高中数学-数列求和及数列通项公式的基本方法和技巧
入党材料-
--
数列求和
通项分式法
错位相减法
反序相加法
分组法
分组法
合并法
数列是高中代数的重要容，又是学习高等数学的基础
.
在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位
.
数列求和是数列的重要容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的
技巧
.
下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧
.
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法
.
1
、
等差数列求和公式：
S
n
< br>
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
1
)
na
1
d
2
2
(
q
1
)
na
1
n
2
、
等比数列求和公式：
S<
/p>
n
a
1
(
1
q
)
a
1
a
n
q
(
q
1
)
1<
/p>
q
1
q
自然数方幂和公式：
n
1
1
2
3
、
S<
/p>
n
k
n
(
n
1
)
4
、
S
n
k
n
(
n
< br>1
)(
2
n
1
)
2
6
k
1<
/p>
k
1
n
5
、
S
n
1
3
k
[
n
(
n
1
)]
2
2
k
1
n
[
例
]
求和
1
＋
x
2
＋
x
4
＋
x
6
＋
…x
2n+4
(x≠0)
解：
∵
x≠0
∴
该数列
是首项为
1
，公比为
x
2
的等比数列而且有
n+3
项
当
x
2
＝
1
即
x
＝
±1
时
和为
n+3
评注：
-
-
教育
-
--
(1)
利用等比数列求和公式．当公
比是用字母表示时，应对其是否为
1
进行讨论，如本
题若为
“
等比
”
的形式而并未指明其为等比数列，还应对
x
是否
为
0
进行讨论．
(2)
要弄清数列共有多少项，末项不一定是第
n
项．
对应高考考题：设数列<
/p>
1
，
（
1+2<
/p>
）
，…，
（
1+
2+
二、错位相减法求和
错位相减法求和
在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出了这方面的容。需
要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前
n
< br>项和公式时所用的方法，这种方法
主要用于求数列
{a<
/p>
n
·
b
n
}
的前
n
项和，其中
{ a
n
}
、
{ b
n
}
分别是等差数列和等比数列
.
求和时一般在已
2
2
2
n
1
）
，……的前顶和为
s
n
，则
s
< br>n
的值。
知和式的两边都乘以
组成这个数列的等比数列的公比
q
；然后再将得到的新和式和原
和式相
减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。
< br>
2
3
n
1
[
例
]
求和：
S
n
1
3
x
5
x
7
x
(
< br>2
n
1
)
x
（
x
1
）
………………………
①
n
< br>1
解：由题可知，
{
(
2
n
1
)
x
n
< br>1
}
的通项是等差数列
{2n<
/p>
－
1}
的通项与等比数列
{
x
}
的通项之积
2
3
4
n
设
xS
n
< br>
1
x
3
x
5
x
7
x
(
2
n
1
)
x
………………………
.
②
（设制错位）
2
3
4
n
1
n
①－②得
(
1
x
)
S
n
1
2
x
2
x
2
x
2
x
< br>
2
x
(
2
n
1
)
x
（错位相减
）
1
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
再利用等比数列
的求和公式得：
(
1
x
)
S
n
1
2
x
1
x<
/p>
(
2
n
1
)
x
n
1
(
2
n
1
)
x
n
(
1
x
)<
/p>
∴
S
n
(
1
x
)
2
注意、
1
要考虑
当公比
x
为值
1
时为特殊情况
2
错位相减时要注意末项
此类题的特点是所求数列是由一个
等差数列与一个等比数列对应项相乘。
对
应
高
考
考
题
：
设
正
项<
/p>
等
比
数
列
a
n
的
首
项
a
1
1
，
前
n
项
和
为
S
n
，
且<
/p>
2
2
10
S
30
(
2
10
1
)
S
20
S
10
0
。
（Ⅰ）求
a
n
的通项；
（Ⅱ）求
nS
n
的前
n
项和
T
n
。
三、反序相加法求和
这是推导等差数
列的前
n
项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（
反序）
，再把它与原
-
-
教育
-
--
数列相加，就可以得到
n
个
(
a
1
a
n
)
.
0
1
< br>2
n
n
[
例
]
求证：
C
n
3
C
n
5
C
n
(
2
n
1
)
< br>C
n
(
n
1
)
2
0
1
2
n
证明：
设
S
n
C
n
3
C
n
5
C
< br>n
(
2
n
1
)
C
n
…………………………..
①
把①式右边倒转过来得
n
n
1
1
0
S
n
(
2
n
1
)
C
n<
/p>
(
2
n
1
)
C
n
3
C
n
C
n
（反序）
m
n
m
又由
C
n<
/p>
C
n
可得
0
1
n
1
n
S
n
(
2
n
1
)
C
n
(
2
< br>n
1
)
C
n
3
C
n
C
n
…………..……..
②
0
1
n
1
n
n
①
+
②得
2
S
n
(
2
n
2
)(
C
n
C
n
C
n
C
n
)
2<
/p>
(
n
1
)
2
（反序相加）
n
∴
S
n
(
n
1
)
2
四、分组法求和
有一类数列，既不是
等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或
常见的数
列，然后分别求和，再将其合并即可
.
若数列
a
n
的通项公式为
c
n
a
n
b
< br>n
，其中
a
< br>n
,
b
n
中一个是等差数列，另一个是
等比
数列，求和时一般用分组结合法。
[
例
]
：求数列
1
,
2
1
2
1
1
1
,<
/p>
3
,
4
的前
n
项和；
4
8
16
1
1
n
,
，
而数列
n
分别是等差数列、
等比数列，
求
2
n
2
分析：数列的通项公式为
a
n
n
和时一般用分组
结合法；
[
解
]
：因
为
a
n
n<
/p>
1
，所以
<
/p>
n
2
1
1
1
1
s
n
(
1
)
(
2
)
(
3
)
<
/p>
(
n
n
)
2
4
8
2
1
1
1
1
(
1
2
3
n
)
(
< br>
n
)
（分组）
2
4
8
2
前一个括号是一个等比数列的和，后一个括号是一个等差数列的和，因此
-
-
教育
-
--
1
1
(
1
n
)
n
(
n
1
)
2
n
2
< br>n
1
2
n
1
1
2
2
2
1
2
< br>
五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用
.
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后
重新组合，使之能消去一
些项，最终达到求和的目的
.
通项分解
（裂项）
如：
sin
1
tan(
n
1
)
tan
n
（
1
）
a
n
f
(
n
1<
/p>
)
f
(
n
)
（
2
）
cos
n
cos(
n
1<
/p>
)
(
2
n
)
2
1
1
1
1
1
1
1
(
)
（
3
）
a<
/p>
n
（
4
）
a
n
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
2
2
n
1
2
n
1
n
(<
/p>
n
1
)
n
n
1
（
5
）
a
n
1
1
1
1
[
]
n
(<
/p>
n
1
)(
n
2
)
2
n
(
n
1
)
(
< br>n
1
)(
n
2
)
1
,
1
2
<
/p>
3
1
n
n
1
1
1
2
,
,
1
n
n
1
,
<
/p>
的前
n
项和
.
[
例
]
<
/p>
求数列
1
2<
/p>
解：设
a
n
<
/p>
n
1
n
（裂项）
1
n
n
1
则
S
n
1
2
3
< br>
（裂项求和）
＝
(
2
1
)
(
3
2
)
< br>
(
n
1
n
)
＝
n
1
1
小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆
为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限
的几项。
< br>
注意：
余下的项具有如下的特点
1
余下的项前后的位置前后是对称的。
2
余下的项前后的正负性是相反的。
[
练习
]
在数列
{a
n
}
中，
a
n
和
.
2<
/p>
1
2
n
，又
b
n
，求数列
{b
n
}
的前
n
项的
a
n
a
n
1
n
< br>
1
n
1
n
1
-
-
教育
-