等差、等比数列及其求和及答案
这个冬季-
等差、等比数列及其求和
一、考点、热点
1
< br>．
a
n
与
S
n
的关系：
S
n
＝
a
1
＋
a
2
＋…＋
a
n
，
a
n<
/p>
＝
2
．等差数
列和等比数列
< br>S
1
，
n
＝
1
，
S
n
－
S
n
－
1
< br>，
n
≥
2.
定义
通项公式
等差数列
等比数列
a
n
－
a
n
－<
/p>
1
＝常数
(
n<
/p>
≥
2)
a
n
＝
a
1
＋
(
n
－
1)
d
(1)
定义法
(2)
中项公式法：
2
a
n
＋
1
＝
a
n
＋
a
n
＋
2
(
n
≥
1)
⇔
{
a
n
}
为等差
数列
(3)
通项公式法：
a
n
＝
pn
＋
q
(
p
< br>、
q
为
(1)
< br>定义法
a
n
< br>＝常数
(
n
≥
< br>2)
a
n
－
< br>1
a
n
＝
a
1
q
n
－
1
(
q
≠
0)
(2)
中项公式法：
a
n
＋
1
＝
a
n
·
a
n
＋
2
(<
/p>
n
≥
1)
(<
/p>
a
n
≠
0)
⇔
{
a
n
}
为等比数列
(3)
通项公式法：
a
n
＝
c
·
q
(
c
、
q
均是
不
2
*
2
判定
方法
常数
)
⇔
{
a
n
}<
/p>
为等差数列
n
(4)
前
n
项和公式法：
S
n
＝
An
＋
Bn
(
A
< br>、
为
0
的常数，
n
∈
N
)
⇔
{
a
n
}
为等比数列
B
为常数
)
⇔
{
a
n
}
为等差数列
(5){
a
n
}
为等比数列，
a
n
>0
⇔
{log
a<
/p>
a
n
}
为等差数
列
(1)
若
m
、
n
、
p<
/p>
、
q
∈
N
，且
m
＋
n
＝
p
＋
q
，则
a
m
＋
a
n
＝
a
p
＋
a
q
性质
(2)
a
n
＝
a
m<
/p>
＋
(
n
－
m
)
d
(3)
S
m
，
S
2
m
－
S
m
，
S
3
m
－
S
2
m
，
…仍成等差
数列
*
(4){
a
n
}
为等差数列
⇔
{
aa
n
}
为等比数列
(
a
>0
且
a
≠
1)
(1)
若
m
、
n
、
p
、
q
∈
N
，且
m
＋
n
< br>＝
p
＋
q
，
则
a
m
·
a
n
＝
a
p
·
a
q
(2)
a
n
＝
a
m
q
n
－
m
*
< br>
(3)
等比数列依次每
n
项和
(
S
n
≠
0)
仍成等
比数列
前
n
项和
n
a
1
＋
a
n
S
n
＝
2
a
1
1
－
q
< br>n
a
1
－
a
n
q
(1)
q
≠
1
，
S
＝
＝
n
n
n
－
1
1
－
q
1
－
q
＝
na
1
＋
d
2
< br>(2)
q
＝
1
< br>，
S
n
＝
na
1
2
．数列求和的方法技巧
(1)
转化法
有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、
等比数列或常见的数列，即先分别求和，然后再合并．
(2)
错位相减法
< br>这是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的方法，这种
方法主要用于求数列
{
a
n
·
b
n
}
的前
n
项
和，其中
{
a
n
}
，
{
b
n
}
分别是等差数列和等比数列．
(3)
倒序相加法
这是在
推导等差数列前
n
项和公式时所用的方法，
也就是将一个数列倒过来排列
(
反序
)
，
当它与
原数列相加时若有公式可
提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用倒序相加法求和．
(4)
裂项相消法
< br>利用通项变形，
将通项分裂成两项或
n
< br>项的差，
通过相加过程中的相互抵消，
最后只剩下有限项
的和．
3
．数列的应用题
< br>(1)
应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要
解好应用题，首
先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际
问题转化为数学问题，
然后再用数学运算、数学推理予以解决．
(2)
数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列
涉及的范围比较广，如经济上涉及
利润、
成本、
效益的增减，
解决该类题的关键是建立一个数列模型
{
a
n
}
，
利用该数列的通项公式、
递推公式或前
n<
/p>
项和公式．
二、典型例题
题型一
等差
(
比
)
数列的基本运算
例
1
已知等差数列
{
a
n
}
的前
5
项和为
105
，且
a
10
＝
2
a
5
.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式
；
(2)
对任意
m
∈
N
*
，将数列
{
a
n
}
中不大于
7
2
m
的项的个数记为
b
m
.
求数列
{
b
m
}
的前
m
项和
S
m
.
审题破题
(1)
由已知列出关于首项和公差的方程组，解得
a
1
和
d
，从而求出
a
n
.(2)
求出
b<
/p>
m
，再根据
其特征选用求和方法．
解
(1)
设数列
{
a
n
}
的公差为
d
，前<
/p>
n
项和为
T
n<
/p>
，由
T
5
＝
105
，
a
10<
/p>
＝
2
a
5
，
5
×
5
－
1
5
a
1
＋
d
＝
105
，
2
得
<
/p>
a
1
＋
9
d
＝
2
a
1
＋
4
d
，
解得
< br>a
1
＝
7
，
d
＝
7.
因此
a
n
＝
a
1
＋
(
n
－
1)
d
＝
7
＋
7(
n
－
1)
＝
7
n
(
n
∈
N
*
)
．
(2)
对
m
∈
N
*
，若
a
n
＝
7
n
≤
7
2
m
，则
n
≤
7
2
m
1
.
因此
b
m
＝
7
2
m
1
< br>.
－
－
所以数列
{
b
m
< br>}
是首项为
7
，公比为
49
的等比数列，
＋
b
1
1
－
q
m
7
×
1
－
49
m
7
×
7
2
m
－
1
7
2
m
1<
/p>
－
7
故
S
m
＝
＝
＝
＝
.
48
48
1
－
q
1
－
49
变式训练
1
在公差为
d
的等差数
列
{
a
n
}<
/p>
中，已知
a
1
＝
10
，且
a
1
,
2
a
2
＋<
/p>
2,5
a
3
成等
比数列．
(1)
求
< br>d
，
a
n
；
(2)
若
d
<0
，求
|
a
1
|
＋
|
a
2
|
＋
|
a
3
|
＋…＋
|
a
n
|.
解
(1)
由题意得
5
a
3<
/p>
·
a
1
＝
(2
a
2
＋
2)
2
，即
d
2
－
3
d
－
4
＝
0.
故
d
＝－
1
< br>或
d
＝
4.
< br>所以
a
n
＝－
< br>n
＋
11
，
n
∈
N
*
或
a
n
＝
4<
/p>
n
＋
6
，
n
∈
N
*
.
(2)
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
.
因为
d
<0
，由
(1)
得
d
＝－
1
，
a
n
＝－
n
＋
11.
1
21
当
n
≤
11
时，
|
a
1
|
＋
|
a
2
|
＋
|
a
< br>3
|
＋
…
＋
|
a
n
|
＝
S
n
＝－<
/p>
n
2
＋
n
.
2
2
1
21
当
n
≥
12
时，
|
a
1
|
＋
|
a
2
|
＋
|
a
3
|
＋
…
＋
|
a<
/p>
n
|
＝－
S
n
＋
2
S
11
＝
n
2
－
n
＋
110.
2
2
综上所述，
|
a
|
＋
|
a
|
＋
|
a
|
＋
…
＋
|
a
|
＝
1
21
n
－
2
2
n
＋
110
，
n
≥
12.
1
2
3
n
2
1<
/p>
21
－
n
2
＋
n
，
n
≤
11
，
2
2
题型二
等差
(
比
)
数列性质的应用
例
2
(1)
已知正数组成的等差数列
{
a
n
}
，前
20
项和为
100
，则
a<
/p>
7
·
a
14
的最大值是
(
)
A
．
25
D
．不存在
S
12
S
10
(2)
在等差数列
{
a
n
}
中，
a
< br>1
＝－
2 013
，其前
n
项和为
S
n
，若
－
＝
2
，则
S
2
013
的值为
(
)
12
10
D
．－
2 013
< br>20
a
1
＋
a
20
审题破题
(1)
根据等差数列的性
质，
a
7
＋
a
14
＝
a
1<
/p>
＋
a
20
，
S
20
＝
可求出<
/p>
a
7
＋
a
14
，然后利用基
2
S
n
本不
等式；
(2)
等差数列
{
a
n
}
中，
S
n
是其前
n
项和，则
n
也成等差数列．
a
1
＋
a
20
解析
(1)
∵
S
20
＝
×
20
＝
100
，
∴
a
1
＋
a
20
＝
10.
∵
a
1
＋
a
20
＝
a
7
＋
a
< br>14
，
∴
a
7
＋
a
14
＝
10.
2
a
7
＋
a
14
2
∵
a
n
>0
，
∴
a<
/p>
7
·
a
14
≤
2
＝
25.
当且仅当<
/p>
a
7
＝
a
14
时取等号．
S
n
S
1
(2)
根据等差数列的性质，得数列
n
也是等差数
列，根据已知可得这个数列的首项
＝
a
1
＝－
2 013
，
< br>1
S
2 013
公差
d
＝
1
，故
＝－
2
013
＋
(2 013
－
1)
×
1
＝－
1
，所以
S
2
013
＝－
2 013.
2 013
a
11
变式训练
2
(1)
数列
{
a
n
}
是等差数列，
若
<
－
< br>1
，
且它的前
n
项和
S
n
有最大值，
那么当
S
n
取得最小<
/p>
a
10
正值时，
n
等于
A
．
11
(
)
A
．－
2
011
B
．－
2 012
C
．－
2 010
B
．
50
C
．
100
D
．
21
a
11
解析
∵
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
有最大值，
∴
数列为递减数列．
又
<
－
1
，
∴
a
10
>0
，
a
11
<0
，
得
a
10
＋
a
11
<0.
a
10
19
a
1
＋
a
19
20
a
1
＋
a
20
而
S
19
＝<
/p>
＝
19·
a
10
>0
，
S
20
＝
＝
10(
a
10
＋
a
11
)<0.
故当
n
＝
19
时，
S
n
取得最小正值．
2
2
(2)
公比为
2
的等比数列
{
a
n
}
的各项都是正数，且
a
< br>3
a
11
＝
16
，则
log
2
a
10
等于
A
．
4
B
．
5
C
．
6
D
．
7
2
解析
∵<
/p>
a
3
·
a
11
＝
16
，
∴
a
7
＝
16.
又
∵
等比数列
{
a
n
}
的各项都是正数，
∴
a
7
＝
4.
B
．
17
C
．
19
(
)
又
∵<
/p>
a
10
＝
a
7
q
3
＝
4
×
2
3
＝
2
5
，
< br>∴
log
2
a
< br>10
＝
5.
题型三
等差数列、等比数列的综合应用
例
3
已知数
列
{
a
n
}<
/p>
的前
n
项和
S<
/p>
n
满足条件
2
S
n
＝
3(
a<
/p>
n
－
1)
，其中
n
∈
N
*
.
(1)
证明：数列
{
a
n
}
为等比数列；
(2)
设数列
{
b
n
}
满足
b
n
＝
log
3
a
n
，若
c
n
＝
< br>a
n
b
n
，求数列
{
c
n
}
的前
n
项和．
< br>
审题破题
(1)
利用
a
n
＝
S
n
－
S
< br>n
－
1
求出
a
n
与
a
n
－
1
之间的关系，
< br>进而用定义证明数列
{
a
n
}
为等比数列．
(2)
由
(1)
的结论得出数列
{
b
n
}
的通项公式，
求出
c
n
的表达式，再利用错位相减法
求和．
3
a
n
(1)
证明
由题意得
a
n
＝
S
n
－
S
n
－
1
＝
(<
/p>
a
n
－
a
n
－
1
)(
n
≥
2)
，
∴
a
n
＝
3
a
n
－
1
，
∴
＝
3(
n
≥
2)
，
2
a
n<
/p>
－
1
3
又
S
1
＝
(
a
1
－
1)
＝
a
1
，解得
a
1
＝
3
< br>，
∴
数列
{
a
n
}
为首项为
< br>3
，公比为
3
的等比数列．
2
(2)
解
由
(1)
得
a
n
＝
3
n
，则
b
n
＝
log
3
a
n
＝
log
3
3
n
＝
n
，
∴
c
n
＝
a
n
b
n
＝
n
·
3
n
，
设
T
n
＝
1·
3
1
＋
2·
3
2
＋
3·
3
3
＋
…
＋
(
n
－
1)·
3
n
1
＋
n
·
3
n
，
－
3
T
n
＝
1·
3
2
＋
2·
3
3
＋
3·
3
4
＋
…
＋
(
n
－
1)·
3
n
＋
n
·
3
n
1
.
＋
3
1
－
3
n
2
n
－
1
3
n
1
＋
3
1
2
< br>3
n
n
＋
1
n
＋
1
∴
－
2
T
n
＝
3
＋
3
＋
3
＋
…
＋
3
－
n
< br>·
3
＝
－
n
·
3
，
∴
T
n
＝
. <
/p>
4
1
－
3
＋
变式训练
3
已知等差数列
{
a
n
}
的首项
a
1
＝
1
，公差
d
>0
，且第
2
项、第
5
项、第
14
项分别是等比数
列
{
b
n
}
的第
2
项、第
3
项、第
4
项．
(1)
求数
列
{
a
n
}<
/p>
、
{
b
n
}
的通项公式；
c
1
c
2
c
n
(2)
设数列
{
c
n
}
对
n
∈
N
*
，均有
＋
＋…＋
＝
a
n
＋
1
成立，求
c
1
＋
c
2
＋…＋
c
2 013
.
b
1
b
2
b
n
解
(1)
∵
a
2
＝
1
＋
d
，
a
5
＝
1
＋
< br>4
d
，
a
14
＝
1
＋
13
d
，
d
>
0
，
∴
(1
＋
4
d
)
2
＝
(1
＋
d
)(1
＋
13
d
)
，解得
d
＝
2.
则
a
n
＝
1
＋
(
n
－
1)
×
2
＝
2
< br>n
－
1.
b
< br>3
9
－
－
－
又
∵
b
2
＝
a
2
＝
3
，
b
3
＝
a
5
＝
9
，
∴
等比数列
{
b
n
}
的公比
q
＝
＝
＝
3.
∴
b
< br>n
＝
b
2
q
n
2
＝
3
×
3
n
2
＝
3
n
1
.
b
2
3
c
n
－
1
c
1
c
2
c
n
c
1
c
2
c
n
(2
)
由
＋
＋
…<
/p>
＋
＝
a
n
＋
1
，得当
n
≥
2
时，
＋
＋
…
＋
＝
a
n
，两式相减，得
＝
a
n
＋
1
－
a
n
＝
2
，
b
< br>1
b
2
b
n
b
1
b
2
b
n
b
n
－
1
3
，
n
＝
1
，
c
1
< br>－
∴
c
n
＝
2
b
n
＝
2
×
3
n
1
(
n
≥
2)
而当
n
＝
1
时，
＝
a
2
，
∴
c
1
＝
3.
∴
c
n
＝
n
－
1
b
1
2
×<
/p>
3
，
n
≥
2.
∴
c
1
＋
c
2
＋
…
＋
c
< br>2 013
＝
3
＋
2
×
3
＋
< br>2
×
3
＋
…
＋
2
×
3
题型四
分组转化法求和
1
2
2 012
6
－
6
×
3
2 012
＝
3
＋
＝
3
－
3
＋
3
2
013
＝
3
2
013
.
1
－
3
例
4
等比数
列
{
a
n
}<
/p>
中，
a
1
，
a
2
，
a
3
分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且
a
1
，
a
2<
/p>
，
a
3
中的
任何两个数不在下表的同一列
.
第一行
第二行
第三行
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
若数列
{
b
n
}
满足：
b
n
＝
a
n
＋
(
－
1)
n
< br>ln
a
n
，求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
S
n
.
审题破题
(1)
可以通过逐个验证来确定数列的前三项，进而求得
< br>a
n
；
(2)
< br>可以分组求和：将
{
b
n
}
前
n
项和转化为数
列
{
a
n
}<
/p>
和数列
{(
－
1
)
n
ln
a
n
}
前
n
项的
和．
解
(
1)
当
a
1
＝
3
时，不合题意；当
a
1
＝
2
时，当且仅当
a
2
＝
6
，
a
3
＝
< br>18
时，符合题意；
当
a
1
＝
10
时，不合题意．因此
a
1
＝
2
，
a
2
＝
6
，
a
3
＝
18.
所以公
比
q
＝
3.
故
a
n
＝
2·<
/p>
3
n
1
(
n
∈
N
*
)
．
－
第一列
3
6
9
第二列
2
4
8
第三列
10
14
18
< br>(2)
因为
b
n
＝
a
n
＋
(
－
1)
n
ln
a
n
＝
2·
3
n
1
＋
(
－
1)
n
ln(2·
3
n
1
)
＝
2·
3
n
1
＋
(<
/p>
－
1)
n
[ln
2
＋
(
n
－<
/p>
1)ln 3]
－
－
－
＝
2·
3
n
1
＋
(
－
1)
n
(l
n 2
－
ln 3)
＋
(
－
1)
n
< br>n
ln 3
，
－
所以
S
n
< br>＝
2(1
＋
3
< br>＋
…
＋
3
n
1
)
＋
[
－
1
＋
1
－
1
＋
…
＋
(
－
1)
n
]
·
(ln
2
－
ln 3)
＋
[
－
1
＋
2
－
3
＋
…<
/p>
＋
(
－
1)
n
n
]
ln 3.
1
－
3
n
n
n
所以当
n
为偶数时，
S
n
＝
2
×
＋
ln
3
＝
3
n
＋<
/p>
ln
3
－
1
；
<
/p>
2
1
－
3
2
n
1
－
3
n
－
1
n
－
1
当
n
为奇数时，
S
n
＝
2
×
－
(ln 2
－
ln 3)
＋
－
n
ln 3
＝
3
n
－
2
ln
3
－
ln
2
－
1.
2
1
－
3<
/p>
－
综上所述，
S
＝<
/p>
n
－
1
3
－
2
ln 3
－
ln
2
－
1
，
n
为奇数
.
n
n
n
3
n
＋
ln
3
－
1
，
n
为偶数，
2
变式训练
4
在等差数列
{
a
n
}
中，
a
3
＋
a
4
＋<
/p>
a
5
＝
42
，
a
8
＝
30.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通
项公式；
(2)
若数列
{
b
n
}
< br>满足
b
n
＝
(
3)
a
n
＋
2
＋
λ
(
λ
∈
R
)
，则是否存在这样的实数
λ
使得
{
b
n
}
为等比数列；
2
，
n
为奇数
(3)
数列
{
c
n
}
满足
c
n
＝
1
，
T
n
为数列
{
c
n
}
< br>的前
n
项和，求
T
2
n
.
a
，
n
为偶数
－
2
n
1
解
(1)
因为
{
a
n
}
是一个等差数列，所以
a
3
＋
a
4
＋
a
5
＝
3
a
4
＝
42
< br>，
∴
a
4
＝
14.
设数列
{
a
n
}
的公差为
d
，则
4
d
＝
a
8
－
a
4
＝
16
，故
d
＝
4.
故
a
n
＝
a
4
＋
(
n
－
4)
d
＝
4
n
－
2.
(2)
b
n
＝
(
3)
＋
n
－
1
a
n
＋
2
2
< br>＋
λ
＝
9
n
＋
λ
.
假
设存在这样的
λ
使得
{
b
n
}
为等比数列，则
b
n
b
n
＋
2
，
＋
1
＝
b
n
·
＋
即
(9
n
1
＋
λ
)
2
＝
(9<
/p>
n
＋
λ
)·
(9
n
2
＋
λ
)
，整理可得
λ<
/p>
＝
0
，即存在
λ
＝
0
使得
{<
/p>
b
n
}
为等比数
列．
n
－
1
2
，
n
为奇数
(3)
∵
c
n
＝
，
2
n
－
3
，
n
为偶数
∴
T
2
n
< br>＝
1
＋
(2
×
2
－
3)
＋
2
2
＋
(
2
×
4
－
3)
＋
2
4
＋
…
＋
2
2
n
2
＋
(2
×
2
n
－
3)
－
＝
1
＋
2
2
＋
2
4
＋
…
＋
2
2
n
2<
/p>
＋
4(1
＋
2<
/p>
＋
…
＋
n
)
－
3
n
1
－
4
n
n
n
＋
1
4
n
－
1
＝
＋<
/p>
4
×
－
3
n
＝
＋
2
n
2
－
n
.
2
3
1
< br>－
4
－
题型五
< br>
错位相减法求和
1
1
1
例
5
已知公差不为
0
的等差数
列
{
a
n
}<
/p>
的首项
a
1
＝<
/p>
2
，且
，
，
成等比数列．
a
1
a
2
a
4<
/p>
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
< br>
(2)
若数列
{
b
n
}
满足
b
1
＋
2
b
2
＋
2
2
b
3
＋…＋
2
n
1
b
n<
/p>
＝
a
n
，求数列
{
nb
n
}<
/p>
的前
n
项和
T<
/p>
n
.
－
审题破题
(1)
列方程求
{
a
< br>n
}
的通项公式；
(2)
先求
b
n
(
两式相减
)
，再用错位相减法求
T
n
.
1
< br>
2
1
1
2
解
(1)
设等差数列
{
a
n
< br>}
的公差为
d
，由
＝
·
，得
(
a
1
＋
d
)
＝
a
1
(
a
1
＋<
/p>
3
d
)
．
a
2
a
1
a
4
因为
d
≠
< br>0
，所以
d
＝
< br>a
1
＝
2
，所以
a
n
＝
2
n
.
(2)
b
1
＋
2
b
2
＋
4
b<
/p>
3
＋
…
＋
2
n
1
b
n
＝
a
n
－
－
①
②
b
1
＋
2
b
2
＋
4
b
3
＋
…
＋
2
< br>n
1
b
n
＋
2
n
b
n
＋
1
＝
a
n
＋
1
②
－
①
得：
2
n
·
b
n
＋
1
＝
2.
∴
b
n
＋
1
＝
2
1
n
.
－
1
2
3
n
1
1
2
3
n
－
当
n
＝
1
时，
b
1
＝
a
1
＝
2
，
∴
b
n
＝
2
2
n
.<
/p>
T
n
＝
－
1
＋
0
＋
1
＋
…
＋
n
－
2
，
T
n
＝
0
＋
1
＋
2
＋<
/p>
…
＋
n
－
1
，
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
n
n
上两式相减得
< br>T
n
＝
2
＋
0
＋
1
＋
…
＋
n
－
2
－
n
－
1
＝
2
＋
2
1
－
< br>2
n
－
1
－
n
－
1
，
2
2
2
2
2
2
n
＋
2
∴
T
n
< br>＝
8
－
n
－
2
.
2
变式训练
5
设等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，且
S
4
＝
4
S
2
，
a
2
n
＝
2
a
n
＋
1.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
a
n
＋
1
(2
)
设数列
{
b
n
}
的前
n
项
和为
T
n
，且
T
n
＋
n
＝<
/p>
λ
(
λ
为常数<
/p>
)
．令
c
n
＝
b
2
n
，
n
∈
N
*
，求数列
{
c
n
}
的
2