高一数学数列求和的七大方法和技巧
yourlust-
数列求和的七大方法和技巧
一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列
求和的最基本最重要的方法
.
1
、
等差数列求和公式：
2
、等比数列求和公式：
3
、
4
、
5
、
[
例
1]
已知
，求
的前
n
项和
.
解：由
由等比数列求和公式得
（利用常用公式）
＝
＝
＝
1
－
[
例
2]
<
/p>
设
S
n
＝
1+2+3+
…
+n
，
n
∈
N
*<
/p>
,
求
的最大值
.
解：由等差数列求和公式得
，
（利
用常用公式）
∴
＝
＝
＝
∴
当
，即
n
＝
8
时，
二、错位相减法求和
这种方法是在推导等比数列的前
n
项和公式时所用的
方法，这种方法主要用于求数列
{a
n
·
b
n
}<
/p>
的前
n
项和，其中
{ a
n
}
、
{ b
n
}
分别是等差数列和等比数列
.
[
例
3]
求和：
解：由题可知，
{
的通项之积
设
………………………①
}
的通项是等差数列
{2n
－
1}
的通项与等比数列
{
}
………………………
.
②
（设制错位）
①－②得
（错位相减
）
再利用等比数列的求和公式得：
∴
[
例
4]
求数列
前
n
项的和
.
解：由题可知，
{
< br>}
的通项是等差数列
{2n}
的
通项与等比数列
{
}
的通项之积
设
…………………………………①
………………………………
②
（设制错位）
①－②得
（错位相减
）
∴
三、反序相加法求和
这是推导等差数
列的前
n
项和公式时所用的方法，
就是
将一个数列倒过来排列
（反序）
，
再把
它与原数列相加，就可以得到
n
个
.
[
例
5]
求证：
证明：
设
把①式右边倒转过来得
…………………………
..
①
（反序）
又由
可得
…………
..
……
..
②
①
+
②得
（反序相加）
∴
[
例
6]
求
解：设
将①式右边反序得
的值
…………
.
①
…………
..
②
（反序）
又因为
①
+
②得
（反序相加）
＝
89
∴
S
＝
44.5
四、分组法求和
有一类数列，既不是
等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几
个等差、等比或常见的数
列，然后分别求和，再将其合并即可
.
[
例
7]
<
/p>
求数列的前
n
项和：
，…
解：设
将其每一项拆开再重新组合得
（分组）
当
a
＝
1
时，
＝
（分组求和）
当
时，
＝
[
例
8]
<
/p>
求数列
{n(n+1)(2n+1)}
的
前
n
项和
.
解：设
∴
＝
将其每一项拆开再重新组合得
S
n
＝
（分组）