
)
a<
/p>
n
1
(
a
0
)
，求前
n
项和。
思路分析：已知数列各项是等差数列
1
，
3
，
5
，…
2n-1
与等比数列
a
0
,
a
,
a
2
,
,
a
n
1
对
应项积，可用错位相减法求和。
解：
S
n
1
3
a
< br>
5
a
2
(
2
n
1
)
a
n
1
aS
n
a
3
a
2
5
a
3
(
2
n
1
)<
/p>
a
n
1
2
1
2
:
(
1
a
< br>)
S
n
1
2
a
2
a
2
2
a
3
2
a
n
1
< br>(
2
n
1
)
a
n
2
a
(
1
a
n
1
)
n
当
a
1
时
< br>,
(
1
a
)
S
n
1
<
/p>
(
2
n
1
)
2
(
1
a
)
1
a
(
2
n
1
)
a
n
<
/p>
(
2
n
1
)
a
n
1
S
n
(
1
a
)
2
当
a
1
时<
/p>
,
S
n
n
2
3.
裂项相消法求和
2
2
4
2
(
2
n
)
2
例
3
.
求和
S
n
1
3
3
5
(
2
< br>n
1
)(
2
n
1
)
思路分析
:
分式求和可用裂项相消法
求和
.
解
:
(
2
k
)
2
(
2
k
)
2
1
1
1
1
1
1
a
k
< br>
1
1
(
)
(
2
k
1
)(
2
k
1
)
(
2
k
1
)(
2
< br>k
1
)
(
2
k
1
)(
2
k
<
/p>
1
)
2
2
k
1
2
k
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
n
(
n
1<
/p>
)
S
n
a
1
a
2
a
n
n
[(
1
)
(
)
(
)]
n
(
1
)
2
3
3
5
2
n
1
2
n
1
2
2
n<
/p>
1
2
n
1
n
(
n
1
)
(
a
1
)
1
2
3
n
2<
/p>
练习
:
求
S
n
2
3
n
答案
:
S
n
a
(
a
n
1
)
n
(
a
1
< br>)
a
a
a
a
(
a
1
)
n
2
a
(
a
1
)
4.
倒序相加法求和
0<
/p>
1
2
n
例
4
求证：
C
n
3
C
n
5
C
n
(
2
n
1
)
C
n
(<
/p>
n
1
)
2
n