数列求和的常用方法
无法开机-
数列求和的常用方法
永德二中
王冬梅
数列是高中数学的重要内容，
又是学习高等数学的基础。
在高考和各种数学竞赛中都占有重要
的地位。
数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部
分数列的求和都需要一定
的技巧。
下面，简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。
第一类：公式法
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。
1
、等差数列的前
n
< br>项和公式
S
n
n
(
a
1
a
n
)
n
(
n
<
/p>
1
)
d
na
1
2
2
2
、等比数列的前
n
项和公式
na
1
(
q
1
)
S
n
a
1
(
1
q
n
)
< br>a
1
a
n
q
1
q
1
q
(
q
1
)
3
、常用几个数列的求和公式
（
1
）
、
S
n
n
<
/p>
k
1
2
3
n
k
1
n
1
n
(
n
1
)
2<
/p>
1
n
(
n
1
)(
2
n
1
)
6
（
2
< br>）
、
S
n
k
2
1
2
2
2
3
2
n
2
k
< br>1
n
（
3
）
、
S
n
1
3
3
3
3
3
k
1
2
3
< br>n
[
n
(
n
1
)
]
2
2<
/p>
k
1
第二类：
乘公比错项相减（等差
等比）
这种方法是在推导等比数列的前
n
项和公式
时所用的方法，
这种方法主要用于求数列
{
a
n
b
n
}
的前
n
项
和，其中
{
a
n
}
，
{
b
n
}
分别是等差数列和等比数列。
例
1
：求数列
{<
/p>
nq
n
1
}
(
q
为常数
)
的前
n
项和。<
/p>
解：Ⅰ、若
q
=0
，
则
S
n
=0
Ⅱ、若
q
=1
，则
S
n
1
2
3
n
Ⅲ、若
q
≠
0
且
q
≠
1
，
2
< br>n
1
则
S
n
1
2
q
3
q
nq
①
1
n
(
n
1
)
2
qS
n
q
2
q
2
3
q
3
nq
n
②
2
3
n
1
n
①式—②式：
(<
/p>
1
q
)
S
n
1
q
q
q
q
nq
1
S
n
1
(<
/p>
1
q
q
2
q
3
q
n
1
nq
n
)
1
q
1
1
q
n
(
nq
n
)
S
n
1
q
1
q
1
q
n
nq
n
S
n
(
1
q
)
2
1
q
0
(
< br>q
0
)
1
综上所述：
< br>S
n
n
(
n
1
)(
q
1<
/p>
)
2
1
q
n
nq
n
(
q
0
< br>且
q
1
)
2
1
q
(
1
q
)
解析：数列
{
nq
n
<
/p>
1
}
是由数列
n
与
q
n
1
对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，
（课本中的
的等比数列前
n
项和公式
就是用这种方法推导出来的）
，但要注意应按以上三种情况进行分类讨论，最后
再综合成三种情况。
第三类：裂项相消法
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合
，使之能消去一些项，最终达到求和的
目的通项分解（裂项）如：
1
、乘积形式，如：
（
1
）
、
a
n
1
1
1
n
(
n
1
)
n
n
1
(
2
n
< br>)
2
1
1
1
1
(
)
（
2
）
、
a
n
(
2
n
1
)(
2
n
1
)
2
2
n
1
2
n
<
/p>
1
（
3
）
、
a
n
1
1
1
1
[
]
n
(
n
1
)(
n
2
)
2
n
(
n
1
)
(
n
1
)(
n
2
)
n
2
1
2
(
n
1
)
<
/p>
n
1
1
1
1
n
n
,
则
S
1
n
n
1
n
n<
/p>
n
(
n
1
)
2
n
(
n
1
)
2
n
2
(
n
1
)
2
(
n<
/p>
1
)
2
（
4
）
、
a
n
2
、根式形式，如：
a
n
1
n
1
n
n
1
< br>n
例
2
：求数列
1
1
1
1
，
，
，…，
，…的前
n
< br>项和
S
n
n
(
n
1
)
1
2<
/p>
2
3
3
4
解：∵
1
1
1
=
n
(
n
1
)
n
n
1
2
S
n
1
1
1
1
1
1
1
< br>
2
2
3
3
n
n
1
1
S
n
1
n
1
1
< br>1
1
1
，
，
，…，
，…的前
n
项和
S
n
< br>n
(
n
2
)
1
3
2
4
3
5
例
3
：求数列
解：由于：
1
1
1
1
=
(<
/p>
）
n
(
n
2
)
2
n
n
2
则：
S
< br>n
1
1
1
1
1
1
(
1
)
(
)
(
< br>)
2
3
2
4
n
n
2
1
1
1
1
)
S
n
(
1
2
2
n
1
n
< br>2
3
1
1
S
n
4
2
n
2
2
n
4
解析：要先观察通项类型，在裂项求和时候，尤其要注意：究竟是像例
2
一样剩下首尾两项，还是像
例
3
一样剩下四项。
第四类：倒序相加法
这是推导等差数
列的前
n
项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（
反序）
，再把它与原
数列相加，就可以得到
n
个
(
a
1
a
n
)<
/p>
。
例
4
：若函数
f
(
x
)
对任意
x
R
都有
f
(
x
)
f
(
1
x
)
2
。
（
1
）
a
n
f
(<
/p>
0
)
f
(
)
f
(
)
f
(
（
2
）求数列
{
1
< br>n
2
n
n
1
)
f
(
1
)
，数列
{
a
n
}
是等差数列吗？是证明你的结论；
n
1
}
的的前
n
项和
T
n
。
a
n
a
n
1
解：
（
1
）
< br>、
a
n
f
(
0
)
f
(
)
f
(
)
f
(
1
2
n
< br>1
)
f
(
1
)
（倒序相加）
n
n
n
n
1
n
2
1
)
<
/p>
f
(
)
f
(
)
f
(
0
)
a
n
f
(
1
)
f<
/p>
(
n
n
n
1
n
1
2
n
2
1
0
1
<
/p>
n
n
n
n
则，由条件：对任意
x
R
都有
f
(
x
)
f
(
1
x
)
2
。
2
n
1
）
2
< br>a
n
2
2
2
2
（
a
n
n
1
a
n
< br>1
n
2
a
n
1
a
n
1
从而：数列
{
a
n
}
是
a
1
2
,
d
1
的等差数列。
3