数列求和的七种基本方法
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数列求和的七种基本方法
甘志国部分
内容
(
已发表于
< br>数理天地
(
高中
)
，
2014(11)
：
14
-15)
数列求和是数列问题中的基本题型，
但具有复杂多变、综合性强、
解法灵活等特点，本
文
将通过例题
(
这些例题涵盖了
2014
年高考卷中的数列求和大题
)
简单介绍
数列求和的七种
基本方法
.
1
运用公式法
很多数列的前
n
项和
S
n
的求法，就是套等差、等比数列
S
n
的公式，因此以下常用公式
应当熟记：
1
2
< br>3
1
3
5
2
1
n
(
n
1)
2
(2
n
1)
n
2
n
n
1
n
1
2
2
2
2
<
/p>
1
1
1
1
1
1
2
3
n
1
n
2
2
2
2
2
还要记住一些正整数的幂和公式：
1
n
(
n
1
)(
2
n
1
)
6
1
1
3
2
3
3
3
n
3<
/p>
n
2
(
n
1
)
2
4
1
2
2
2
3
2
n
2
例<
/p>
1
已知数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
32
n
n<
/p>
2
，求数列
{
a
n
}
的前
n<
/p>
项和
T
n
.
解
由
S<
/p>
n
32
n
n
2
,
可得
a
n
33
2
n
,
a
n
< br>0
n
16
，所以：
(1)
当
n
16
时
,
T
n
=
S
n
32
n
n
2
.
(2)
当
n
17
时，
T
n
a
1
a
2
a
n
(
a
< br>1
a
2
a
1
6
)
(
a<
/p>
17
a
18<
/p>
a
n
)
S
16
(
S
n
S
16
)
2
S
16
S
n
n
2
3
2
n
512
2
32
n
n
所以
T
n
2
n
32
n
512
(
n
1,
2,
,16)
(
n
17,
且
n
N
)
例
2
求
S
n
1
n
2
(
n
1
)
3
< br>(
n
2
)
n
1
.
2
解
设<
/p>
a
k
k
(
n
1
k
)
k
(
n
1
)
k
，本题即求数列
{
a
k
}
的前
n
项和
.
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S
n
(
1
2
3
< br>n
)(
n
1
)
(
1
2
2
2<
/p>
3
2
n
2
)
1
1
n
(
n
1
)
(
n
1
)
n<
/p>
(
n
1
)(
2
n
1
)
2
6
1
n
(
< br>n
1
)(
n
2
)
6
高考题
1
(2014
年高考浙江卷文科第
19
题
(
部分
))
求数列
2
n
1
的前
n
项
和
S
n
.
答
案：
S
n
n
2
.
高考题
2
(2014
年高考四川卷理科第
19
题
(
部分
))
求数列
2
n
4
的前
n
项
和
S
n
.
答
案：
S
n
n
2
3
n
.
高考题
3
(2014
年高考福建卷文科第
17
题
)
在等比数列
{
a
n
}
中，
a
2
(1)
求
a
n
；
(2
)
设
b
n
<
/p>
3,
a
5
81
.
log
3
a
n
，求数
列
{
b
n
}<
/p>
的前
n
项和
S<
/p>
n
.
答案：
(
1)
a
n
3
n
1
n
2
n
；
(2)
S
n
.
2
高考题
4 <
/p>
(2014
年高考重庆卷文科第
16
题
)
已知
a
n
是首项为
1
，公差为
2
的等
差数
列，
S
n
表示
a
n
的前
n
项和
.
(1)
求
a
n
及
S
n
；
(2)
设
b
n
是首项为<
/p>
2
的等比数列，公比
q
< br>满足
q
(
a
4
1)
q
S
4
0
，求
b<
/p>
n
的通
2
项公式及其前
n
项和
T
n
.
答案：
(1)
a
n
2
n
1
,
S
n
n
2
；
(2
)
b
n
2<
/p>
2
倒序相加法
事实上，等差数列的前
n
项和
S<
/p>
n
的公式推导方法就是倒序相加法
.
例
3
求正整
数
m
与
n
(<
/p>
m
n
)
之间的分母为
3
的所有既约分数的和
S
.
解
显然，这些既约分数为：
2
n
1
2
,
T
n
< br>(4
n
1)
< br>.
3
1
2
4
4
2
1
m
,
m
<
/p>
,
m
,
,
n
,
n
,
n
3
3
3
3
3
3
学习好帮手
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1
2
4
4
2
1
3
3
3
3
3
3
< br>1
2
4
4
2
1
也有
S
(
n
< br>
)
(
n
)
(
n
)
(
m
)
(
m
)
(
< br>m
)
3
3
3
3
3
3
有
S
(
m
)
(
m
)
(<
/p>
m
)
(
n
)
(
n
)
(
n
)
所以
2
S
(
m
n
)
2
(
n
m
)
2
(
n
m
),
S
n
m
2
2
2
2
4
x
例
4
设
f
(
x
)
< br>x
，求和
4
< br>2
1
f
2
002
2
f
<
/p>
2002
3
f
2002<
/p>
2001
f
.
2002
解
可先
证得
f
(
x
)
f
(1
<
/p>
x
)
1
，由此结论用倒序相加法可求得答案为
3
裂项相消法
例
5
若
{
a
n
}
是各项
均不为
0
的等差数列，
求证：
2001
.
2
1
1
1
n
.
a
1
a
2
a
2
a
3
a
n
a
n
1
a
1<
/p>
a
n
1
证明
设等差数列
{
a
n
}
的公
差为
d
：若
d
0
，要证结论显然成立；若
d
0
，得
1
1
1
1
(
< br>)
a
n
a
n
1
d
a
n
a
n
1
1
1
1
a
1
a
2
< br>a
2
a
3
a
n
a
n
1
1
1
1
1
1
1
1
(
)
< br>(
)
(
)
d
a
1
a
2
a
2
a
3
a
n
a
< br>n
1
1
1
1
1
nd
n
<
/p>
d
a
1
a
n
1
d
a
1
a
n
1
a
1
a
n<
/p>
1
1
1
1
1
2(
n
N
< br>且
n
2)
.
2
2
2
2
1
2
3
n
1
1
1
1
证明
2
2
2
2
1
2
3
n
1
1
< br>1
1
1
2
2
3
(
n
1)
n
例
8
证明
1
1
1
1
1
< br>
1
2
2
3
1
1
1
2
1
< br>n
1
1
n
1
n
高考题
5
(2014
年高考全国大纲卷理科第
18
题
)<
/p>
等差数列
{
a
n
}
的前
n
项和
为
S
n
，
已知
a
1
10<
/p>
，
a
2
为整数，
且
S
n
S<
/p>
4
.
(1)
求
{
a
n
}
的通项公式；
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(2)
设
b
n
1
，求数
列
{
b
n
}<
/p>
的前
n
项和
T<
/p>
n
.
a
n
a
n
1
答案：
(1)
a
n
13
3
n
；
(2)
S
n
n
.
10(10
3
n
)
高考题
6 <
/p>
(2014
年高考广东卷文科第
19
题
)
设各项均为正数的数列
a
n
的前
n
项和为
2
< br>
n
2
n
3
S
n
3
n
2
n
0
,
n
N
< br>
.
S
n
，且
S
n
满足
S
n
(1)
求
a
1
的值；
(2)
求数列
a
n
的通项公式；
(3)
证明：对一切正整数
n
< br>，有
1
1
1
1
.
a
1
(
a
1
1
)
a
2
(
a
2
1
)
a
n
< br>(
a
n
1
)
3
答
案
：
(1)
a
1
2
；
(2)
a
n
2
n
；
(3)
当
n
1
时
，
可
得
欲
证
成
立
.
< br>当
n
2
时
，
1
1
a
n
(
a
n
1)
2
n
(
n
2
1)
证
.
1
n
(
2
1
1
1
1)
n
(
2
1)
2<
/p>
n
1
n
2
，再用裂项相消法可得欲
2
1
高考题
7
(2014
年高考山东卷理科第
19
题
)
已知等差数列
{
a
n
}
的公差为<
/p>
2
，前
n
项和<
/p>
为
S
n
，且
S
1
，
S
2
，
S
4
成等比数列
.
(1)
求数列
{
a
n
}
的通项公式；
(2)
令
b
n
=
(
1
)
< br>n
1
4
n
,
求数列
{
b
n
}
的前
n
项和
T
n
.
a
n
a
n
1
2
n
2
2
n
< br>1
答案：
(1)
a
n
2
n
< br>
1
，
T
n
2
n
2
n
1
4
分组求和法
例
9
求
S
n
n
为奇数
.
n
为偶数
1
1
1
1
1
1
< br>
2
2
4
1
1
2
4
1
2
n
1
1
1
< br>
1
2
4
1
2
n
1
1
n
1
.
2
解
<
/p>
设
a
n
1
，得
a
n
2
.
学习好帮手
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所以本题即求数列
2
1
n
1
<
/p>
的前
n
项和：
2
1
1
S
n
2
n
1
< br>
2
4
1
1
2
n
a
2
n
2
n
1
n
n
< br>
1
2
2
2
a
1
例
10
设数列
{
a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足
S
n
n
又
b
n
(
1
)
n
S
n
，
求数列
{
b
n
}
< br>，
2
的前
n
项和
T
n
.
a
1
解
在
S
n
n
中，令
n
1
可求得
a
1
1
.
2
还可得
2
4
S
n
(
a
n
1)
< br>2
,
4
S
n
1
(
a
n
1
1)
2
相减，得
2
2
4
a
n
<
/p>
1
a
n
1
a
n
2
a
n
1
2
a
n
(
a
n
1
<
/p>
a
n
)(
a
n
1
a
n
2
)
0
< br>a
n
1
a
n
2
所以
{
a
n<
/p>
}
是首项为
1
公
差为
2
的等差数列，得
a
n
2
< br>n
1
a
1
所以
S
n
< br>n
n
2
,
b
n
(
1
)
n
n
2
2
当
n
为偶数时，
2
T
n
(
1
2
< br>
2
2
)
(
3
2
4
2
)
[
(
n
1
)
2
< br>n
2
]
3
7
1
1
(<
/p>
2
n
1
)
当
n
为奇数时，
n
(
n
1
)
2
n
(
n
1
)
n
(
n
1
)
n<
/p>
2
(
用以上结论
)
2
2<
/p>
n
n
(
n
1
)
总之，
T
n
(
1
)
.
2
T
n
< br>
T
n
1
b
n
高考题
8
(2014
年高考北京卷文科第
15
题
)
已知
a
n
是等差数列，满足
a
1
3
，
a
4
12
，数列
b
n
满足
b
1
4
，
b
4<
/p>
20
，且
<
/p>
b
n
a
n
是等比数列
.
(1)
求数列
a
n
和
< br>
b
n
的通项公式；
(2)
求数
列
b
n
<
/p>
的前
n
项和
.
学习好帮手